三個宇宙速度的多種推導(dǎo)及教學(xué)啟示

劉鵬松+李興

摘 ? 要：三個宇宙速度的推導(dǎo)可以加深對宇宙速度的認(rèn)識。本文從不同角度進行了詳細(xì)的推導(dǎo)和論證。

關(guān)鍵詞：宇宙速度;勻速圓周;運動合成;引力勢能;公轉(zhuǎn)

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2015）1-0039-2

高中物理（必修2）中的《宇宙航行》一節(jié)對三個宇宙速度概念的描述及第一宇宙速度的推導(dǎo)，這一內(nèi)容的引入對于中學(xué)階段的學(xué)生來說具有非常重要的意義，也是對人類飛天從夢想到圓夢這一歷史進程的回顧。教參及高考都明確要求學(xué)生掌握三個宇宙速度的含義和數(shù)值，并且會推導(dǎo)第一宇宙速度。然而，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生在學(xué)完第一宇宙速度之后，總是在不斷詢問和疑惑另外兩個宇宙速度的推導(dǎo)過程。筆者覺得，作為一名合格的高中物理教師，不僅僅要傳授給學(xué)生必備的高考知識，更應(yīng)該去幫助學(xué)生答疑解惑，并且以此來激發(fā)學(xué)生的科學(xué)探究精神，進而來拓展他們想象和思考的空間，而不是單純的把問題留給學(xué)生。下面筆者分別采用多種方法來推導(dǎo)這三個宇宙速度，以期起到拋磚引玉的作用。

1 ? ?第一宇宙速度v1=7.9 km/s的推導(dǎo)

1.1 ? ?方法1

當(dāng)一顆衛(wèi)星被發(fā)射后在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動而不落回地面，此時衛(wèi)星具有的速度即為第一宇宙速度v1。設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，衛(wèi)星到地心的距離為r，由圓周運動知識得： ?= ?（1）。近地衛(wèi)星高度一般在100 km～200 km，與地球半徑6400 km相比，完全可以理解成是在“地球表面附近”運行，故可以用地球半徑R代表衛(wèi)星的軌道半徑r。將r=R=6.4×106 m代入（1）式可得：v1=7.9 km/s。

1.2 ? ?方法2

地面附近的重力加速度g=9.8 m/s2，直接利用重力提供向心力得： ?=mg（2）。將r=R代入（2）式得：v1= ?=7.9 km/s。

1.3 ? ?應(yīng)用運動的合成與分解規(guī)律推導(dǎo)

眾所周知，按照第一宇宙速度穩(wěn)定運行的衛(wèi)星，其運動軌跡基本上與地球大圓重合。如圖1所示，衛(wèi)星從A點運動到C點的運動，可以看成是沿切線AB方向的勻速直線運動和BC方向的自由落體運動的合運動。這是由衛(wèi)星沿切線方向不受力，沿徑向只受重力所決定的。AB=v1t，BC= ?gt2，地球半徑為R，由于衛(wèi)星高度可以忽略不計，根據(jù)幾何關(guān)系可得：（R+ ?gt2）2=R2+（v1t）2 （3）。

圖1 ?衛(wèi)星從A點運動到C點

cosθ= ?= ? ?（4）。（3）（4）聯(lián)立得：

- ?v ? ?+R=0，解之仍有v1= ?=7.9 km/s。

衛(wèi)星按照第一宇宙速度運行時，因其特殊的位置特點，又被稱為最小的發(fā)射速度和最大的環(huán)繞速度。

2 ? ?第二宇宙速度的推導(dǎo)

2.1 ? ?動能定理結(jié)合微積分知識推導(dǎo)

從地面發(fā)射一顆人造天體，使之脫離地球的引力束縛不再飛回地球所需要的最小發(fā)射速度，稱為第二宇宙速度。假設(shè)該人造天體飛至距離地球無窮遠(yuǎn)處的速度恰好為零，在此過程中根據(jù)動能定理得：W=0- ?mv ? ?（5）。W為地球引力對人造天體所做的功。由于在飛離地球的過程中，歷經(jīng)的空間尺度特別大，所以萬有引力為變力。對于該過程中的萬有引力做功貌似無法求出，其實根據(jù)高中學(xué)生已經(jīng)掌握的微積分知識可得：

W=- ? ?dr= ? ?=- ?，

即：W=- ? （6）

其中M為地球質(zhì)量，m為衛(wèi)星質(zhì)量。（5）（6）兩式聯(lián)立得：v2= ?=11.2 km/s。

2.2 ? ?利用引力勢能表達(dá)式

根據(jù)上面的萬有引力做功的表達(dá)式，選擇距離地球無窮遠(yuǎn)處的引力勢能為零，不難得到距離地心距離為r處的引力勢能表達(dá)式：Ep=- ?（7）。按照第二宇宙速度發(fā)射人造天體時，在地球表面時具有的機械能為：E1=- ?+ ?mv ? ?，在無窮遠(yuǎn)處，E2=0。飛行過程中只有引力做功，根據(jù)機械能守恒定律得：E1=E2，也可求得v2= ?=11.2 km/s。

第二宇宙速度是在地面使物體脫離地球引力束縛的最小速度，所以第二宇宙速度又叫脫離速度。對于發(fā)射速度大于11.2 km/s的人造天體來說，雖然逃脫了地球的引力束縛，但是仍然要受到太陽的吸引，從而成為太陽系的人造行星。

3 ? ?第三宇宙速度v3=16.7 km/s的推導(dǎo)

在思考第三宇宙速度的求解方法時，許多學(xué)生都倍感困惑，感到是“老虎吃天——無從下口”。其實，從推導(dǎo)第二宇宙速度的解法模型中我們可以知道：如何求將一個離太陽1.5億公里的相對于太陽靜止的物體脫離太陽引力束縛需要的速度v'1的方法;再考慮到地球公轉(zhuǎn)速度的因素，發(fā)射速度會相應(yīng)的減小到v'2;最后再將發(fā)射時地球引力的影響因素考慮進去，還需要克服地球引力做功，速度再相應(yīng)的增大至某一速度，這個速度就是第三宇宙速度v3。根據(jù)以上的分析不難得： ?mv ? ?+（- ?）=0 ?（8）。其中M ?=2×1030 kg，r ?=1.5×1011 m，代入得：v'1= ?=42.2 km/s。由于地球圍繞著太陽公轉(zhuǎn)，根據(jù)萬有引力提供向心力得： ?= ?（9）。代入數(shù)據(jù)得公轉(zhuǎn)速度v'2= ?=29.8 km/s。v'1、v'2都是相對于太陽的速度。為降低發(fā)射難度，可使發(fā)射方向與公轉(zhuǎn)方向一致，只需要使之沿地球公轉(zhuǎn)軌道方向速度增加v'3，v'3=v'1-v'2=12.4 km/s，該速度是相對于地球的速度（如圖2所示）。最后，再考慮地球引力的影響，只要使人造天體在脫離地球引力束縛時仍具有v'3的速度即可。由機械能守恒定律，對人造天體： ?mv ? ?- ?= ?mv ? ? （10）。再由第二宇宙速度的求法得： ?mv ? ?- ?=0（11）。（10）（11）兩式聯(lián)立得：v ?= ?=16.7 km/s。

一個地球上的物體要想擺脫太陽的引力束縛，同時還要擺脫地球的引力束縛，其發(fā)射速度必須大于或者等于16.7 km/s，因此，第三宇宙速度又叫逃逸速度。

綜上所述，對三個宇宙速度的推導(dǎo)過程中，不僅要涉及到物理上的運動的合成與分解、能量守恒定律、圓周運動規(guī)律以及參考系的選取，還要用到數(shù)學(xué)上的微積分知識等。這些規(guī)律的綜合運用，必然對于完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、激發(fā)學(xué)生的求知探索能力大有裨益，特別是對于尖子生的培養(yǎng)將會起到極大的促進作用。

參考文獻(xiàn)：

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[2]彭孝勇.例談拋體運動中易被忽視的解題技巧[J].物理教學(xué)探討，2010，（3）：24.

（欄目編輯 ?羅琬華）