冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)搖擺臺(tái)的動(dòng)平臺(tái)剛度分析

孫巧如，韓先國(guó)

（北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度質(zhì)量比大、承載能力強(qiáng)、累積誤差小等優(yōu)點(diǎn)[1]，將其作為運(yùn)動(dòng)模擬器模擬船舶在海浪中的運(yùn)動(dòng)具有重要的意義。其動(dòng)平臺(tái)具有尺寸大、承載能力要求高、剛度要求高等特點(diǎn)，因此采用冗余驅(qū)動(dòng)提高系統(tǒng)剛度[2]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者在并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度方面進(jìn)行了一定的研究。梁輝等[3]通過建立3RPS/UPS 冗余并聯(lián)機(jī)床的剛度模型對(duì)并聯(lián)機(jī)床的支鏈進(jìn)行剛度分析，Goldsmith[4]應(yīng)用剛度矩陣分析法建立3-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度解析模型，宋軼民等[5]采用螺旋理論建立了一種三自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度解析模型，并預(yù)估其全域剛度分布規(guī)律?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度進(jìn)行了一定的研究，但是多數(shù)將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)視為理想剛體，并未對(duì)其剛度進(jìn)行分析。針對(duì)本文所設(shè)計(jì)的并聯(lián)搖擺臺(tái)，由于其動(dòng)平臺(tái)的尺寸大、剛度要求高，因此需要對(duì)其剛度進(jìn)行一定的研究。

利用有限元分析機(jī)構(gòu)的剛度方法簡(jiǎn)單，精度較高，但是耗時(shí)多，工作量大，為便于并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)的多變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)，仍需要建立機(jī)構(gòu)的靜剛度解析模型。首先，根據(jù)并聯(lián)搖擺臺(tái)動(dòng)平臺(tái)的特點(diǎn)，將其簡(jiǎn)化為交叉梁系，針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)在非冗余驅(qū)動(dòng)和冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)的不同特點(diǎn)，將交叉梁系合理地拆分為簡(jiǎn)支梁，采用節(jié)點(diǎn)載荷分配系數(shù)法將節(jié)點(diǎn)上的載荷分配給相交的各梁，根據(jù)同一節(jié)點(diǎn)處變形量相等的條件，建立關(guān)于各節(jié)點(diǎn)載荷分配系數(shù)的方程，進(jìn)而計(jì)算出動(dòng)平臺(tái)在非冗余驅(qū)動(dòng)和冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)的理論最大變形量，并對(duì)其進(jìn)行比較。然后，采用有限元分析的方法計(jì)算動(dòng)平臺(tái)的最大變形量，與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。最后，說(shuō)明冗余驅(qū)動(dòng)存在驅(qū)動(dòng)誤差時(shí)，系統(tǒng)可以通過動(dòng)平臺(tái)自身剛度的變化減小由于驅(qū)動(dòng)誤差而導(dǎo)致的內(nèi)力耦合。

1 3UPS/U 并聯(lián)機(jī)構(gòu)介紹

3UPS/U 并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)、驅(qū)動(dòng)支鏈和中間立柱組成。驅(qū)動(dòng)支鏈上端通過球鉸與動(dòng)平臺(tái)連接、下端通過虎克鉸與靜平臺(tái)連接，中間立柱上端通過虎克鉸和動(dòng)平臺(tái)連接，下端固定在動(dòng)平臺(tái)上，通過控制驅(qū)動(dòng)支鏈的長(zhǎng)度變化實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)平臺(tái)在驅(qū)動(dòng)支鏈和中間立柱的共同作用下具有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，驅(qū)動(dòng)支鏈的數(shù)目為3，大于機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目，因此，機(jī)構(gòu)屬于冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)尺寸大、剛度要求高，因此其骨架采用箱梁結(jié)構(gòu)，相互之間成井字形布置。

2 動(dòng)平臺(tái)骨架剛度分析

為了對(duì)動(dòng)平臺(tái)的骨架進(jìn)行剛度分析，將動(dòng)平臺(tái)骨架簡(jiǎn)化為如圖1 所示的空間交叉梁系，首先分析動(dòng)平臺(tái)骨架在非冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)的剛度情況。在動(dòng)平臺(tái)骨架所受載荷不變的情況下，其剛度的大小即表現(xiàn)為變形量的大小。

圖1 中，A、B、C 分別為驅(qū)動(dòng)支鏈、中間立柱與動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn)，以C 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立C-XY 坐標(biāo)系，規(guī)定沿X 軸方向的梁為橫梁，即橫梁1、2、3、4、5，沿Y軸方向的梁為縱梁，即縱梁a、b、c、d、e、f、g、h，梁的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)用橫、縱梁的標(biāo)號(hào)表示，即節(jié)點(diǎn)1a、2b、3b 等。

由于外伸梁的撓度可以根據(jù)材料力學(xué)[6]中的疊加法以及位移合成法計(jì)算得到，而空間交叉梁系的各個(gè)梁之間由于共用結(jié)點(diǎn)而相互影響，因此，不能直接計(jì)算出交叉梁系的變形量。為了得到交叉梁系的變形量，需要將復(fù)雜的空間交叉梁系通過一定的方法簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的外伸梁。文獻(xiàn)[7]以荷載分配系數(shù)為未知量，將作用在交叉梁系節(jié)點(diǎn)上的荷載按照分配系數(shù)分配給在節(jié)點(diǎn)相交的各梁，從而將交叉梁系拆分為一根根單一的簡(jiǎn)支梁來(lái)計(jì)算。但是文獻(xiàn)中所討論的交叉梁系的約束位置都位于梁系的邊緣，因此可以按照橫梁和縱梁的方式拆分梁系的結(jié)構(gòu)，而在本文所述動(dòng)平臺(tái)的骨架結(jié)構(gòu)中，交叉梁系所受到的約束位于梁系的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上，因此不能簡(jiǎn)單地將梁系劃分為橫梁和縱梁兩部分，而要根據(jù)約束的位置，合理地拆分梁系的結(jié)構(gòu)，保證拆分后的結(jié)構(gòu)在計(jì)算節(jié)點(diǎn)變形時(shí)比較方便。根據(jù)本文中交叉梁系的結(jié)構(gòu)以及梁系受到的約束，將梁系劃分為如圖1 所示的兩部分，虛線部分和實(shí)線部分，有跨線的地方表示此節(jié)點(diǎn)處的橫梁和縱梁是相互獨(dú)立的，相交的部分表示此節(jié)點(diǎn)處橫梁和縱梁是相連的。

圖1 空間交叉梁系示意圖Fig.1 The schematic diagram of space intersection beam systems

假設(shè)梁系受到的載荷為均布載荷q，首先將均布載荷轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)處的集中載荷Q，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處的載荷分別由相交于此節(jié)點(diǎn)的橫梁和縱梁承擔(dān)。設(shè)μix、μiy分別為同一節(jié)點(diǎn)處橫梁和縱梁上的載荷分配系數(shù)，μix+μiy=1，那么節(jié)點(diǎn)處的載荷分配給橫梁和縱梁的值分別為μixQ、μiyQ。

根據(jù)拆分后的梁系結(jié)構(gòu)，分別計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)在橫梁和縱梁中的變形量，根據(jù)同一節(jié)點(diǎn)處變形量相等的條件，得到關(guān)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷分配系數(shù)μix和μiy的方程，解方程可以求得μix和μiy，將其反代入節(jié)點(diǎn)的變形量方程中，即可求得各結(jié)點(diǎn)的變形量，進(jìn)而可求得交叉梁系的剛度。

2.1 橫梁上各節(jié)點(diǎn)的變形

拆分后的橫梁結(jié)構(gòu)如圖2 所示，B、C 為此梁系的約束位置。由于實(shí)際梁系結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)變形相對(duì)于彎曲變形比較小，因此此處忽略扭轉(zhuǎn)變形。

以節(jié)點(diǎn)1h 為例來(lái)說(shuō)明求解節(jié)點(diǎn)變形量的原理。節(jié)點(diǎn)1h位于橫梁1 上，橫梁1 通過節(jié)點(diǎn)1c 和支撐A、B 相連，為了得到節(jié)點(diǎn)1h 的變形量，首先需要計(jì)算節(jié)點(diǎn)1c 的變形量，節(jié)點(diǎn)1c 處的撓度為δ1c。

由于在節(jié)點(diǎn)1c 處橫梁1 和縱梁c 為剛性連接，因此單獨(dú)分析橫梁1 的變形時(shí)可以把節(jié)點(diǎn)1c 看作是固定端，根據(jù)梁變形的疊加法可知，在橫梁1 上各個(gè)節(jié)點(diǎn)力的作用下，橫梁1 上節(jié)點(diǎn)1h 的變形量為

圖2 拆分后的橫梁結(jié)構(gòu)Fig.2 The structure of beam after separation

橫梁1 上節(jié)點(diǎn)1h 的總的變形量包括懸臂梁1 計(jì)算得到的1h 的變形量與固定端1c 處的變形量之和，因此，橫梁1 上節(jié)點(diǎn)1h 的總的變形量為：只與μix（i=a，b，d，e，f，g，h）、μ3cy有關(guān)。同理，可以得到橫梁結(jié)構(gòu)中其它各節(jié)點(diǎn)的變形量。

2.2 縱梁上各節(jié)點(diǎn)的變形量

拆分后的縱梁結(jié)構(gòu)如圖3 所示，由于縱梁h 所在的梁系結(jié)構(gòu)只有一個(gè)鉸支座約束C，結(jié)構(gòu)屬于欠約束結(jié)構(gòu)，因此需要尋找其他合適的約束條件，使拆分出來(lái)的梁系結(jié)構(gòu)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)橫梁1 所在的梁系結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果可知，節(jié)點(diǎn)3c 的變形結(jié)果已知，設(shè)為μ3cy，那么可以將節(jié)點(diǎn)3c 當(dāng)作具有一定位移的鉸支座。由于節(jié)點(diǎn)3c 具有一定的位移，因此橫梁3 在支座C 處具有一定的轉(zhuǎn)角θ，但是由于μ3cy/（1.5L）≈0，因此，可以近似認(rèn)為橫梁3 不受鉸支座3c 的位移的影響。

同理，以節(jié)點(diǎn)1h為例來(lái)說(shuō)明求解節(jié)點(diǎn)變形量的原理。節(jié)點(diǎn)1h 位于縱梁h 上，縱梁h 通過節(jié)點(diǎn)3h 和支撐C、3c 連接，因此為了得到節(jié)點(diǎn)1h 的變形量，首先需要計(jì)算節(jié)點(diǎn)3h 的變形量，節(jié)點(diǎn)3h 處的撓度為δ3h。

單獨(dú)計(jì)算縱梁h 上節(jié)點(diǎn)1h 的變形量時(shí)，可以把節(jié)點(diǎn)3h 看作是固定端，那么縱梁h 的下半部即為懸臂梁，根據(jù)懸臂梁的撓度計(jì)算公式以及疊加法可知，縱梁h 中節(jié)點(diǎn)1h 的變形量為縱梁h 上節(jié)點(diǎn)1h 的變形量為：只與有關(guān)。同理，可以得到縱梁結(jié)構(gòu)中其它各節(jié)點(diǎn)的變形量。

圖3 拆分后的縱梁結(jié)構(gòu)Fig.3 The structure of beam after separation

3 計(jì)算實(shí)例

由于原模型比較復(fù)雜，需要計(jì)算位移的節(jié)點(diǎn)數(shù)量比較多，因此，采用一個(gè)與原模型類似、但比較簡(jiǎn)單的模型來(lái)驗(yàn)證此方法的正確性。

采用上述方法分別計(jì)算節(jié)點(diǎn)1a、2a、1c、2c、1d、2d 在X 向梁上的變形量和在Y 向梁上的變形量，使二者相等，可以得到：

采用有限元軟件分析得到冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)交叉梁系的變形情況如圖5 所示。有限元分析的結(jié)果為0.13416mm，誤差為：

圖4 非冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)交叉梁系變形情況Fig.4 Deformation of space intersection beam systems with non-redundant

圖5 冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)交叉梁系變形情況Fig.5 Deformation of space intersection beam systems with redundant

理論計(jì)算得到交叉梁系的最大變形量基本與有限元軟件分析得到的最大變形量一致，表明采用載荷系數(shù)分配法計(jì)算交叉梁系的變形量的方法是可行的。

比較非冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)交叉梁系的最大變形量和冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)交叉梁系的最大變形量可得，增加冗余驅(qū)動(dòng)后，動(dòng)平臺(tái)骨架的最大變形量減小了55.2%。

4 動(dòng)平臺(tái)剛度變化對(duì)驅(qū)動(dòng)誤差的影響

動(dòng)平臺(tái)的剛度不僅與自身結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與驅(qū)動(dòng)支鏈的數(shù)量和布置位置有關(guān)。并聯(lián)搖擺臺(tái)采用冗余驅(qū)動(dòng)時(shí)，當(dāng)冗余驅(qū)動(dòng)出現(xiàn)驅(qū)動(dòng)誤差時(shí)，若動(dòng)平臺(tái)為純剛體，由于各驅(qū)動(dòng)支鏈之間的內(nèi)力耦合，會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生較大的內(nèi)力，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)構(gòu)破壞；當(dāng)動(dòng)平臺(tái)的剛度較小時(shí)，可以通過動(dòng)平臺(tái)自身剛度的變化減小由于驅(qū)動(dòng)誤差而產(chǎn)生的系統(tǒng)內(nèi)力耦合，避免出現(xiàn)結(jié)構(gòu)破壞。

假設(shè)冗余驅(qū)動(dòng)支鏈由于驅(qū)動(dòng)誤差而產(chǎn)生的位移為△d，若動(dòng)平臺(tái)為純剛體，那么由于冗余驅(qū)動(dòng)支鏈的驅(qū)動(dòng)誤差而導(dǎo)致的其它驅(qū)動(dòng)支鏈的變形為△D，若動(dòng)平臺(tái)的剛度較小，那么由于冗余驅(qū)動(dòng)支鏈的誤差而導(dǎo)致的其它驅(qū)動(dòng)支鏈的變形為△D-δd，δd 為動(dòng)平臺(tái)上對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)支鏈處的節(jié)點(diǎn)變形量。因此冗余驅(qū)動(dòng)支鏈的驅(qū)動(dòng)誤差對(duì)其它驅(qū)動(dòng)支鏈的影響可以通過動(dòng)平臺(tái)自身剛度的變化而減小，即各支鏈之間的耦合內(nèi)力會(huì)相應(yīng)地減小。

5 結(jié)論

本文通過將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)的骨架簡(jiǎn)化為交叉梁系，介紹了采用載荷分配系數(shù)法計(jì)算交叉梁系變形量的原理，并采用有限元軟件對(duì)其計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，得到： ①根據(jù)交叉梁系結(jié)構(gòu)和所受約束，采用載荷分配系數(shù)法合理地拆分并計(jì)算各結(jié)節(jié)點(diǎn)變形量的方法是可行的；②從理論上說(shuō)明了冗余驅(qū)動(dòng)對(duì)于提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)剛度起到了重要作用；③當(dāng)冗余驅(qū)動(dòng)存在誤差時(shí)，可以通過動(dòng)平臺(tái)自身剛度的變化減小由于冗余驅(qū)動(dòng)誤差而導(dǎo)致的系統(tǒng)內(nèi)力耦合。

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