• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

      一道二元最值題解法的探究

      2015-01-31 15:21:32甘肅省秦安縣第二中學(xué)羅文軍
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年19期
      關(guān)鍵詞:極坐標(biāo)元法一元二次方程

      ☉甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

      一道二元最值題解法的探究

      ☉甘肅省秦安縣第二中學(xué) 羅文軍

      近年來,二元最值問題備受命題者的親睞,也是高中生學(xué)習(xí)中的一個“老大難”,本文對杭州學(xué)軍中學(xué)高三2014學(xué)年第七次月考理科數(shù)學(xué)第8題進(jìn)行了探究,得出了8種精彩解法,現(xiàn)介紹如下,以期達(dá)到對中學(xué)生計算二元最值問題起引導(dǎo)作用.

      一、題目

      實(shí)數(shù)x、y滿足(x-y)2+y2=2,則x2+y2的最小值為__________.

      二、解法探究

      解法1:三角換元法.

      x2+y2=(cosθ+sinθ)2+(sinθ)2= 4sinθcosθ+2sin2θ+2=2sin2θ-cos2θ+3=sin(2θ+φ)+3,其中

      所以當(dāng)sin(2θ+φ)=-1時,x2+y2取得最小值

      評析:通過觀察發(fā)現(xiàn)已知條件的左邊為兩個式子的平方和,由(x-y)2+y2=2聯(lián)想到三角函數(shù)的平方關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1,進(jìn)而采用三角換元法,再利用輔助角公式求解.

      解法2:齊次化法.

      當(dāng)x=0時,y2=1,x2+y2=1.

      當(dāng)y=0時,x2=2,x2+y2=2.

      整理為關(guān)于m的方程(t-2)m2-2tm+(2t-2)=0.

      當(dāng)t≠2時,因?yàn)棣?(-2t)2-4(2t-2)(t-2)≥0,所以t2-6t+4≤0,解得≤

      所以x2+y2的最小值為

      評析:已知條件是一個二元二次方程,x2+y2中每項的次數(shù)也都是2,利用齊次化首先要考慮到xy≠0,避免分母出現(xiàn)0的情形.

      解法3:齊次化法.

      設(shè)x=ky,則(ky-y)2+y2=2.

      所以[(k-1)2+1]y2=2,則

      所以x2+y2=(k2+1)·

      整理為關(guān)于k的方程,得(m-2)k2-2mk+2m-2=0.

      當(dāng)m≠2時,因?yàn)棣?4m2-4(m-2)(2m-2)≥0,所以m2-6m+4≤0,解得

      所以x2+y2的最小值為

      評析:由于已知條件是齊次式,設(shè)y=kx后很容易用k表示x與y,實(shí)現(xiàn)雙變量的分離,將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù),再求解.

      解法4:換元法.

      設(shè)x2+y2=t2(t>0).

      令x=tcosθ,y=tsinθ,代入(x-y)2+y2=2,得:

      t2cos2θ-2t2sinθcosθ+2t2sin2θ=2.

      所以t2(cos2θ-2sinθcosθ+2sin2θ)=2.

      所以x2+y2的最小值為

      評析:抓住待求式為平方和這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn),采用三角換元法,再利用輔助角公式求解.

      解法5:換元法.

      設(shè)x2+y2=u,則y2=u-x2,代入(x-y)2+y2=2中,可得:

      2xy=-x2+2u-2.

      將(1)代入x2+y2=u,整理可得:

      5x4+(4-8u)x2+(2u-2)2=0.

      于是以x2為未知數(shù)的一元二次方程必有正根,故方程的兩個根若存在都必為正根,當(dāng)且僅當(dāng)Δ=(4-8u)2-4× 5(2u-2)2≥0.整理得u2-6u+4≤0.所以≤u≤3+所以x2+y2的最小值為

      評析:換元后,構(gòu)造出以x2為未知數(shù)的一元二次方程,再利用判別式法求解.

      解法6:坐標(biāo)變換.

      則x2+y2=(x′cosθ-y′sinθ)2+(x′sinθ+y′cosθ)2=x′2+y′2.

      由(x-y)2+y2=2,得x2-2xy+2y2=2.所以(x′cosθ-y′sinθ)2-2(x′cosθ-y′sinθ)(x′sinθ+y′cosθ)+2(x′sinθ+y′cosθ)2=2.整理得(cos2θ-2sinθcosθ+2sin2θ)x′2+(sin2θ+2sinθcosθ+2cos2θ)y′2+ x′y′(sin2θ-2cos2θ)=2.

      由此可見在新坐標(biāo)系下,該曲線為焦點(diǎn)在x′軸上的橢圓,x′2+ y′2表示曲線上的動點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,由圖形可知x′2+y′2的最小值為短半軸長的平方,故x2+ y2的最小值為

      評析:本題中的待求式x2+y2讓人聯(lián)想到曲線上的動點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,利用高中選修4-2中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的知識,數(shù)形結(jié)合,可解決問題.

      解法7:極坐標(biāo)法.

      在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,則(x-y)2+y2=2化為極坐標(biāo)方程為(ρcosθ-ρsinθ)2+ρ2sin2θ=2.

      所以x2+y2的最小值為

      評析:利用極坐標(biāo)法,令人耳目一新.

      解法8:主元法.

      (2)×k-(1)×2,得(k-2)x2-2kxy+(2k-2)y2=0.

      當(dāng)k≠2時,將x視為主元,所以Δ=4k2-4(k-2)(2k-2)≥0.即k2-6k+4≤0,所以≤k≤3+.所以x2+y2的最小值為

      評析:把x看成主元后,問題化歸為一元二次方程有實(shí)根的問題,利用判別式求解.

      三、教學(xué)啟示

      在平時的習(xí)題教學(xué)中,我們?nèi)绻朴谶\(yùn)用一題多解,既發(fā)揮了習(xí)題的最大功效,拓寬了學(xué)生的學(xué)習(xí)視野,培養(yǎng)了學(xué)生的綜合思維能力,也提高了學(xué)生的應(yīng)試能力.A

      猜你喜歡
      極坐標(biāo)元法一元二次方程
      攻克“一元二次方程”易錯點(diǎn)
      “一元二次方程”易錯題
      換元法在解題中的運(yùn)用
      巧用極坐標(biāo)解決圓錐曲線的一類定值問題
      基于離散元法的礦石對溜槽沖擊力的模擬研究
      極坐標(biāo)視角下的圓錐曲線
      2.2 一元二次方程
      分分鐘,幫你梳理一元二次方程
      不能忽視的極坐標(biāo)
      換元法在解題中的應(yīng)用
      上虞市| 安国市| 清涧县| 正蓝旗| 砚山县| 锦屏县| 恭城| 宣威市| 兖州市| 玉林市| 清远市| 加查县| 枣强县| 清流县| 嘉鱼县| 青海省| 磴口县| 汪清县| 太湖县| 桂平市| 乌拉特中旗| 阆中市| 名山县| 资中县| 修文县| 思茅市| 海兴县| 湟源县| 沈阳市| 连山| 绿春县| 广灵县| 志丹县| 青海省| 托克托县| 宜昌市| 英山县| 石棉县| 平度市| 新邵县| 榆树市|