基于拉格朗日插值多項式的光伏電池I-V特性建模方法

郭婷婷，倫淑嫻

（1.渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院 遼寧 錦州 12101；2.渤海大學(xué)新能源學(xué)院 遼寧 錦州 121013）

最近幾年能源危機和環(huán)境污染的問題越來越嚴重，而通過光電效應(yīng)或者光化學(xué)效應(yīng)直接把光能轉(zhuǎn)化成電能的太陽能電池是最有前景的能源，并會成為未來主要的能源方式，所以人們對太陽能電池越來越重視[1-2]。為了要實現(xiàn)光伏發(fā)電系統(tǒng)的最優(yōu)化設(shè)計和最優(yōu)化實現(xiàn)，所以我們需要一個仿真模型來建模太陽能電池。一系列光伏電池串聯(lián)連接或者并聯(lián)連接可以組成一個光伏電池矩陣，而光伏電池矩陣在光伏發(fā)電系統(tǒng)中具有重大的作用，因此，光伏電池的建模是一個非常值得研究的課題。人們經(jīng)常使用理想狀態(tài)下的光伏電池等效電路來建模光伏電池。光伏電池的等效電路通常有兩種類型，分別是單二極管模型和雙二極管模型。光伏電池研究都是基于在這兩個模型的基礎(chǔ)上進行的，而且絕大多數(shù)人們選擇的是單二極管模型來進行光伏電池建模研究。所以本文也采用單二級管模型進行建模。這兩個模型都是關(guān)于電流和電壓的隱式的數(shù)學(xué)表達式。給出一個電壓值，人們必須通過解非線性方程才能得到對應(yīng)的電流值，然而，有很多時候，即使給出很好的初值，也得不到對應(yīng)電流值。所以，為了得到給出電壓值的對應(yīng)的電流值，人們使用各種方法得到電流-電壓顯式表達式，例如數(shù)值分析的參數(shù)模型方法[1-2]，W-函數(shù)的方法[3-4]和人工智能的方法[5]。利用基于數(shù)值分析的參數(shù)模型方法可以得到關(guān)于電流-電壓的顯式逼近的表達式，但為得到顯式方程，必須先確定參數(shù)個數(shù)，然后再解出各個參數(shù)的值，非常復(fù)雜，需要花費大量的時間。W-函數(shù)的方法可以給出一個準確的，而非逼近的顯式表達式，但是程序非常復(fù)雜，花費時間。人工智能的方法不能給出一個真正的解析表達式。所以本文把桑迪亞國家重點實驗室的電流-電壓特性曲線上的5個關(guān)鍵點[6]作為節(jié)點進行拉格朗日插值，直接、快速地得到光伏電池的電流-電壓特性曲線，給出一個電壓值可以直接得到對應(yīng)的電流值，不需要求解出各個參數(shù)的值，具有準確，快速的特點。

1 光伏電池單二極管模型

太陽能電池是通過光電效應(yīng)或者光化學(xué)效應(yīng)直接把光能轉(zhuǎn)化成電能的裝置。光伏電池的等效電路模型能夠幫助我們深入了解這種器件的工作原理。理想光伏電池的模型可以表示為一個感光電流源并聯(lián)一個二極管。光源中的光子被太陽能電池材料吸收。如果光子的能量高于電池材料的能帶，那么電子就被激發(fā)到導(dǎo)帶中。如果將一個外部負載連接到光伏電池的輸出端，那么就會產(chǎn)生電流。圖1是由一個串聯(lián)電阻和一個并流電阻構(gòu)成的光伏電池等效電路。

圖1 太陽能電池單二極管模型Fig.1 The single-diode model of solar cells

根據(jù)圖1，我們可得到光伏電池的I-V特性如下：

可以很容易地看出光伏電池I-V特性是一個隱式表達式。要想得到電流值，必須得解一個非線性方程。有時候即使給出很好的初值，也得不到解，非常復(fù)雜，而且花費大量時間。

2 基于拉格朗日插值多項式太陽能光伏電池I-V特性顯式表達方法

利用桑迪亞國家重點實驗室光伏電池I-V特性曲線上的五個關(guān)鍵點作為節(jié)點進行拉格朗日插值。這5個關(guān)鍵點分別為其中，Isc是短路電流，Vmp和 Vmp分別是最大功率點對應(yīng)的電壓和電流值，Voc是開路電壓，Ix是電壓值為Vx條件下的電流值，Ixx是電壓值為Vxx條件下的電流值。令電壓V為坐標系的x軸，電流I為坐標系的y軸，則我們可以假設(shè)：

根據(jù)光伏電池I-V特性曲線特點，對I-V特性進行分段插值。

當(dāng) 0≤x≤x1的時候，令（xo，yo），（x1，y1）作為插值節(jié)點進行線性插值；

當(dāng) x1≤x≤x4的時候，令（x1，y1），（x2，y2），（x4，y4），作為插值節(jié)點進行3次插值。I-V特性分段插值結(jié)果如下[7]：

將桑迪亞國家重點實驗室中的五個關(guān)鍵點 （0，Isc），（Vx，Ix），（Vmp，Imp），（Vxx，Ixx），（Voc，0）代入上述插值多項式中，從而得到的光伏電池I-V特性的顯式表達式，如下：

綜上，式（4），（5）是基于拉格朗日插值多項式的光伏電池I-V特性顯式形式。利用此式，我們可以根據(jù)不同的電壓值得到對應(yīng)的電流值，從而得到光伏電池I-V特曲線，稱式（4），（5）為基于拉格朗日插值多項式的光伏電池I-V特性模型，簡稱拉格朗日模型。

3 基于拉格朗日插值多項式的I-V特性模型的仿真實驗及準確性討論

選取兩種不同的電池類型來驗證拉格朗日插值多項式的光伏電池I-V特性模型的準確性。這兩種不同的電池類型分別是單晶硅（SP-75）和多晶硅（MSX-64）。由于五參數(shù)模型[8]能夠準確地預(yù)測光伏電池的I-V特性，所以我們在此把五參數(shù)模型看成是真實數(shù)據(jù)。利用Matlab軟件，我們把桑迪亞國家重點實驗室的5個關(guān)鍵點進行插值，得到的I-V特性曲線，簡稱為桑迪亞模型。我們并不知道桑迪亞模型的具體表達形式。將拉格朗日模型與真實數(shù)據(jù)和桑迪亞模型進行比較。本文使用均方根誤差來驗證拉格朗日模型的準確性。均方根誤差（RMSE）的表達方法如下式：

其中，d是測試數(shù)據(jù)的數(shù)目，Ii是真實數(shù)據(jù)，IMi是逼近的數(shù)據(jù)。本文選擇光伏電池組件SP-75，MSX-64分別在光照強度（簡稱光強）為1 000 W/m2，溫度25℃的條件下和光強為600 W/m2，溫度35℃條件下的值來驗證 I-V特性。

表1給出不同的光伏電池組件SP-75，MSX-64分別在光強為1000 W/m2，溫度25℃的條件下和光強為600 W/m2，溫度35℃條件下桑迪亞國家重點實驗室五個關(guān)鍵點的值。根據(jù)表 1和式（4），（5），我們可以得到這些組件在不同光照和溫度條件下的I-V特性曲線，并與真實數(shù)據(jù)和桑迪亞模型進行比較。I-V特性比較的結(jié)果如圖2，圖3所示。同時表2給出不同的光伏電池組件SP-75，MSX-64，在不同光強和溫度下的該模型和五參數(shù)模型的均方根誤差值。

表1 不同組件在不同光強和溫度條件下桑迪亞國家重點實驗室五個關(guān)鍵點的值Tab.1 The value of the five key points of the different photovoltaic modules at different conditions

圖2 SP-75在不同光強和溫度條件下I-V特性Fig.2 I-V characteristic for SP-75 module at different solar irradiance and temperature conditions

圖3 MSX-64在不同光強和溫度條件下I-V特性Fig.3 I-V characteristic for MSX-64 module at different solar irradiance and temperature conditions

根據(jù)圖2，圖3和表2，我們可以很清晰地看出拉格朗日模型可以準確并快速地預(yù)測不同光伏電池類型 （如單晶硅，多晶硅）的I-V特性曲線，尤其是在0≤V≤Vx和Vmp≤V≤Voc范圍內(nèi)。但是由于該方法利用最大功率點上的電壓和電流值作為已知進行插值，所以不能預(yù)測到最大功率點。

4 結(jié) 論

文中提出了一個基于拉格朗日插值多項式的光伏電池I-V特性的新的建模方法。該方法根據(jù)桑迪亞國家重點實驗室I-V特性曲線上的五個關(guān)鍵點的值做為節(jié)點進行插值，得到I-V特性的顯式表達式，根據(jù)給出的電壓值得到對應(yīng)的電流值，從而得到基于拉格朗日插值多項式的I-V特性模型。根據(jù)仿真結(jié)果顯示該模型是一個簡單，快速的I-V特性建模方法。

表2 不同光伏電池組件在不同光照和溫度條件下的均方根誤差值（RMSE）Tab.2 The value of RMSEs of different photovoltaic m odu les at different conditions

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