一類線性二次正倒向隨機(jī)最優(yōu)控制問題

唐 雷

（山東科技大學(xué)，山東 青島 266590）

0 引言

本文研究了下面的正倒向隨機(jī)控制系統(tǒng)

設(shè)(Ω,F,P)為一概率空間，其中x0是給定的，yT是Ft可測的隨機(jī)變量，{Bt}t≥0為 d 維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，信息流 Ft＝σ{Bs,0≤s≤t}，v(t)∈U?Rk我們定義如下允許控制集Uad：，定義指標(biāo)泛函

并且

若有 ，則稱 u(·)為最優(yōu)控制，(x(·),y(·),z(·),u(·))為控制系統(tǒng)（1）的最優(yōu)解。

當(dāng)控制域U是Rk中的一個(gè)非空凸子集時(shí)，我們做如下假設(shè)：

i）f,σ,g,l,Φ,h關(guān)于各自的自變量是連續(xù)可微的；

ii）f,σ,g關(guān)于各自自變量的導(dǎo)數(shù)有界；

iii）lx,ly,lv都被界住，Φx被 c(1+x )界住，hy被界住。其中c為正常數(shù)。

吳臻[1]將控制系統(tǒng)（1）推廣，并在控制域?yàn)橥辜那闆r下得到完全耦合的正倒向隨機(jī)控制系統(tǒng)的最大值原理，由此我們可以根據(jù)[1]得到如下結(jié)論：

定理 1 （隨機(jī)最大值原理）若(x(·),y(·),z(·)；u(·))是正倒向隨機(jī)控制系統(tǒng)（1）的最優(yōu)解，則有

其中哈密頓函數(shù)H如下：

H(t,x,y,z,v,p,q,k)＝〈p,-g(t,x,y,z)〉+〈q,f(t,x,y,v)〉+〈k,σ(t,x,v)〉+l(t,x,y,v)，其中(p(·),q(·),k(·))是下面對偶方程的解：

本文基于王向榮等[2]中控制系統(tǒng)研究了一類線性二次正倒向隨機(jī)控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，在下面的一節(jié)，根據(jù)肖華、吳臻[3]的思想方法，運(yùn)用定理1得到線性控制系統(tǒng)的控制解的顯示形式。第三節(jié)，驗(yàn)證所得到的顯示表達(dá)式為最優(yōu)控制，并證明唯一性。

1 控制的顯示表達(dá)式

本節(jié)來研究下面的線性正倒向隨機(jī)控制系統(tǒng)：

指標(biāo)泛函如下：

顯然，（4）、（5）分別為（1）、（2）的特殊情形。為了簡化記號，我們將這里的Bt規(guī)定為一維布朗運(yùn)動(dòng)，A(w),C(w)為n×n階矩陣，B(w),D(w)為n×k階矩陣，vt,t≥0是一個(gè)取值于U?Rk的允許控制過程，并且Ft可測、平方可積。R(w),Q(w),L(w)是n×n階非負(fù)定對稱矩陣，N(w)是一個(gè)k×k階正定對稱矩陣，并存在逆為N-1。由定理1可得相應(yīng)于線性正倒向隨機(jī)控制系統(tǒng)（4）的對偶方程為：

當(dāng)(x(·),y(·),z(·),u(·))為最優(yōu)解時(shí)，由吳臻[2]可知對偶方程（6）存在唯一解(p(·),q(·),k(·))，與之相應(yīng)的哈密頓函數(shù) H 為：

H(t,x,y,z,v,p,q,k)＝

進(jìn)而有 Hv(t,x,y,z,u,p,q,k)＝BT(w)q(t)+DT(w)k(t)+2N(w)u(t)。

容易驗(yàn)證（4）、（5）滿足假設(shè)條件（i）、（ii）、（iii），由定理 1 可得：

〈Hv(t,x,y,z,v,p,q,k),v-u(t)〉≥0，

即〈BT(w)q(t)+DT(w)k(t)+2N(w)u(t),v-u(t)〉≥0，?v∈Uad,a.e.,a.s.，進(jìn)一步可得到：

定理 2 若(x(·),y(·),z(·),u(·))是系統(tǒng)（4）和（5）的最優(yōu)解，那么系統(tǒng)控制的顯示表達(dá)式為：

2 最優(yōu)控制的唯一性

本節(jié)我們證明定理2中所得到的控制u(t)為線性二次正倒向隨機(jī)最優(yōu)控制系統(tǒng)（4）和（5）的唯一最優(yōu)控制。

定理3 定理2中的u(t)是正倒向隨機(jī)控制系統(tǒng)（4）和（5）的唯一最優(yōu)控制。

證明：先驗(yàn)證u(·)為最優(yōu)控制。設(shè)控制u(·)相應(yīng)的軌線為(x(t),y(t),z(t))，對于任意的允許控制 v(·)∈Uad，其軌線為(xv(·),yv(·),zv(·))，則

因?yàn)?p(0)＝-2M(w)y(0),q(T)＝2Q(w)x(T)，所以

對〈q(t),xv(t)-x(t)〉和〈p(t),yv(t)-y(t)〉分別運(yùn)用 公式并積分取期望得：

因?yàn)?R(w),L(w),Q(w),M(w)都為非負(fù)定對稱矩陣，將上面（8）、（9）兩式帶入 J(v(·))-J(u(·))中得到 J(v(·))-J(u(·))≥0。 所以得到 u(t)＝-12N-1(w)(BT(w)q(t)+DT(w)k(t))是線性二次正倒向隨機(jī)最優(yōu)控制問題（5）的最優(yōu)控制。

下面我們再證明最優(yōu)控制的唯一性，仍沿用經(jīng)典的平行四邊形法則方法[4-5]。

設(shè) u1(·),u2(·)都是最優(yōu)控制，且 u1(·)≠u2(·)，與之相應(yīng)的軌線分別為(x1(t),y1(t),z1(t)),(x2(t),y2(t),z2(t))。由最優(yōu)控制定義，我們可得

從而可得u1(t)＝u2(t),a.e.,a.s.，唯一性得證。

［1］Wu Zhen.Maximum Principle for Optimal Control Problem of Fully Coupled Forward-Backward Stochastic Systems[J].System Science and Mathematical Science,1998,11(3).

［2］Wang,X.R，Gao,Z.Y，Wu,Z.：Forward-Backward Stochastic Differential Equation and the Liner Quadratic Stochastic Optimal Control[J].ACTA AUTOMATICA SINICA，2003,29(1)：32-37.

［3］肖華,吳臻.一類線性二次正倒向隨機(jī)最優(yōu)控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題[C]//程代展,王行愚.第二十三屆中國控制會議論文集.上海：華東理工大學(xué)出版社,2004：99-103.

［4］Pontryagin L S.Boltyanskii B T.Gamkrelidze R V，Mishchenko E F.The Mathematical Theory of Optimal Processes[M].New York：Interscience，1962.

［5］Bensoussan A.Lectures in stochastic control.In：Proceedings Cortona，Lecture Notes in Mathematics[M].New York：Springer,1981,972(1)：1-62.