☉江蘇省蘇州實驗中學 丁益民
一道測試題的命題“失敗”引發(fā)的反思
☉江蘇省蘇州實驗中學 丁益民
最近,筆者所在學校高一年級組織了一次調研測試,在第14題位置編制了以下一道題.
在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c.若c=2acosB,4c2+a2+b2=4,則△ABC的面積的最大值為_________.
本題旨在考查學生對解三角形有關知識的掌握情況,從測試結果來看,全年級458人中僅有12人正確,本題難度可見一斑.翻閱學生的答卷發(fā)現(xiàn)很多空白,為此組織了問卷調查,以及與部分學生面對面交流,集中反饋了以下困惑或困難.
①對“4c2+a2+b2=4”無從下手,毫無處理方向;
②不知如何選擇△ABC的面積公式,導致解題不暢或卡殼;
③由于是第14題,又是“最值”問題,索性放棄.
面對這些情況,筆者陷入了沉思.
反思1:學生為何面對一些條件、目標表現(xiàn)出無法準確表征的傾向?
反思2:試題命制與學生學習實際的“脫鉤”現(xiàn)象何以解決?
要真正解釋與解決上述問題,需從教學實際和試題命制兩方面去尋求答案.
1.試題命制的“初衷”
本著源于課本、高于課本的命題原則,一開始注意到蘇教版教材必修5·P17的第5題(下稱題1):“在△ABC中,已知c=2acosB,試判斷△ABC的形狀.”判斷形狀是“解三角形”這一章節(jié)中重要的題型之一,考慮到若單一考此類問題,學生可能去猜測答案,無法真實、準確了解到學生對此問題的掌握情況,于是決定不直接命制此類問題.恰好搜集到2015屆泰州高三第一學期期末卷第13題(下稱題2):“在△ABC中,A、B、C所對應的邊分別為a、 b、c,若B=C且,則△ABC的面積的最大值為_________.”于是將二者改裝組合,感覺題2中“7a2+的數(shù)據(jù)煩瑣,不利于解答,故將其改為“4a2+b2+c2=4”.在演算過程中,根據(jù)式的結構特征,由“阿波羅尼斯定理”演算發(fā)現(xiàn)可得出此等腰三角形腰上的中線之長(設為x),即2(a2+c2)=b2+(2x)2,解得,由此聯(lián)想到2011屆南通高三第一學期期末卷第14題(下稱題3):“已知等腰三角形腰上的中線長為,則該三角形的面積的最大值為_________.”在題3的處理上方法頗多,這樣的轉化通道或許可為學生的思維走向提供多個方向.
2.考試的實際情況
通過深入的調查與交流,學生反饋了解答中幾種主要情形.
情形1:部分學生在條件“c=2acosB”的處理上,選擇了不同的轉化方向,導致轉化過程(推演過程)過于甬長,耗費了解題時間,如有些同學選擇用正弦定理將邊轉化為角,而后花了一些時間才想到將sinC轉化為sin(A+B),影響了后面的解題進展.
情形2:在得到“a=b”后,很多同學在“4c2+2a2=4”與三角形面積公式兩者之間不知如何架設通道,不能準確地根據(jù)信息選用正確的目標關系,導致思維鏈延長或斷裂,無法進行下去.即便想到如何表示面積(如但接下來在“消元”“根式處理”“換元”等環(huán)節(jié)上出現(xiàn)很多“技術故障”,也使得解題中途“夭折”.
情形3:從調查與交流的學生來看,幾乎沒有學生想到由“4a2+b2+c2=4”演算出中線長,更不要說通過各種方法來研究三角形的面積的最值了.
3.命題與實際情況的“脫鉤”深層分析
從上述命題初衷與現(xiàn)實的落差之大,可見本試題的命制上存在問題.
命制的試題是在成題的基礎上加以改編,能力要求明顯高于原題,并且是在高三模擬測試題的基礎上進行的組合改編,可想而知,題3本身就面向高三學生,綜合性強,隱蔽性大,改編之后的題目與高一學生的現(xiàn)有學習能力存在較大距離.原以為改編題是測試學生能力的“好題”,從實際情況來看,實屬一廂情愿,成了“廢題”——這樣的試題不利于學生對基礎知識的學習,只能干擾或打擊學生學習的積極性.
從信息量上看,命制的試題較題2實際上增加了信息量,而在規(guī)定時間內(nèi)去測試學生的多重表征水平屬于極高要求,學生在解題中表現(xiàn)出的信息處理能力完全處于初級水平,那么出現(xiàn)“索性放棄”的尷尬境況就不足為奇了.因此,命制的試題與學生的心理距離相距較遠.
從解題過程來看,學生肯定是先入為主地思考問題——先研究“c=2acosB”,再研究“4a2+b2+c2=4”,怎能在短時間內(nèi)想到運用“阿波羅尼斯定理”求得“中線長”呢?這樣的思維跨度很大,對學生的思維能力要求極高,更何況這本身就是數(shù)據(jù)的特殊產(chǎn)生的“偶然巧合”,學生實際的思維方向根本不可能走向這個方向.
由此可見,在本題的命題立意上出現(xiàn)了極其嚴重的“主觀傾向”,嚴重脫離了學生的認知基礎和思維水平,在命題中更多地以教師的思維視角來揣度學生的認知可能性,甚至以少許學生的思維水平替代了全校(區(qū)域)學生的思維水平,這是冒險之舉,更是錯誤之舉.因此,在命題中,應充分調查學生的學情,更多地以多數(shù)學生的能力水平為基本依托,以當前學生的思維能力為基本要求,恰當、合理地編制試題,特別是在基礎年級階段,務必要做到:重視基礎考查,避免高難度,素材選擇要適宜,改編尺度要適中,切勿貪求綜合度.
從上面的分析可以看出,本案例是當前教學中急功近利心態(tài)的一個縮影.受到高考“指揮棒”的影響,不少教師在教學中不重視“三基”的落實,不能從學生的實際情況出發(fā)進行教學組織(包括命題),尤其是在基礎年級階段更為嚴重.剛講完一個新的概念(知識),與之相關的高考題、模擬題、綜合題便紛至沓來,殊不知,這樣不負責任“揠苗助長”式的畸形教學行為嚴重挫傷了學生學習數(shù)學的積極性,使得學生越來越畏懼數(shù)學、厭倦數(shù)學.因此,我們呼吁廣大一線教師在教學中務必遵循以生為本的教學理念,立足學情分析,加強研究討論,有針對性地開展教學的一切活動.
另外,學生在本題解答中表現(xiàn)出的茫然、慌亂等心理狀態(tài),也折射出當前教學中“過程性教學”的缺失.事實上,有些教師在教學中過分重視技能方法目標的實施,將教學的重心更多地偏向于解題中技能的傳授,而對知識產(chǎn)生的過程不予重視,對知識建構過程中所內(nèi)含的數(shù)學觀點和思想方法的揭示視而不見,導致知識技能目標的拔高,造成過程方法目標的丟舍.所以我們要重視引導學生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的全過程,充分暴露師生的思維過程,重視他們的表征能力和思維水平的培養(yǎng),引導學生去參與、探索和體悟數(shù)學知識過程中的思想方法.
最后,需要說明的是本文對筆者親身經(jīng)歷的一個真實案例的解剖,旨在點出當前教學中的一些問題,盼引起廣大同仁的重視與研討.
1.許志者.淺談試卷編制的幾個要素[J].中學數(shù)學(上),2015(7).
2.張俊.例談改編課本題的“七種武器”[J].數(shù)學通訊,2015(7).A