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      淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中邊緣知識(shí)的重要性

      2015-01-31 15:21:32江蘇省南通市天星湖中學(xué)王海彬
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年19期
      關(guān)鍵詞:坐標(biāo)系邊緣向量

      ☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 王海彬

      淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中邊緣知識(shí)的重要性

      ☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 王海彬

      高中數(shù)學(xué)知識(shí)可以分為兩部分,其中一部分是受高考應(yīng)試重視的核心知識(shí),諸如函數(shù)最值、三大性質(zhì)、向量數(shù)量積、立體幾何的角和距離等;另一部分知識(shí)往往不太顯山露水,但是卻默默為核心知識(shí)提供著保障,諸如集合論中的知識(shí)、利用空間向量解決立體幾何問題中的坐標(biāo)系選擇合理與否、三角函數(shù)線等,這些知識(shí)卻又無法缺失,筆者將其稱之為邊緣知識(shí).

      從教學(xué)的實(shí)際情形來看,教師往往對(duì)于核心知識(shí)存在著反復(fù)講、重點(diǎn)講、天天講,但是對(duì)于那些服務(wù)于核心知識(shí)的邊緣知識(shí)卻往往不聞不問,時(shí)不時(shí)在應(yīng)試中造成學(xué)生失分.北京十二中數(shù)學(xué)特級(jí)教師孫維剛說過:對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí),首先要手把手教會(huì)其緊緊抓住基本知識(shí)的一些細(xì)節(jié),在這些知識(shí)中有些盡管不是考試的重點(diǎn)(即本文所敘述的邊緣知識(shí)),但是其對(duì)于后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí),以及學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)態(tài)度、情感價(jià)值觀等都有著重要的培養(yǎng).因此,筆者認(rèn)為教學(xué)既要重視核心知識(shí),也要關(guān)注邊緣知識(shí).

      一、邊緣知識(shí)重要性

      邊緣知識(shí)在數(shù)學(xué)中暫時(shí)未有這樣的名稱,筆者借助物理學(xué)中的名稱來代指數(shù)學(xué)中那些既服務(wù)于核心知識(shí)卻又處在不顯山露水地位的知識(shí),因此給出了這樣的界定.在大量研究中對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要性已經(jīng)分析得相當(dāng)完備,對(duì)于我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本知識(shí)和基本技能都有了長(zhǎng)足的研究,在筆者看來,這些基礎(chǔ)知識(shí)和技能中有很多是邊緣知識(shí),華師大張奠宙教授對(duì)于重要的基本知識(shí)常常這樣感慨:現(xiàn)在的中學(xué)教學(xué)提倡新課程,提倡學(xué)生努力自主發(fā)掘知識(shí),這些都沒有錯(cuò).但是不要忘了,有些基本知識(shí)本身形成的過程長(zhǎng)達(dá)幾十年甚至上百年,用區(qū)區(qū)四十五鐘的課堂去讓學(xué)生挖掘知識(shí)的形成根本是癡人說夢(mèng)話.因此,有些知識(shí)教師該怎么傳授還是要怎么傳授,并且要特別注重那些在應(yīng)試中作為給核心知識(shí)做鋪墊的基礎(chǔ)知識(shí)(即本文所提出的概念——邊緣知識(shí)).張教授的最后一句話應(yīng)特別重視,讓我們看到了對(duì)于邊緣知識(shí)教學(xué)必須重視的依據(jù).其重要性體現(xiàn)在哪幾個(gè)方面呢?筆者認(rèn)為:

      (1)首先,本文所敘述的邊緣知識(shí)介于基礎(chǔ)知識(shí)和核心知識(shí)之間,這些知識(shí)是核心知識(shí)考查過程中必備的基本知識(shí),沒有這一類邊緣知識(shí)無法順利進(jìn)行下一步的分析、演算,比如:用空間向量解決立體幾何中的問題,首先必須建立正確的空間坐標(biāo)系,坐標(biāo)系的建立正體現(xiàn)邊緣知識(shí)的重要性.

      (2)其次,有助于學(xué)生穩(wěn)定應(yīng)試的基本分?jǐn)?shù).基礎(chǔ)知識(shí)和邊緣知識(shí)屬于應(yīng)試的基本分?jǐn)?shù),牢牢抓住這些分?jǐn)?shù)有助于學(xué)生應(yīng)試有基本保障.

      (3)最后,對(duì)于邊緣知識(shí)的掌握熟悉更有助學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的全面性,只有將知識(shí)學(xué)習(xí)全面和扎實(shí)穩(wěn)固,才能對(duì)后續(xù)更復(fù)雜的知識(shí)有學(xué)習(xí)的潛力.

      二、邊緣知識(shí)教學(xué)實(shí)施

      筆者以空間向量解決立體幾何問題中的邊緣知識(shí)為例,談?wù)勅绾螌?shí)施這一邊緣知識(shí).我們知道,立體幾何引入空間向量之后,隨之而來的各種垂直、平行證明,以及角或距離的求解,都演變成一種代數(shù)運(yùn)算.用吳文俊大師的話說:數(shù)學(xué)機(jī)械化(即代數(shù)化)是一種趨勢(shì),用代數(shù)的方法解決以前很難的幾何問題,成為流行,向量是一個(gè)很好的工具,除此之外我實(shí)在想不出有什么比代數(shù)化更好的方法.吳大師的話其實(shí)暗示了立體幾何問題解決的一脈相承性、雷同性,因此解決幾何問題也就轉(zhuǎn)變成了解決代數(shù)問題.對(duì)于立體幾何而言,代數(shù)化的最主要邊緣知識(shí)正是如何建立空間坐標(biāo)系.

      (一)空間向量坐標(biāo)系選擇的實(shí)施

      1.常規(guī)幾何體的選擇

      常規(guī)幾何體諸如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱、正棱錐等,通過這些幾何體來建構(gòu)坐標(biāo)系一般較為容易,往往教學(xué)中一筆帶過.

      例1如圖1所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn),點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B與平面ABD所成角的余弦值.

      解析:如圖1所示,建立坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)為C,設(shè)CA=2a,則A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),G).因?yàn)樗砸驗(yàn)闉槠矫鍭BD的法向量,且co.所以A1B與平面ABD所成角的余弦值是

      說明:可以發(fā)現(xiàn),本題的幾何體模型是正規(guī)的直棱柱,且底面三角形是直角三角形,因此對(duì)于教學(xué)而言建系并非難點(diǎn),值得注意的是指導(dǎo)學(xué)生了解重心條件在向量中是如何使用的.

      2.非常規(guī)幾何體的選擇

      空間向量引入立體幾何之后,對(duì)于立體幾何問題而言,相比以往傳統(tǒng)來得容易些,學(xué)會(huì)向量的代數(shù)化運(yùn)算成為解決問題的關(guān)鍵.但是有些幾何體模型存在著建系的困擾,這個(gè)步驟無法合理建立導(dǎo)致無法使用空間向量解決問題,因此非常規(guī)幾何體值得我們更多的思考,值得加強(qiáng)此類邊緣知識(shí)的教學(xué).

      例2如圖2,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PG⊥平面ABCD,垂足為G,G在AD上,且AG=GD,BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中點(diǎn),四面體PBCG的體積為

      (1)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;

      (2)求點(diǎn)D到平面PBG的距離;

      (2)平面PBG的單位法向量n0=(0,±1,0),因?yàn)?,∠CGD=45°,所以所以點(diǎn)D到平面PBG的距離為.設(shè)F(0,y, z),則=(0,y,z)-)=.因?yàn)?,所?,所以)·(0,2,0)=2)=0,所以在平面PGC內(nèi)作FM⊥GC,M為垂足,則所以

      說明:本題是非正棱錐的建系,考慮到在位置G處存在線面垂直關(guān)系,以及下底面中的線線垂直關(guān)系,因此選擇該處建立空間直角坐標(biāo)系比較合適.筆者用本題進(jìn)行隨堂測(cè)試,發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)于原點(diǎn)的選擇并不清晰,其無法將坐標(biāo)系清楚地建立起來.在坐標(biāo)系的建立上,筆者認(rèn)為上述兩個(gè)例題所涉及的邊緣知識(shí)是解決立體幾何問題的初步關(guān)鍵,更有甚者我們也看到過坐標(biāo)系建立更為夸張的方式,此處限于篇幅不再贅述.要掌握建系的邊緣知識(shí),最終是從線面垂直和線線垂直入手分析,對(duì)于此塊邊緣知識(shí)的熟練掌握有助于學(xué)生輕松解決立體幾何問題.

      (二)數(shù)列函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)知

      我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù),高考中對(duì)于數(shù)列的考查一般側(cè)重于數(shù)列的基本知識(shí),包括通項(xiàng)公式、求和公式,以及與數(shù)列相關(guān)的不等式,這些是數(shù)列的核心知識(shí).對(duì)于數(shù)學(xué)最本質(zhì)的知識(shí),我們的學(xué)生了解反而很少,有時(shí)甚至根本不理解.以等差數(shù)列為例,筆者做過測(cè)試,很多學(xué)生在沒有復(fù)習(xí)的前提下根本不知道等差數(shù)列的通項(xiàng)公式本質(zhì)是一次函數(shù)的體現(xiàn),對(duì)于等差數(shù)列求和公式是二次函數(shù)(必過原點(diǎn))的函數(shù)本質(zhì)認(rèn)識(shí)則更是鳳毛麟角.這些等差數(shù)列的邊緣知識(shí)極大地豐富了學(xué)生解決某些數(shù)列問題時(shí)的高效性和簡(jiǎn)潔性,卻一直不受重視.

      例3(教材習(xí)題)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=m,前m項(xiàng)和Sm=n(m≠n),求前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

      解法一:設(shè){an}的公差為d,則由Sn=m,Sm=n(m≠n),得

      解法二:設(shè)Sn=An2+Bn(n∈N*),則

      ③-④得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m.因?yàn)閙≠n,所以A(m+n)+B=-1.

      所以A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n),所以Sm+n=-(m+n).

      說明:解法一是本題的核心知識(shí),我們知道學(xué)生必需掌握等差數(shù)列相關(guān)的求和公式運(yùn)用及基本的化簡(jiǎn),但是解法二所利用函數(shù)本質(zhì)的邊緣知識(shí)卻凸顯了等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)本質(zhì),利用其是必過原點(diǎn)的二次函數(shù)這一特性,輕松解決與之相關(guān)的問題.并且可以將類似的數(shù)列邊緣知識(shí)進(jìn)行合理的推廣,等比數(shù)列我們知道其通項(xiàng)公式來源于指數(shù)函數(shù)模型,其求和所得到的關(guān)系式體現(xiàn)了一種特殊的函數(shù),盡管用處不大,但對(duì)于我們認(rèn)知數(shù)列本質(zhì),用其相關(guān)邊緣知識(shí)解決問題有著極大的方便.

      三、尾聲

      邊緣知識(shí)蒞臨于一般基礎(chǔ)知識(shí)之上,但與核心知識(shí)仍舊有一定的差距.但是邊緣知識(shí)在解決問題過程中,卻有著非常重要的作用.從案例中,我們認(rèn)識(shí)到?jīng)]有坐標(biāo)系建立的合理性就無法快捷地解決立體幾何問題,沒有數(shù)列本質(zhì)的研究就無法輕松地利用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列相關(guān)問題.從知識(shí)體系上說,坐標(biāo)系的選擇建立、函數(shù)化本質(zhì)的思索并非是高考應(yīng)試的核心熱點(diǎn)問題,但是它卻對(duì)我們繼續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了基本的保障.因此對(duì)于邊緣知識(shí),筆者認(rèn)為:其一,要加強(qiáng)關(guān)注和細(xì)節(jié)上的把握,邊緣知識(shí)并非像核心知識(shí)一樣困難無法學(xué)習(xí),但是不重視這些細(xì)節(jié)會(huì)致使學(xué)生患得患失,無法取得理想的成績(jī).其二,邊緣知識(shí)還有哪些?這個(gè)在筆者看來,應(yīng)該由教師進(jìn)行把握和篩選,一般以本省高考內(nèi)容為主的問題中進(jìn)行合理的思考和尋找.最后,引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)邊緣知識(shí)態(tài)度的認(rèn)知和重視,只有重視邊緣知識(shí),才會(huì)有更細(xì)致的問題分析態(tài)度和解決態(tài)度,才會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在解決復(fù)雜問題中更為重視那些邊緣化的知識(shí),筆者以自身淺顯的一些認(rèn)知以求讀者更精細(xì)的漸漸見解.

      1.朱永祥.談數(shù)學(xué)知識(shí)的挖掘和運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(上),2012(2).

      2.肖凌戇.關(guān)注探究創(chuàng)新考查理性思維——基于數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的高考命題研究[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2013(5).

      3.褚人統(tǒng).數(shù)學(xué)高考難題破解與知識(shí)超常聯(lián)系[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2009(8).F

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