基于有限增量法的非線性RL電路的研究

彭川來(lái)

（閩南理工學(xué)院，福建 石獅 362700）

0 引言

非線性電路除了極少數(shù)情況外，是無(wú)法得到非線性微分方程的解析解，因此本課題采用分段有限增量法求解一階RL 非線性電路微分方程近似解。對(duì)線性和非線性RL 電路暫態(tài)過(guò)程進(jìn)行了對(duì)比和分析，同時(shí)利用Matlab 軟件結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)清晰直觀的揭示出非線性RL 電路暫態(tài)過(guò)程的特性。

1 一階非線性電路暫態(tài)過(guò)程的分析

1.1 一階非線性電路

一階非線性電路只含有一個(gè)儲(chǔ)能元件（電感或電容），但可能含有多個(gè)非線性電阻；而且儲(chǔ)能元件可能是線性的，也可能是非線性的[1]。按網(wǎng)絡(luò)中是否含有時(shí)變電源或時(shí)變電阻，一階非線性電路可區(qū)分為非自治和自治的兩大類(lèi)。對(duì)于非自治的一階非線性電路來(lái)說(shuō)，其狀態(tài)方程具有如下形式：

對(duì)于自治的一階非線性電路來(lái)說(shuō)，其狀態(tài)方程具有如下的形式：

求解一階非線性電路方程的方法有：直接積分法、數(shù)值分析法、圖解法、分段線性化法以及有限增量法等。本文將采用有限增量法對(duì)一階非線性電路進(jìn)行求解。

1.2 有限增量法

在求解非線性電路暫態(tài)過(guò)程中，關(guān)鍵的一步是求解積分。由于非線性電路元件的特殊性，直接積分往往得不到解析結(jié)果，這就需要采用近似方法求解。

有限增量法是一種利用微分方程的數(shù)值求解法來(lái)求解非線性電路的暫態(tài)方程的方法。其要點(diǎn)在于將要研究的其中過(guò)程的全部時(shí)間化為許多微小的間隔Δt 過(guò)程，從而把微分方程中的微分量近似的用增量代替。

2 線性電阻和非線性電感組成的一階非線性RL 電路

2.1 非線性電感L 的特性的測(cè)量[2]

實(shí)驗(yàn)儀器為磁滯回線實(shí)驗(yàn)組合儀（TH-MHL 型磁滯回線實(shí)驗(yàn)儀）、非線性電感L、示波器，實(shí)驗(yàn)原理見(jiàn)圖1。

圖1 測(cè)量動(dòng)態(tài)磁滯回線電路圖

測(cè)出不同輸入電壓下的磁滯回線的飽和點(diǎn)的H 和B，即可得到起始磁化曲線。其中N1=50，N2=150，R1=2.5Ω，R2=10kΩ，C=10μF，L=60mm，S=80mm2。

利用Mtlab 可畫(huà)出非線性電感的H－B 曲線圖。對(duì)于面積為S、匝數(shù)為N、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的電感其磁通量：Ψ=NΦ=NBS。而磁場(chǎng)強(qiáng)度H=NI/L，則：I=HL/N。非線性電感線圈磁通量隨電流的增大而增大，而后逐漸趨于穩(wěn)定，因此磁通量Ψ 可擬合為電流的冪級(jí)數(shù)，且冪數(shù)n應(yīng)小于1。利用Matlab 擬合工具可得Ψ—i 擬合曲線，見(jiàn)圖2。

圖2 擬合后的Ψ—i 曲線

2.2 非線性電感的一階非線性RL 電路的研究

應(yīng)用Kirchoff 定律：

其中：ε—穩(wěn)壓電源輸出的電壓；μL—電感兩端的電壓；uR—線性電阻兩端的電壓。而，Li隨電流的變化而變化。

（1）非線性電感的一階非線性RL 電路暫態(tài)過(guò)程的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中用信號(hào)發(fā)生器的方波輸出信號(hào)作為電路中的輸入電壓，將示波器S 的接在電感兩端用以測(cè)量電感兩端的uL－i 關(guān)系。實(shí)驗(yàn)電路見(jiàn)圖4。

（2）非線性電感的一階非線性RL 電路暫態(tài)過(guò)程的解[8]。非線性電感的韋安特性為：

圖3 非線性電感的RL 電路圖

圖4 非線性電感的RL 電路測(cè)量圖

分離變量求解分后可得：

代入初始條件x（t=0）=0 后可得：

同理對(duì)于放電過(guò)程：

代入初始條件x（t=0）=1 后可得：

式（9）只給出了充電過(guò)程中，電流與時(shí)間的關(guān)系式，卻無(wú)法得出i－t 曲線圖或UL－t 圖。為了得到電感兩端的u－t 曲線圖，采用有限增量法求解。對(duì)于電阻R=100Ω，輸入電壓ε=2.0V 的電路，其電路方程為：

把此方程近似的寫(xiě)為：

時(shí)間間隔取△t=0.02ms，可得表1 的有限增量法求解數(shù)據(jù)。因此可得到R=100Ω 下的理論曲線和實(shí)驗(yàn)曲線見(jiàn)圖5。

非線性電感的RL 電路電感兩端電壓剛開(kāi)始變化比較緩慢。電感兩端的電壓隨時(shí)間的變化比較均勻。

放電過(guò)程一階非線性RL 電路的uL－t 曲線。根據(jù)式，而，將i0=0.02A，R=100Ω 代入可得圖6 的曲線。與圖5 不同，放電過(guò)程非線性電感兩端的電壓剛開(kāi)始變化很快，而后慢慢趨于零。放電過(guò)程與充電過(guò)程的規(guī)律不同。

表1 有限增量法求解數(shù)據(jù)

圖5 R=100Ω 的非線性電感兩端的理論曲線和實(shí)驗(yàn)曲線

圖6 R=100Ω 的非線性電感兩端放電u-t 曲線

3 討論

（1）與線性RL 的電路按的規(guī)律變化相比，非線性RL電路充放電從圖5 和圖6 可以看出遵循著完全不同的規(guī)律，充放電曲線為不均勻曲線。

（2）由式（6）、（9）和（11）可得：

（3）與非線性電阻的一階非線性電路類(lèi)似，非線性電感的RL 電路里，τ 不是一個(gè)常數(shù)。但是，在一個(gè)無(wú)限小的充放電過(guò)程，L/R 可近似為一個(gè)常數(shù)，不妨稱(chēng)之為非線性RL 電路暫態(tài)過(guò)程中的瞬間時(shí)間常數(shù)。瞬間時(shí)間常數(shù)是衡量一個(gè)無(wú)限小暫態(tài)過(guò)程充放電快慢的標(biāo)志，也就是說(shuō), 一個(gè)有限大小的非線性電路的暫態(tài)過(guò)程是由一系列無(wú)限小線性暫態(tài)過(guò)程組成的。

（5）與線性RL 電路類(lèi)似，非線性RL 電路中，存在電阻越大，其充放電速率越快；電阻越小，其充放電速率越慢的現(xiàn)象。

[1]夏承銓.電路分析[M].武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2006.

[2]鄧金祥，等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，2006.

[3]符五久. 非線性電感電路的暫態(tài)特性[J]. 大學(xué)物理，1997，9.