解答中考數(shù)學(xué)中的“穿過型”問題

王建新

已知兩個(gè)幾何圖形，其中一個(gè)圖形保持靜止，另一個(gè)圖形沿著直線方向作勻速運(yùn)動(dòng)，并且在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)從靜止的圖形中穿過，我們把這類數(shù)學(xué)問題叫做“穿過型”中考題，它是“運(yùn)動(dòng)型”問題的一個(gè)分支.

一、一個(gè)圓從另一個(gè)圓中穿過

例1 （2013年山東泰州）如圖，⊙O的半徑為4cm，直線L與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，AB=4 cm，P為直線L上一動(dòng)點(diǎn)，以l cm為半徑的⊙P與⊙O沒有公共點(diǎn).設(shè)PO=dcm，則d的范圍__________.

分析：先求出兩圓外離和內(nèi)含時(shí)d的范圍.再根據(jù)“點(diǎn)P在直線L上”，利用垂線段最短，那么PO必然大于或等于點(diǎn)O到直線L的距離.

解：當(dāng)兩圓外離時(shí)，d>5；當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，d<3.

過點(diǎn)O作OM⊥L于M，則

AM= AB=2 .

在Rt△AOM中，由勾股定理，得OM= = 2=2，即d≥2.

∴d>5或2≤d<3.

點(diǎn)評(píng)：由于兩圓的圓心沒有固定在一條直線上，因此如果兩圓沒有交點(diǎn)，除了要考慮兩圓外離和內(nèi)含兩種情況外，還要注意考慮利用垂線段最短，求出PO的最小值.

二、一個(gè)圓從正方形中穿過

例2 （2013年湖南衡陽）如圖，半徑為1的圓和邊長(zhǎng)為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設(shè)穿過時(shí)間為t，正方形除去圓部分的面積為是S（陰影部分），則S與t的大致圖象為（ ）

分析：圓從左向右勻速穿過正方形時(shí)，可分五個(gè)階段：①圓與正方形剛好接觸；②圓的一部分開始穿進(jìn)正方形；③整個(gè)圓在正方形內(nèi)；④圓的一部分開始穿出正方形；⑤圓剛好完全穿出正方形.

解：當(dāng)圓與正方形剛好接觸時(shí)，S等于正方形的面積，此時(shí)圖象與縱軸交于原點(diǎn)上方的一點(diǎn)；當(dāng)圓的一部分開始穿進(jìn)正方形時(shí)，由于圓占據(jù)正方形的面積逐漸增加，因此S逐漸減小，此時(shí)圖象是一條勻速下降的線段；當(dāng)整個(gè)圓在正方形內(nèi)時(shí)，S保持不變，圖象是一條水平的線段；當(dāng)圓的一部分開始穿出正方形時(shí)，由于圓占據(jù)正方形的面積逐漸減少，因此S逐漸增大，此時(shí)圖象是一條勻速上升的線段；當(dāng)圓剛好完全穿出正方形時(shí)，S仍然等于正方形的面積，此時(shí)圖象恢復(fù)最大值.據(jù)此答案選A.

點(diǎn)評(píng)：上述解法綜合考慮了圓運(yùn)動(dòng)的所有情況.實(shí)際上我們也可以考慮圓運(yùn)動(dòng)的部分情況并結(jié)合排除法求解，如根據(jù)圓與正方形剛好接觸時(shí)，S等于正方形的面積，據(jù)此可排除選項(xiàng)B、C；根據(jù)整個(gè)圓在正方形內(nèi)時(shí)，S保持不變，據(jù)此又可排除選項(xiàng)D，這樣也可選出正確選項(xiàng)A.另外請(qǐng)同學(xué)們思考：圓的半徑r與正方形的邊長(zhǎng)a滿足什么關(guān)系時(shí)，S與t的大致圖像為選項(xiàng)D.

三、一個(gè)正方形從另一個(gè)正方形中穿過

例3 （2013年黑龍江牡丹江）如圖所示：邊長(zhǎng)分別為1和2的兩個(gè)正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形.設(shè)穿過的時(shí)間為t，大正方形內(nèi)去掉小正方形后的面積為s，那么s與t的大致圖象應(yīng)為（ ）

分析：本例同例2的不同之處在于，例2是圓穿過正方形，而本例是正方形穿過正方形.另外如果僅從線條的趨勢(shì)無法選出正確選項(xiàng)，還應(yīng)從兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的具體數(shù)值考慮才能選出正確選項(xiàng).過程留給同學(xué)們完成.

反思：當(dāng)兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)滿足什么關(guān)系時(shí)，s與t的大致圖象為選項(xiàng)D.

四、一個(gè)三角形從另一個(gè)正方形中穿過

例4 （2013年遼寧鐵嶺）如圖甲，點(diǎn)G、E、A、B在一條直線上，Rt△EFG從如圖甲所示的位置出發(fā)，沿直線AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G與B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)△EFG與矩形ABCD重合部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則S與t的圖象大致是（ ）

分析：三角形從左向右勻速穿過矩形時(shí)，可分五個(gè)階段：①三角形從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A；②三角形的一部分開始穿進(jìn)矩形；③整個(gè)三角形在矩形內(nèi)；④三角形的一部分開始穿出矩形；⑤三角形剛好完全穿出矩形.

解：當(dāng)三角形從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，S等于零，此時(shí)圖象是x軸上的一條線段，據(jù)此可排除選項(xiàng)A、C；當(dāng)三角形的一部分開始穿進(jìn)矩形時(shí)，S不斷增加，而且在單位時(shí)間內(nèi)增加的面積不相同.選項(xiàng)B、D都符合這個(gè)趨勢(shì)，不同之處在于：選項(xiàng)B在單位時(shí)間增加的速度慢，選項(xiàng)D在單位時(shí)間增加的速度快，到底是選擇B選項(xiàng)還是選擇D選項(xiàng)呢？如圖乙，我們可以設(shè)想Rt△EFG從圖乙所示位置出發(fā)做相同的運(yùn)動(dòng)，通過對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)：如果Rt△EFG從如圖乙所示的位置出發(fā)，當(dāng)三角形的一部分開始穿進(jìn)矩形時(shí)，S在單位時(shí)間增加的速度必然很快，故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于對(duì)選項(xiàng)B、D的判斷.正如解（證）幾何題作輔助線那樣，我們可以作輔助圖（如圖乙）.通過將原圖與輔助圖形進(jìn)行對(duì)比，我們巧妙地突破了難點(diǎn).本題如果不借助輔助圖，需要用字母表示出直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)以及矩形的長(zhǎng)AB，并求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，非常麻煩.

（作者單位：湖北省襄陽市襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)中心學(xué)校）endprint