一道課本習(xí)題引發(fā)的學(xué)與教的思考

●金曉群 (青田縣第二中學(xué) 浙江青田 323900)

一道課本習(xí)題引發(fā)的學(xué)與教的思考

●金曉群 (青田縣第二中學(xué) 浙江青田 323900)

課本習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，通常情況下，它比作業(yè)本、教輔資料等其他習(xí)題更為典型、精致．深入地理解課本習(xí)題的設(shè)計(jì)意圖，并對(duì)某些習(xí)題進(jìn)行自然、合理地挖掘開發(fā)，進(jìn)而提升課堂教學(xué)的品質(zhì)，應(yīng)成為一線數(shù)學(xué)教師的不懈追求．筆者在組織浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)中2．2節(jié)“切線長(zhǎng)定理”的課本習(xí)題(作業(yè)題A2)的教學(xué)時(shí)，課前對(duì)這道習(xí)題進(jìn)行了有效的預(yù)設(shè)，課堂上又結(jié)合學(xué)生的實(shí)時(shí)表現(xiàn)，適當(dāng)?shù)貙?duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行調(diào)整、改善，取得了不錯(cuò)的效果．可貴的是，一道普通的習(xí)題還引發(fā)了教師、學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教與學(xué)問(wèn)題的深層思考，現(xiàn)記錄如下，供同行參考．

題目如圖1，O為Rt△ABC直角邊AC上的一點(diǎn)，以O(shè)C為半徑的半圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn) E．已知 AB=5，AC=4，求 BD的長(zhǎng)和⊙O的半徑長(zhǎng)．

圖1

圖2

1 學(xué)生解法展示

由勾股定理及切線長(zhǎng)定理，容易求得BD=BC=3．在求⊙O的半徑時(shí)，學(xué)生在充分思考后，展示了5種不同的解法(如圖2):

展示了習(xí)題之后，筆者留給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行求解與交流，堅(jiān)持了“以學(xué)為中心、以學(xué)生為中心”的指導(dǎo)思想．出乎意料地，學(xué)生展示了5種解法，在課堂上完美地展現(xiàn)了“一題多解”的魅力．在這個(gè)環(huán)節(jié)中，由于學(xué)生們展示了不同的解法，借助表達(dá)、聆聽、質(zhì)疑、解釋等方式，解題能力得到了鍛煉，而且思維變得更加靈活、開闊．

巧合的是，這5種解法都運(yùn)用到一種重要的數(shù)學(xué)思想——方程思想．方程思想在初中數(shù)學(xué)中是一種非常重要、應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)思想，而要想讓學(xué)生真實(shí)、深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)思想，卻并不容易．那么如何進(jìn)行方程思想的滲透與落實(shí)呢?我們應(yīng)該選擇什么樣的載體與著力點(diǎn)呢?“踏破鐵鞋無(wú)覓處，得來(lái)全不費(fèi)功夫”——該習(xí)題就是一個(gè)很好的選擇．

當(dāng)然，單單選擇好范例，還不能算是成功的教學(xué)．為了使學(xué)生對(duì)方程思想有一個(gè)真切的認(rèn)知，先對(duì)用方程解決問(wèn)題的真實(shí)過(guò)程進(jìn)行暴露是非常必要的．只有這樣，學(xué)生才能較深刻地感受到運(yùn)用方程解決問(wèn)題的好處，進(jìn)而體會(huì)到掌握方程思想的必要性，也為后續(xù)關(guān)于方程思想的深入學(xué)習(xí)、靈活運(yùn)用打下基礎(chǔ)．

2 解題之后，學(xué)生從“學(xué)”的角度進(jìn)行思考

當(dāng)然，僅僅是停留在學(xué)生們能用5種不同的方程解決問(wèn)題，未免可惜．在筆者的指導(dǎo)與幫助下，學(xué)生們圍繞著以下5個(gè)問(wèn)題進(jìn)行思考，并在課堂上展示了思考成果．

問(wèn)題1這5種解法的共同特點(diǎn)是什么?

學(xué)生思考顯而易見，這5種解法的共同特點(diǎn)是運(yùn)用方程解決問(wèn)題，具體地說(shuō)，均是運(yùn)用列方程的解法求線段的長(zhǎng)．

問(wèn)題2這5種解法所列的方程，其背后的根據(jù)分別是什么?

問(wèn)題3這些“背后根據(jù)”為什么會(huì)提供方程?

學(xué)生思考這些方程背后的“根據(jù)”本身就是等式，而方程無(wú)非就是含有未知數(shù)的等式，因此這些“根據(jù)”為方程提供支持是非常自然的．

問(wèn)題4列方程求線段長(zhǎng)度的一般步驟是什么?

學(xué)生思考總體上說(shuō)，可以用“設(shè)、表、列”這3個(gè)字來(lái)概括:第1步，假設(shè)相應(yīng)的線段的長(zhǎng)為某一未知數(shù);第2步，用常數(shù)或含未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示其他相關(guān)線段的長(zhǎng)度;第3步，尋找到合適的等量關(guān)系，列出方程．

問(wèn)題5本習(xí)題的求解對(duì)以后求解線段長(zhǎng)度的問(wèn)題有什么啟示?

學(xué)生思考在求線段的長(zhǎng)度時(shí)，可以思考以列方程求解的形式來(lái)進(jìn)行．而在構(gòu)建方程前，可以先從相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、勾股定理、面積公式、銳角三角函數(shù)、面積的和差關(guān)系、線段的和差等方面著手去尋找相應(yīng)的等式．

由于本習(xí)題蘊(yùn)含了濃厚的方程思想，因而上述過(guò)程中對(duì)學(xué)生“學(xué)”方面的思考是緊緊圍繞這一數(shù)學(xué)思想展開的．一直以來(lái)，教師們都非常清楚數(shù)學(xué)思想在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要作用，平時(shí)在教學(xué)中也非常重視數(shù)學(xué)思想的滲透與落實(shí)．與數(shù)學(xué)的基本知識(shí)與基本技能相比，數(shù)學(xué)思想有“看不到、摸不著”的特點(diǎn)．因此在實(shí)際教學(xué)中，主要是從教師的角度，直白地、貼標(biāo)簽式地告知學(xué)生數(shù)學(xué)思想的名稱，學(xué)生并沒有發(fā)自內(nèi)心地認(rèn)同教師的講評(píng)，只是表面地知其然，而不知前后的所以然，因此教學(xué)效果通常并不理想．

以上的第1個(gè)環(huán)節(jié)借助比較，使學(xué)生對(duì)運(yùn)用方程解決問(wèn)題有一個(gè)初步的了解;第2個(gè)環(huán)節(jié)通過(guò)尋找每個(gè)方程背后的理由，使學(xué)生對(duì)本題的求解掌握得更為深刻，也為今后在其他情形下運(yùn)用方程解決問(wèn)題指明大概方向;第3個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)一步地探索這些根據(jù)和方程的本質(zhì)聯(lián)系，使學(xué)生感悟運(yùn)用這些根據(jù)列方程的必然性;第4個(gè)環(huán)節(jié)借助對(duì)一般步驟的總結(jié)，讓學(xué)生更扎實(shí)地掌握運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題的常規(guī)手段;最后的環(huán)節(jié)通過(guò)把解本題拓展至更大范圍、解更多題的猜想，讓學(xué)生在未來(lái)的解題活動(dòng)中能有所準(zhǔn)備，能更順利地求解其他題目．

在平常一些習(xí)題課的教學(xué)中，得出正確答案，教學(xué)也許就結(jié)束了，而這一次并不如此．在學(xué)生展示了不同解法的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)的具有規(guī)律化、本質(zhì)化的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)和反思，嘗試著從“怎么解”到“為什么這么解”層層遞進(jìn)，以求達(dá)到“解一題、會(huì)一類”的效果，對(duì)學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無(wú)疑具有很大的益處．

3 習(xí)題教學(xué)之后，教師從“教”的角度進(jìn)行思考

本習(xí)題的求解與講評(píng)只是一堂新授課中的一個(gè)小小的片段，盡管這個(gè)習(xí)題難度并不大，但這個(gè)習(xí)題的求解及求解后對(duì)解法的總結(jié)，卻簡(jiǎn)練而完整地體現(xiàn)了方程在求解線段長(zhǎng)度時(shí)的魅力．在感嘆之余，筆者圍繞本習(xí)題的教學(xué)還有如下的思考:

思考1注重挖掘課本習(xí)題潛力

一堂新授課，要完成知識(shí)的落實(shí)與能力的提高，肯定是離不開題目的．在信息爆炸、題目泛濫的今天，如何選擇習(xí)題是擺在一線教師面前的一個(gè)大問(wèn)題．其實(shí)，課本中的習(xí)題是與課本內(nèi)容完美配套的，而且編寫的人員均是教材編寫方面的專家，因此課本中的習(xí)題應(yīng)該成為我們組織課堂練習(xí)的首選．更重要的是，教師要做課堂教學(xué)的有心人，能從普通的課堂習(xí)題中，挖掘出不一般的數(shù)學(xué)教育價(jià)值．當(dāng)然，這種拓展要適時(shí)、合理、自然、有效．

思考2重視引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解決習(xí)題之后的歸納總結(jié)

數(shù)學(xué)的題目不計(jì)其數(shù)，要想從題海中解脫出來(lái)，必須注重解題策略的總結(jié)．因此，在學(xué)生解決某類問(wèn)題之后，我們應(yīng)該從更高的角度來(lái)引導(dǎo)學(xué)生思考“能不能解決類似的問(wèn)題，能不能尋找到這類問(wèn)題的共同屬性，能不能用數(shù)學(xué)本質(zhì)的眼光來(lái)看待問(wèn)題”等問(wèn)題．表面上看，在課堂上花在總結(jié)反思上的時(shí)間增多，完成的題目量減少，課堂效率可能會(huì)降低．但事實(shí)恰恰相反，只有注重這種反思，學(xué)生才能從根本上擺脫題目的束縛，更自由、更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)能力．在解題之后進(jìn)行反思本應(yīng)是一種必需的學(xué)習(xí)習(xí)慣，只不過(guò)由于教師或?qū)W生的浮躁，這種品質(zhì)被邊緣化了，變得可有可無(wú)．考慮學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，教師必須要在這方面有所作為．

思考3注重提煉課本習(xí)題背后的數(shù)學(xué)思想解法

《新課標(biāo)》提出:通過(guò)義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，顯然，這樣的表述對(duì)數(shù)學(xué)思想的重要性給予了特別的強(qiáng)調(diào)．當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)的靈魂，它的重要性并不是課標(biāo)制定的，而是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、特別是解題的過(guò)程中自然體現(xiàn)的．?dāng)?shù)學(xué)習(xí)題無(wú)限多，為了使學(xué)生不被題海淹沒，也為了保持學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及未來(lái)可持續(xù)的學(xué)習(xí)動(dòng)力，教師要有意識(shí)地對(duì)課本習(xí)題背后的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行提煉，并適時(shí)、合理地向?qū)W生滲透．

思考4習(xí)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的教學(xué)要“看得見、摸得著”

實(shí)際上，數(shù)學(xué)教師非常明白數(shù)學(xué)思想的重要意義，希望學(xué)生能馬上掌握各種數(shù)學(xué)思想．但這一行動(dòng)一旦操之過(guò)急，學(xué)生數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)往往被教師越俎代庖，被教師以貼標(biāo)簽的形式草草了之．由于不接地氣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的感覺是表面的、不踏實(shí)的、虛幻的，效果自然也不理想．其實(shí)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是急不得的，它就好像品德教育一樣，需要學(xué)生慢慢地體會(huì)感悟，要有真實(shí)感知、扎實(shí)摸索、不斷反思的過(guò)程．因此，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)需要教師為學(xué)生尋找合適的時(shí)間和載體，搭建展示的平臺(tái)，真實(shí)地展示學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想時(shí)或幼稚、或艱辛、或歡樂的足跡，盡量使數(shù)學(xué)思想解法的教學(xué)不一廂情愿、不故弄玄虛、不虛無(wú)縹緲，努力達(dá)到“看得見、摸得著”的效果．

作為從事一線教學(xué)的數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該做一個(gè)有心人，能從平平常常的教學(xué)素材中發(fā)現(xiàn)為我所用的精彩內(nèi)容，并適時(shí)、適度地予以開發(fā)使用，為學(xué)生更有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、更有興趣地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、更長(zhǎng)遠(yuǎn)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提供源源不斷的支持．