笛卡兒方法論引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)*

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué)錢鵬徐新民

笛卡兒方法論引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)*

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué)錢鵬徐新民

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》特別指出兩點：其一“提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度”，其二“具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀”·眾所周知，這兩條目標主要是針對“情感、態(tài)度與價值觀”目標領(lǐng)域的·反觀中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)立意，囿于“知識與技能”，甚至狹隘地變形為題海戰(zhàn)術(shù)、解題機器還較為普遍，對“過程與方法”的關(guān)注不夠，至于“情感、態(tài)度與價值觀”就更鮮有長期滲透（有也多為公開課、評優(yōu)課中的曇花一現(xiàn)），陷入“不會學(xué)、怕學(xué)、厭學(xué)、學(xué)不好”困境的學(xué)生不在少數(shù)，自然課程目標的達成就無從談起·改變這種現(xiàn)狀，我們一線教師責(zé)無旁貸·“授人以魚不如授人以漁”，要“提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心”，首先須改變“不會學(xué)”狀況，也就是要掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法；要學(xué)生“具有一定的數(shù)學(xué)視野”，教師要先拓展自己的數(shù)學(xué)視野，進而引領(lǐng)學(xué)生見識、體驗、累積“一定的數(shù)學(xué)視野”·其中，閱讀（數(shù)學(xué)）教育經(jīng)典名著，向大師學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟、借鑒、介紹大師們的哲學(xué)和學(xué)科思想、觀念、治學(xué)與研究的原理、方法，是所謂“取法乎上”的可取做法，受過這種文化、精神濡染熏陶，對提高人生境界是有幫助的，對教與學(xué)不可能不產(chǎn)生積極影響·基于這樣的看法，本文介紹笛卡兒的方法論，并將之應(yīng)用于引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，作些初步探討，不當(dāng)之處，敬請專家批評指正·

一、笛卡兒方法論的“源”與“流”

蘇教版必修2第二章章末“解析幾何的產(chǎn)生”的閱讀材料，是把笛卡兒作為數(shù)學(xué)家來介紹的，但正如M·克萊因所說“Descartes是第一個杰出的近代哲學(xué)家，是近代生物學(xué)的奠基人，是第一流的物理學(xué)家，但只偶爾的是一個數(shù)學(xué)家·不過，像他那樣富于智力的人，即使只花一部分時間在一個科目上，其工作也必然是很有意義的·”笛卡兒首先是位哲學(xué)家，所以他一般是從哲學(xué)的高度來思考、研究學(xué)問的，他的視野相對來說也就更開闊，思想更深邃·他所尋找和建立的方法、原則就鮮明地具有追求普適性、一般性和指導(dǎo)性的特征·典型地體現(xiàn)為在《思想的指導(dǎo)法則》中提出“萬能方法”，即“把一切問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，把一切數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為代數(shù)問題，把一切代數(shù)問題歸結(jié)為方程”，和1637年發(fā)表的《更好地指導(dǎo)推理和尋找科學(xué)真理的方法論》（有不同譯法，筆者手中的是王太慶先生的譯著，全名為《談?wù)務(wù)_運用自己的理性在各門學(xué)問里尋求真理的方法》，簡稱“談?wù)劮椒ā保ぁ罢務(wù)劮椒ā笔且槐疚墓P優(yōu)美的哲學(xué)經(jīng)典著作，笛卡兒以“我思故我在”為其哲學(xué)中的第一原理，建立自己的理性主義哲學(xué)體系，羅素認為“‘我思故我在’是笛卡兒的認識論的核心，包含著他的哲學(xué)中最重要之點·笛卡兒之后的哲學(xué)家大多都注重認識論，其所以如此主要源于笛卡兒·”從數(shù)學(xué)的角度，“談?wù)劮椒ā敝械摹稁缀螌W(xué)》被認為是解析幾何創(chuàng)立的標志，在中國，人們對笛卡兒及其坐標法的認識和評價，還在于恩格斯將笛卡兒的坐標法與對數(shù)的發(fā)明、微積分的建立并稱為17世紀數(shù)學(xué)的三大成就，但在笛卡兒本人，這只是他的“副產(chǎn)品”，笛卡兒想要做的是闡述“更好地指導(dǎo)推理和尋找科學(xué)真理的方法論”或“談?wù)務(wù)_運用自己的理性在各門學(xué)問里尋求真理的方法”，作為附錄之一的《幾何學(xué)》僅是作為使用新方法的例子，“就是為了證明他的方法是有效的，他相信他已經(jīng)證明了”（這是笛卡兒所寫的唯一一本數(shù)學(xué)書，也是M·克萊因說笛卡兒“只偶爾的是一個數(shù)學(xué)家”的原因）·

王太慶先生的譯本“談?wù)劮椒ā敝性趯φ軐W(xué)、幾何和代數(shù)三門學(xué)問做了一番批判后，笛卡兒指出“…去尋找另外一種方法，包含這三門學(xué)問的長處，而沒有它們的短處…用不著制定大量規(guī)條構(gòu)成一部邏輯，單是下列四條，只要我有堅定持久的信心，無論何時何地絕不違反，也就夠了·”第一條是：凡是我沒有明確地認識到的東西，我絕不把它當(dāng)成真的接受·也就是說，要小心避免輕率的判斷和先入之見，除了清楚分明地呈現(xiàn)在我心里、使我根本無法懷疑的東西以外，不要多放一點別的東西到我的判斷里·第二條是：把我所審查的每一個難題按照可能和必要的程度分成若干部分，以便一一妥為解決·第三條是：按次序進行我的思考，從最簡單、最容易認識的對象開始，一點一點逐步上升，直到認識最復(fù)雜的對象；就連那些本來沒有先后關(guān)系的東西，也給它們設(shè)定一個次序·最后一條是：在任何情況之下，都要盡量全面地考察，盡量普遍地復(fù)查，做到確信毫無遺漏·

需要說明的是：上述四條原則也可視為研究方法的四個步驟，是基于笛卡兒理性主義認識論之上的·笛卡兒的“真”，是指“凡屬理性清楚明白地認識到的，都是真的·”；把審查的難題盡可能地分割分細，是為了一下子就能清楚明白地洞察其本質(zhì)，而且把每一部分透徹認識了則全體（整體）也就得到了可靠的認識·王太慶先生對此評價說“笛卡兒以理性的清楚明白認識作為真理標準”“還不能見到實踐是認識的基礎(chǔ)，也是鑒別真理的唯一標準”“笛卡兒不但沒有達到馬克思的水平，連康德的水平都沒有達到，但是他達到了他那個時代哲學(xué)所能達到的高級水平，比經(jīng)院哲學(xué)高明多了·”

笛卡兒對自己創(chuàng)建的方法談了些運用心得和感受：“這種方法叫人遵照研究對象的本來次序確切地列舉它的全部情況”“這種方法最令我滿意的地方還在于我確實感到，我按照這種方法在各方面運用我的理性，雖不敢說做到盡善盡美，至少可以說把我的能力發(fā)揮到了最大限度·此外我還感到，由于運用這種方法，我的心靈逐漸養(yǎng)成了過細的習(xí)慣，把對象了解得更清楚、更分明了”“由于嚴格遵守我所選擇的那不多幾條規(guī)則，我輕而易舉地弄清了這兩門學(xué)問所包括的一切問題，因此在從事研究的兩三個月里，我從最簡單、最一般的問題開始，所發(fā)現(xiàn)的每一個真理都是一條規(guī)則，可以用來進一步發(fā)現(xiàn)其他真理”·

一般認為，在1960年以前，西方科學(xué)研究的方法基本上按照“談?wù)劮椒ā边M行的，直到阿波羅1號登月工程的出現(xiàn)，科學(xué)家才發(fā)現(xiàn)，有的復(fù)雜問題無法分解，必須以復(fù)雜的方法來對待，因此導(dǎo)致系統(tǒng)工程的出現(xiàn)，方法論的方法才第一次被綜合性的方法所取代·筆者認為，隨著科技發(fā)展和深入，會拓展新的領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)新的問題而新的先進的方法論還會創(chuàng)建，像愛因斯坦的理論超越了牛頓，但并不因此就放棄經(jīng)典力學(xué)一樣，相對于不同的應(yīng)用范疇、問題復(fù)雜程度而言，研究的方法還是具有選擇性的，所以笛卡兒的方法論對現(xiàn)代人的學(xué)習(xí)和研究仍具有積極指導(dǎo)意義·

二、笛卡兒方法論引導(dǎo)下高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思考

針對數(shù)學(xué)學(xué)科特點和教學(xué)實際，將笛卡兒的方法論引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考應(yīng)是大有裨益的·

1·遵循笛卡兒方法論的四條規(guī)則和步驟，從操作層上面程序化地指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

笛卡兒方法論的四條規(guī)則，也可理解為解決問題、研究對象的四個步驟：先判斷所面臨的問題或?qū)ο笫欠駷檎?，即在理性上是否是清楚明白的→是的，就接受并把它放到“我”的判斷里（作為判斷其他東西的依據(jù)）；否則，將問題或?qū)ο筮M行足夠細的分割→對分割的部分按由易到難、由簡單到復(fù)雜的順序，逐個有序地加以考察，先一一看清楚，弄明白，再組合得到原問題的解答→復(fù)查檢驗，包括每個步驟，每一種情形，對象的每個側(cè)面等，直至確信結(jié)論正確無誤（并成為新規(guī)則，用以發(fā)現(xiàn)新的真理）·可以看出，關(guān)鍵是對所面對的問題或?qū)ο蟮目茖W(xué)、恰當(dāng)、合理的分割和排序，這實際上也是方法論應(yīng)用的主要難點·

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯的連貫性和數(shù)學(xué)思想方法的一致性是其自身固有的特征，只要“理解數(shù)學(xué)”，就可按知識的邏輯順序、發(fā)展軌跡線索自然展開·章建躍老師對此進行了深入研究，就具體數(shù)學(xué)對象的研究和學(xué)習(xí)多次撰文、示范，提出數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“基本套路”概念，指出“每面對一個數(shù)學(xué)新對象，如果都能引導(dǎo)學(xué)生按‘背景-定義-表示-分類-（代數(shù)）運算、（幾何）性質(zhì)-聯(lián)系’的線索展開學(xué)習(xí)，那么經(jīng)過長期熏陶，前述數(shù)學(xué)教育的根本目標就能得到真正落實”，其中經(jīng)典的例子包括文4中的“三角形”研究概括：定義—表示—分類（以要素為標準）—性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）—特例（性質(zhì)和判定）—聯(lián)系（應(yīng)用）；定性研究（平直性、對稱性等）—定量研究（面積、勾股定理、相似等）；文5中的復(fù)數(shù)問題的基本框架：復(fù)數(shù)的背景——為了使負數(shù)能開方，從而使任意多項式方程都能解；復(fù)數(shù)的定義——引入一個新符號i（虛數(shù)單位），其意義是i2=－1；復(fù)數(shù)的表示——代數(shù)表示、幾何表示；復(fù)數(shù)的有關(guān)概念——實部、虛部、模，相等，共軛復(fù)數(shù)等；復(fù)數(shù)的分類——實數(shù)作為復(fù)數(shù)的一部分；復(fù)數(shù)的運算——加、減、乘、除、乘方、開方及其幾何意義；復(fù)數(shù)的聯(lián)系——與向量、三角函數(shù)等的聯(lián)系（“復(fù)數(shù)就是向量”，復(fù)數(shù)的三角表示，向量的旋轉(zhuǎn)、伸縮與復(fù)數(shù)的乘法等）；某些特殊問題的研究，例如虛數(shù)單位i的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的“三角形不等式”、棣莫弗公式、單位根ω的性質(zhì)等·按照章建躍老師的“基本套路”操作，就可保證分割與定序的科學(xué)性、有效性，避免將數(shù)學(xué)人為生硬地割裂，結(jié)果弄得支離破碎，“識木不易”“見林更難”·

2·滲透笛卡兒方法論中的理性主義的審慎、批判精神，從態(tài)度和觀念上引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

“凡是我沒有明確地認識到的東西，我絕不把它當(dāng)成真的接受·”這首先就是一種科學(xué)態(tài)度，實事求是的態(tài)度·笛卡兒方法論中的懷疑是去偽存真的批判，否定的是迷信和幻覺，并不是完全否定感覺，只是認為感覺經(jīng)驗有片面性，單憑感覺得不到普遍的科學(xué)真理，應(yīng)在全面的理性指導(dǎo)下批判地總結(jié)·要實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)課程目標中的“形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神”，應(yīng)該從笛卡兒的理性主義哲學(xué)和他的方法論中吸取精華、營養(yǎng)和力量·不迷信教師、教科書等權(quán)威，就是強調(diào)獨立思考、敢于大膽質(zhì)疑和提出問題；也需要對自己的認識有理性的正確判斷，一個數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵理解得是不是真正到位了？公式、定理的來龍去脈和推導(dǎo)是不是真正搞清弄懂了？很多學(xué)不好數(shù)學(xué)的學(xué)生不是他們的努力不夠，而是概念模糊、原理混亂，滿腦袋裝的是一些似是而非的東西·劉紹學(xué)教授在人教A版“主編寄語”中說“數(shù)學(xué)易學(xué)，因為它是清楚的，只要按照數(shù)學(xué)規(guī)則，按部就班，循序漸進地想，絕對可以學(xué)懂；數(shù)學(xué)是難學(xué)的，也因為它是清楚的，如果有人不是按照數(shù)學(xué)規(guī)則去學(xué)去想，總是把‘想當(dāng)然’的東西強加給數(shù)學(xué)，在沒有學(xué)會加法的時候就想去學(xué)習(xí)乘法，那就要處處碰壁，學(xué)不下去了·”“數(shù)學(xué)是清楚的”展示的就是數(shù)學(xué)的理性精神·數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，一開始就要養(yǎng)成“概念清、原理透”（郭慧清老師語）的好習(xí)慣，數(shù)學(xué)課要“講活”“講懂”“講深”（鄭毓信教授語），特別是要重視概念的正誤辨析、命題的真假判斷、學(xué)生思維過程暴露、錯解案例剖析等教學(xué)環(huán)節(jié)或組織形式，保證學(xué)生接受和儲備的都是明確清楚的東西，保證思維的源頭沒被污染，也才能夠展開進一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如實踐“從基本知識出發(fā)”的思考策略·

3·融合笛卡兒“方法論”與波利亞的“探索法”，從數(shù)學(xué)方法論層面引領(lǐng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

“掌握數(shù)學(xué)意味著什么呢？這就是善于解題（波利亞語）”·

笛卡兒方法論與波利亞的探索法是有其歷史和學(xué)術(shù)淵源的·波利亞名著《怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法》中的“怎樣解題表”給出的也是類似4個步驟：第一，理解題目；第二，擬定方案；第三，執(zhí)行方案；第四，回顧·在文6中波利亞不止一次或隱或顯地提及兩者間的聯(lián)系，序言部分“根據(jù)作者對求解方法的長期認真嚴肅的研究來寫就的·這種方法被某些作者稱為探索法……，它有過一段很長的歷史，而且也許還會有其將來”“關(guān)于探索法的這一主題和各個方面都有著聯(lián)系·因此數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、心理學(xué)家、教育家，甚至哲學(xué)家都會提出將它的各個不同部分納入他們各自的專門領(lǐng)域”·在第三部分“探索法小詞典”的“探索法”條目中對探索法的界定做了分析，明確提出“我們的這本小冊子試圖以一種現(xiàn)代而樸素的形式來復(fù)興探索法”，由該條目（參看其他資料）我們可以梳理出如下淵源鏈條：古希臘（公元前300年前后）帕普斯→17世紀上半葉笛卡兒→17世紀下半葉到18世紀初德國哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家萊布尼茨→18世紀末到19世紀上半葉捷克邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家波爾查諾→20世紀波利亞·

從波利亞的敘述中可以看出笛卡兒的方法論對其“探索法”是有影響的，只是波利亞的探索法以“怎樣解題”為對象，選擇的內(nèi)容以數(shù)學(xué)問題為主，當(dāng)然也就更適合數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究，特別是在數(shù)學(xué)方法論層面，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)解題有極大的指導(dǎo)意義·要學(xué)生學(xué)會解題、拓展，首先要教學(xué)生學(xué)會思考，鄭毓信教授在文7中對此有深入研究和探討，老師們可以學(xué)習(xí)·

波利亞解題表中的第二部分是其核心，重點探討的是問題的“分解與組合”技術(shù)，對照笛卡兒方法論的第二步，實質(zhì)上是給出不同分解的可能性建議，聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、變更、改造問題和對象的策略和路徑，借助這些元認知提示語，使我們得以深入問題的各個部分，發(fā)現(xiàn)它們間的內(nèi)在聯(lián)系，為解題制定計劃、擬定方案提供最大可能，通過不斷實踐，就有望使我們的解題能站在數(shù)學(xué)方法論的高度審視、反省我們的解題行為，使我們的思維方向更明確，思維策略更靈活，使解題變成一個充滿智慧和有趣的歷程，確實很值得期待和嘗試，因為“教會學(xué)生思考，這對學(xué)生來說，是一種最有價值的本錢（贊可夫語）”·

高中數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，高中數(shù)學(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！薄把芯啃詫W(xué)習(xí)”等學(xué)習(xí)活動，將方法論用于這些學(xué)習(xí)活動的指導(dǎo)是進一步值得研究的問題·

1·莫里斯·克萊因，著·古今數(shù)學(xué)思想（二）［M］·朱學(xué)賢，等，譯·上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002·

2·羅素，著·西方哲學(xué)史（下卷）［M］·馬元德，譯·北京：商務(wù)印書館，2013·

3·笛卡兒，著·談?wù)劮椒ǎ跰］·王太慶，譯·北京：商務(wù)印書館，2014·

4·章建躍·要注重系統(tǒng)思維的培養(yǎng)［J］·中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2013（11）·

5·章建躍·邏輯的連貫性和思想方法的一致性［J］·中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2013（6）·

6·G·波利亞，著·怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法［M］·涂泓，馮承天，譯·上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007·

7·鄭毓信·數(shù)學(xué)方法論［M］·南寧：廣西教育出版社，1996·

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*本文為江蘇省教育科學(xué)“十二·五”規(guī)劃立項課題《“我的課堂”的構(gòu)建研究》（課題編號：D/2011/02/392，主持人：徐新民）、南通市教育科學(xué)“十二·五”規(guī)劃立項課題《基于學(xué)生主體的“問題導(dǎo)學(xué)”高中數(shù)學(xué)課堂模式研究》（課題編號：JY62，主持人：錢鵬）研究成果.