淺談數(shù)形結(jié)合的兩種途徑

蔡麗娟

摘 要：“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的對象，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）23-296-01

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的對象，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的。每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形作出直觀的反映和描述。數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來?？梢哉f，數(shù)形結(jié)合是一柄雙刃的解題利劍，那么如何進(jìn)行有效的數(shù)形轉(zhuǎn)換呢？

一、由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換途徑

1、借助函數(shù)圖像實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

方程與不等式問題?？赊D(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)或位置關(guān)系的問題，并借助函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決相關(guān)問題。

例1（2013年天津高考試題）已知函數(shù) ，設(shè)關(guān)于x的不等式 的解集為A，若 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（A） （B）

（C） （D）

解：顯然 為奇函數(shù)，且 ，

當(dāng) 時(shí)，根據(jù)圖形知 的解集為空集，不符合題意。當(dāng) 時(shí)，如圖所示，

則當(dāng) 時(shí)，由 得

。故選A。

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對稱性，以及由函數(shù)圖像解答不等式問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題。

2、借助數(shù)與式的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

許多等式或代數(shù)式都具有明顯的幾何意義，例如可利用平面向量的數(shù)量積及模的性質(zhì)來尋求數(shù)式的幾何性質(zhì)等。

3、借助曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

即利用解析幾何中的曲線與方程的關(guān)系、重要的公式（如兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、直線的斜率、直線的截距）、定義（如平面區(qū)域）等來謀求數(shù)式的圖形背景及有關(guān)性質(zhì)。

4、構(gòu)造幾何模型

通過對數(shù)式的結(jié)構(gòu)或問題的特征分析，構(gòu)造出符合數(shù)式或問題情景的幾何圖形。如將 與勾股定理溝通，將 與余弦定理溝通等。

例2有A、B、C、D四個(gè)島嶼，現(xiàn)要建造3座橋?qū)⑦@四個(gè)島嶼連接起來，共有多少種不同的方案？

解：構(gòu)建四面體ABCD，共有6條棱，根據(jù)題意，任意取3條有 種方法，其中共面的三條棱應(yīng)舍去。故共有 種不同方案。

點(diǎn)評：本題根據(jù)問題情景構(gòu)建四面體巧妙求解。

二、由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化途徑

1、解析法

即建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，引進(jìn)坐標(biāo)，將幾何圖形變換為坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系。

例3已知正方體 的棱長為1，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)動點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線 的距離等于點(diǎn)P到直線CD的距離，則動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（ ）

A、拋物線 B、雙曲線 C、直線 D、直線

解：如圖所示，以A為原點(diǎn)，AB為 軸，AD為 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，作PE ，垂足為E，F(xiàn)P ，垂足為F，連結(jié)EF，則AD 平面PEF，于是，AD EF，從而|EF|=1，且PE EF。故有

，作PN CD，垂足為N，則|PN|=| -1|，依題意有

|PF|=|PN|，所以 ，化簡得 ，故動點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是雙曲線，選B。

點(diǎn)評：本題不僅考查了立體幾何中的點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，而且考查了平面解析幾何中求軌跡的一般方法——解析法。

2、三角法

即將幾何問題與三角溝通，運(yùn)用三角知識獲得探求結(jié)論的途徑。

3、向量法

即將幾何圖形向量化，運(yùn)用向量運(yùn)算解決幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題，化抽象的幾何推理為精確的代數(shù)運(yùn)算。特別是運(yùn)用空間向量、平面的法向量等工具解決立體幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題時(shí)，更是使問題的解決變得有章可循，有路可走。這方面的例子在近幾年中的各地高考試卷中比較常見，這里不再枚舉了。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 章建躍，數(shù)學(xué)思想方法的力量[J]，中小學(xué)數(shù)學(xué)：下旬，2013（10）：封底.