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      以根為本開枝散葉
      ——淺談復習教學中的試題研究

      2015-01-31 15:21:32江蘇省無錫市青山高級中學潘蘇琴
      中學數(shù)學雜志 2015年19期
      關鍵詞:散葉基本技能本題

      ☉江蘇省無錫市青山高級中學潘蘇琴

      以根為本開枝散葉
      ——淺談復習教學中的試題研究

      ☉江蘇省無錫市青山高級中學潘蘇琴

      數(shù)學復習教學的核心是指導學生如何解題.從每年高考試卷來看,要解決的熱點和難點問題基本沒有變化,因此需要高三復習教學做得更有針對性.如何體現(xiàn)這一針對性?筆者以為,復習教學需要完成三方面的教學設計:其一是基本知識和基本技能的儲備:沒有扎實的基礎如何解決高難度的問題?有些教師常常讓學生訓練難題、怪題,卻從不對基礎的知識進行講解、分析和鞏固,這種教學方式是在“沙灘上建高樓(張奠宙語)”,非常危險;其二是注重知識之間的整合運用,有了單一知識點的熟練,可以加強知識綜合使用的能力;其三是思想方法在解題中的運用,可以這么說,沒有思想方法的引領有些問題解決起來非常困難,當你將知識和思想高度結(jié)合在一起時,對于知識的使用更具備了一定的方向性和導向性,問題的解決也來得更為便捷一些.

      一、以根為本

      數(shù)學知識的根在于數(shù)學的基礎知識和基本技能,根植于基礎之上的解題是有發(fā)展的、能發(fā)展的,高三復習教學注重對核心知識進行以根為本的發(fā)散是有必要的.

      (2)設z=x2+y2,求z的取值范圍;

      (3)設z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范圍.

      (2)z=x2+y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方.結(jié)合圖形可知,可行域上的點到原點的距離中,,所以2≤z≤29.

      (3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的幾何意義是可行域上的點到點(-3,2)的距離的平方.結(jié)合圖形可知,可行域上的點到(-3,2)的距離中,dmin=1-(-3)=4,dmax=8,所以16≤z≤64.

      說明:(1)本題是線性規(guī)劃的綜合應用,考查的是非線性目標函數(shù)的最值的求法;(2)解決這類問題的關鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法,給目標函數(shù)賦于一定的幾何意義;(3)本題錯誤率較高.出錯原因是,很多學生無從入手,缺乏數(shù)形結(jié)合的應用意識,不知道從其幾何意義入手解題.以上三種不同的目標函數(shù)問題是線性規(guī)劃問題的基本處理,即線性規(guī)劃問題的“根”.

      變式:(2012年江蘇卷第14題)已知正數(shù)a,b,c滿足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,則的取值范圍是_________.

      分析:以題根為本,對本題進行稍加分析即可獲得思路.本題是多元問題,其中涉及三個元a,b,c,最終問題只需研究a,b兩元之間的關系.考慮到需要降元處理,因此本題條件的兩組不等關系中,兩邊同除以c,即將條件轉(zhuǎn)化為,利用整體換元將代入,則有最后問題轉(zhuǎn)換為利用線性規(guī)劃進行解決.

      說明:從江蘇卷考查的線性規(guī)劃來看,本題屬于稍難題,難在哪里呢?主要是涉及兩個方面:其一是轉(zhuǎn)化化歸思想的滲透,如何將三元問題轉(zhuǎn)化為能進一步實施的二元問題,這里轉(zhuǎn)化化歸思想起到了主導作用,在想到了轉(zhuǎn)換的方式之后,問題轉(zhuǎn)變?yōu)槔谜w思想換元和數(shù)形結(jié)合思想來處理;其二,問題的“根”隱藏在例1中的第(1)題中,將問題轉(zhuǎn)換為斜率來處理是基本知識和基本技能.

      二、開枝散葉

      在掌握基本知識和基本技能的基礎上,需要教師將數(shù)學知識傳授得更深刻、更廣泛,此時筆者認為需要教師對“根”進行開枝散葉.

      例2已知a·b=0,向量c滿足(c-a)·(c-b)=0,|a-b|= 5,|a-c|=3,則a·c的最大值為_________.

      分析:向量問題往往是學生比較懼怕的,筆者以為向量小題多是以“小、巧、靈”著稱,其主要考查的是平面向量基本定理、向量數(shù)量積等.這幾年的向量問題并沒有過于復雜的運算,因此思維的考查和培養(yǎng)成為解決向量問題的關鍵,而且教學中要開枝散葉——多解嘗試,給予學生更多的解決思路.

      讀題:根據(jù)題中條件,筆者給學生思考本題,學生中比較多的想法是將問題代數(shù)化,即:

      嘗試:這種想法是很自然也是很必要的一種嘗試,在一般情況下也是很湊效的,但作為稍難的客觀題而言,上述的代數(shù)化處理還未能找到最妙的突破口,我們仔細分析一下我們的解題,在此結(jié)論中,雖然出現(xiàn)了我們所要求的a·c,但由于同時還涉及|a|,|b|,|c|,b與c的夾角這些未知數(shù),因此無法求得a·c,而且代數(shù)化明顯計算量較大,因此選擇從向量的“根”出發(fā),即圖形化和思維角度入手.

      精讀:引導學生對于本題進行再思考、再精讀,“a·b=0”、“(c-a)·(c-b)=0”向我們提供了一個重要的信息:垂直,利用這種垂直關系可以找到本題的圖形特征——圓,因此根據(jù)題意構(gòu)造圖3.

      尋根:我們再結(jié)合問題進行尋根——問題之根:a· c=|a|·|c|cosθ=(x1,y1)(x2,y2).

      定法:根據(jù)求向量數(shù)量積的兩種不同形式,自然能想到求解此題的兩種方法:幾何法、解析法(方法之根);只要我們準確找到了題根,破題在即,躍然紙上,利用多解性的方式將問題給予呈現(xiàn)也成為了開枝散葉、提高思路的一種方式.

      開枝1:關注到有條件a·b=0和(ca)·(c-b)=0,也就是存在兩個垂直關系,因此引導學生想到此題中應該蘊含著典型的幾何圖形,由此可借助于這兩個垂直關系去構(gòu)造圖形.如圖4,令向量,則由a·b=0和(c-a)·(c-b)=0,可得∠AOB=∠ACB=90°,因此可得四邊形OACB為圓的內(nèi)接四邊形,AB=|a-b|=5為圓的直徑,CA=|a-c|=3,BC= |b-c|=4.記a與c的夾角為θ,在圓中,由θ=∠AOC=∠ABC,可知cosθ=cos由條件|a-c|=3平方可得a2+c2- 2a·c=9.則|a·|c||≥2|a|·|c|,可得.所以a·c=|a|·|c|cos

      開枝2:又注意到題中出現(xiàn)了a-c及a·c,因此結(jié)合a+c便可得到此三者之間的一恒等關系:[(a+c)2-(a-c)2][(a+c)2-9].對于a+c,可在△OAC中,取AC的中點為M(如圖5),則a+c=因此,要求a·c的最大值,只需求的最大值即可.在圓中,由于AC=3,所以當OM經(jīng)過圓心時取得最大值.可得,|(a+c)|=9.所max以,代入可得a·c的最大值為

      開枝3:由于向量具有坐標表示及運算,根據(jù)題干條件有兩個垂直關系,因此,可自然想到通過建立直角坐標系,利用坐標進行求解.對于題中所給出的兩組垂直,由于OA、OB的長度未知,而CB=4,CA=3,因此可以選擇以C為坐標原點,以CB、CA為x軸和y軸,建立直角坐標系更為合理,如圖6.因為,這樣更容易得到A,B點的坐標.根據(jù)長度可得C(0,0),B(4,0),A(0,3),由于AB為圓的直徑,所以可知圓心坐標為),則通過三角代換可設點O).因此,得),所以10cosα,因此,可得a·c∈[-2,18].

      總之,復習教學中的試題如何研究是高三復習教學的關鍵.就上述問題而言,筆者認為問題不在于多而在于精,高考題恰是基本知識之上的一種能力體現(xiàn),其中有扎實的基本功和數(shù)學思想的指導將大大提高問題解決的可能性,如例1;對于問題進行多角度開枝散葉式的思考,有助于思維的全面性,如例2.因此,教學中加強試題教學的研究是高三復習教學的關鍵.F

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