思題所解敘己所思
——2015年高考數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理科第20題的拓展研究

☉黑龍江省牡丹江市第八中學(xué) 孔德泉

思題所解敘己所思
——2015年高考數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理科第20題的拓展研究

☉黑龍江省牡丹江市第八中學(xué) 孔德泉

2015年全國(guó)高考剛剛落下帷幕，各省市高考試題凝聚了命題專家的集體智慧，具有權(quán)威性、示范性、借鑒性，研究高考試題對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)大有裨益.筆者對(duì)一道解析幾何題進(jìn)行深入挖掘，在此與讀者分享.

一、高考真題，情境再現(xiàn)

題目（2015年高考數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理科第20題）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，直線l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.

（Ⅰ）證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值；

二、解法研究思路優(yōu)化

（Ⅰ）解法一：參考標(biāo)準(zhǔn)答案（略）.

解法二：（點(diǎn)差法）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓C方程得兩式相減，得9（x1-x2）（x1+x2） +（y1-y2）（y1+y2）=0，因?yàn)橹本€l與坐標(biāo)軸不平行，所以9+，得kl·kOM=-9.

（Ⅱ）解法一：參考標(biāo)準(zhǔn)答案（略）.

從標(biāo)準(zhǔn)答案給出的做法來(lái)看，經(jīng)歷兩次直線與橢圓聯(lián)立，如何避免大量計(jì)算，不妨采?、冖邰倩蛘撷佗邰诓襟E順序求解，即先表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，代入橢圓C方程減少一次直線與曲線聯(lián)立，進(jìn)而驗(yàn)證點(diǎn)P是否存在來(lái)判斷四邊形OAPB能否為平行四邊形，調(diào)整后得解法二.

解法二：設(shè)直線l代入9x2+y2= m2（m＞0），得

評(píng)注：解法二用到的條件有：點(diǎn)P在橢圓C上；點(diǎn)M在直線l上，且滿足xP=2xM，kl·kOM=-9；若從點(diǎn)M入手，且運(yùn)用kl·kOM=-9，大大減少了計(jì)算量，由此可得解法三.

解法三：設(shè)M（x0，y0），由（Ⅰ）知①，若四邊形OAPB為平行四邊形，由點(diǎn)P（2x0，2y0）在橢圓上得②，由①②得m=4y0+12x0，再代入②化簡(jiǎn)得所以

評(píng)注：對(duì)于解法三，根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上并代入方程的啟發(fā)，直接從點(diǎn)P入手，運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，由此得解法四.

解法四：設(shè)橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為四邊形OAPB為平行四邊形，結(jié)合第（Ⅰ）問(wèn)知化簡(jiǎn)得平方得sin2θ+cos2θ+即整理得即所以

三、演繹推理，結(jié)論生成

結(jié)論1：已知橢圓過(guò)點(diǎn)（b，a）或（-b，-a）的直線l，不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，若直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M，延長(zhǎng)線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB為平行四邊形，則直線l的斜率

解析：設(shè)橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（bcosθ，asinθ），OP的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為四邊形OAPB為平行四邊形，結(jié)合第（Ⅰ）問(wèn)知a，b約分后，同樣得（這樣的做法易于發(fā)現(xiàn)本質(zhì)），而

結(jié)論2：已知橢圓或（b，-a）的直線l，不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，若直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M，延長(zhǎng)線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB為平行四邊形，則直線l的斜率

直線l過(guò)點(diǎn)（b，a）；（-b，-a）；（-b，a）；（b，-a），仍具有一定的特殊性，替換成平面內(nèi)任意一點(diǎn)（m，n），四邊形OAPB還能為平行四邊形嗎？對(duì)點(diǎn)（m，n）有什么限定，則直線l的斜率kAB可否表示？再次引發(fā)我們的思考，筆者悉心研究發(fā)現(xiàn)：

解析：得2a2bmcosθ+ 2ab2sinθ=a2b2，即平方得（*）式有解，（4a2m2-a2b2）cos2θ+（4b2n2-a2b2）sin2θ+ 8abmncosθsinθ=0，除以sin2θ，得（4a2m2-a2b2）（與上面推理結(jié)論相同），代入求根公式得：所以

四、拓展變式，命題加強(qiáng)

結(jié)論4：已知橢圓過(guò)橢圓D：上任意一點(diǎn)M（x0，y0）的切線l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M，延長(zhǎng)線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，則四邊形OAPB為平行四邊形.

結(jié)論5：過(guò)橢圓外的任意一點(diǎn)（m，n）的直線l（不過(guò)原點(diǎn)）與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，延長(zhǎng)線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，有且只有兩條過(guò)（m，n）的直線l使四邊形OAPB為平行四邊形.

結(jié)論6：已知橢圓直線l（不過(guò)原點(diǎn)）與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M，延長(zhǎng)線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，若四邊形OAPB為平行四邊形，則直線l為的切線.

結(jié)論7：已知橢圓，直線l（不過(guò)原點(diǎn)）與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M，延長(zhǎng)線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，若四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)直線l變化時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為

四邊形OAPB由平行四邊形變式為菱形、正方形，若題目中的條件不發(fā)生改變，又會(huì)有以下結(jié)論：

結(jié)論8：直線l（不過(guò)原點(diǎn)）與橢圓0）交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，延長(zhǎng)OM與橢圓C交于點(diǎn)P，若四邊形OAPB為菱形，則直線l的方程為x=中點(diǎn)的頂點(diǎn).

結(jié)論9：直線l（不過(guò)原點(diǎn)）與橢圓0）交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，延長(zhǎng)OM與橢圓C交于點(diǎn)P，若四邊形OAPB為正方形，直線l的方程為y=的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，且橢圓C的離心率為

五、求知若渴，學(xué)無(wú)止境

文中研究的均是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，將以上研究結(jié)論中的a、b互換即可得到焦點(diǎn)在x軸上橢圓的相關(guān)結(jié)論.解析幾何作為高中數(shù)學(xué)不可或缺的一部分，是高考考查中的重頭戲，而雙曲線、拋物線也是圓錐曲線中的重要成員，雙曲線、拋物線中的相關(guān)結(jié)論期待大家的研究.波利亞有一句膾炙人口的名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.”只要我們不斷地進(jìn)行研究創(chuàng)新，數(shù)學(xué)結(jié)論將演繹得更加絢麗多姿，數(shù)學(xué)習(xí)題之花將遍野開(kāi)放.