基于Curvelet稀疏表示的圖像壓縮感知重構(gòu)算法

張 巖 任偉建 唐國維

(東北石油大學(xué) a.計算機與信息技術(shù)學(xué)院；b.電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

近年來基于正交變換的稀疏表示方法大多采用離散余弦變換、小波變換、Contourlet變換及Curvelet變換等。離散余弦變換是一種全局變換，不能很好地描述圖像的局部特征。傳統(tǒng)的小波變換能夠稀疏表示一維點狀奇異特征，有效捕獲點狀奇異特征，因此被廣泛應(yīng)用于信號特征提取及信號去噪等領(lǐng)域[1，2]，但是圖像中包含的紋理信息通常是以曲線狀線條為基本特征，具有線狀奇異性，所以不具備方向識別性的小波變換不是理想選擇[3]。Contourlet變換將多尺度分析和方向分析同時進行，其支撐區(qū)間是具有隨尺度變化長寬比的長條形結(jié)構(gòu)，具有方向性和各向異性，Contourlet變換獲取圖像邊緣的能力相對較強，但描述曲線狀紋理并不理想。Curvelet是一種具有方向性的各向異性小波[4]，其曲線狀基元和圖像中曲線狀紋理的特征類似，因此可以更有效地獲取圖像的紋理特征，實現(xiàn)稀疏表示。

文獻[5，6]提出，壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論根據(jù)信號本身的稀疏性與觀測方式的非相關(guān)性，只要信號在某個變換域是稀疏或可壓縮的，就可以用一個與稀疏表示不相關(guān)的測量矩陣對信號進行降維觀測，并在接收端使用復(fù)雜的重構(gòu)算法以較高的概率通過其低維觀測值高精度重構(gòu)原始信號[7]，突破了奈奎斯特采樣定理的瓶頸，為在圖像采集的同時壓縮數(shù)據(jù)提供了理論依據(jù)。但是，目前在基于Curvelet變換的壓縮感知重構(gòu)方法中存在兩個主要問題[8～10]：Curvelet變換雖然能夠捕捉圖像的曲線狀紋理特征，在低頻區(qū)域保留圖像大部分的能量，但高頻仍存在大量細節(jié)信息，而且各尺度之間的Curvelet變換系數(shù)相關(guān)性較強，當(dāng)前基于Curvelet變換的圖像CS處理方法忽略了利用Curvelet變換各尺度之間系數(shù)的相關(guān)性來保持高頻細節(jié)信息；傳統(tǒng)的求解圖像CS重構(gòu)的基追蹤算法計算復(fù)雜度較高，即使處理常見尺寸的二維信號也非常耗時，而且二維圖像的CS觀測矩陣規(guī)模隨原圖像的尺寸增大而增加，不僅提高了存儲和計算處理的成本，還使CS過程受計算機硬件條件的限制。為此，筆者提出一種基于Curvelet稀疏表示的圖像分塊壓縮感知重構(gòu)算法以解決上述問題。

1.1 Curvelet

Candès E J和Donoho D L提出了兩種基于第二代Curvelet變換理論的快速離散Curvelet變換方法，分別是非均勻空間抽樣的二維FFT算法和Wrap算法[11]。

第二代Curvelet變換直接在連續(xù)域進行定義，連續(xù)Curvelet變換中頻率窗Uj將頻域光滑地分成角度不同的環(huán)形，j為尺度，如圖1所示，陰影部分表示一個標(biāo)準楔形窗，為連續(xù)Curvelet變換的支撐區(qū)間。

圖1 連續(xù)Curvelet變換頻率空間分塊圖

圖2 離散Curvelet變換頻率空間分塊圖

(1)

式中ω——傅里葉變換后的頻域參量；

Φ——一維低通窗口的內(nèi)積，各尺度低通窗口對應(yīng)于圖2中大小不同的笛卡爾方形窗。

二維圖像x∈L2(R2)經(jīng)過Curvelet變換，可表示為：

(2)

式中Cj,l,k——Curvelet基函數(shù)；

〈x,Cj,l,k〉——Curvelet變換后尺度為j、方向為l、位置k=(k1,k2)的系數(shù)。

1.2 多尺度相關(guān)性分析

對一幅512×512像素的babarla圖像進行6級Curvelet分解，得到如圖3所示的系數(shù)分布圖。圖中灰色條帶是系數(shù)的間隔帶，黑色局部出現(xiàn)亮點的條帶是真實Curvelet系數(shù)條帶?？梢钥闯?，沿方形窗由內(nèi)而外Curvelet變換尺度依次增加，正中心包含了低頻信息，最外層方形窗是最精細尺度的變換系數(shù)?？梢奀urvelet變換可以將大部分能量集中在第一級尺度，在2～6級變換尺度上，高頻子帶大部分系數(shù)值較小，并且在父級尺度下值較大的系數(shù)，在當(dāng)前尺度下值也相應(yīng)較大，各尺度之間相關(guān)性比較明顯。

圖3 Curvelet各尺度系數(shù)分布

Curvelet變換后的1～4級尺度系數(shù)結(jié)構(gòu)見表1，每一級尺度j由多個方向l的系數(shù)組成。變換后得到的Curvelet系數(shù)以C{j}{l}(k1,k2)形式表示，其中j表示尺度，l表示方向，(k1,k2)表示尺度j上第l個方向上的坐標(biāo)。在Curvelet變換各尺度之間對應(yīng)方向上系數(shù)矩陣的尺寸不具有規(guī)則的倍數(shù)關(guān)系，與小波變換域多尺度之間的變換系數(shù)具有明確四叉樹結(jié)構(gòu)的父子關(guān)系分布有很大不同。

表1 Curvelet變換后的1～4級尺度系數(shù)結(jié)構(gòu)

2 圖像的分塊隨機觀測模型

文獻[12]首次提出基于分塊壓縮感知(Block Compressed Sensing，BCS)采樣方法，圖像矩陣x在采樣過程中，首先被劃分成不重疊的s個B×B子矩陣塊，然后用相同的觀測矩陣Φm×n對每個子矩陣塊進行獨立觀測，得到觀測向量集合：

yi|yi=Φm×nxi,i=1,2,…,s

(3)

3 圖像的重構(gòu)模型

在圖像的CS應(yīng)用中，求解基追蹤優(yōu)化的主要問題在于基追蹤算法計算復(fù)雜度高，即使處理常見尺寸的圖像也非常耗時，于是降低計算復(fù)雜度成為眾多學(xué)者的研究熱點。近年來稀疏信號匹配追蹤、正交匹配追蹤及梯度投影等算法被先后提出[13～15]，這些算法雖然可以大幅降低計算復(fù)雜度，卻是以降低重構(gòu)信號質(zhì)量為代價的。文獻[16]提出光滑Landweber投影重構(gòu)的BCS算法，其具有計算復(fù)雜度低、重構(gòu)圖像質(zhì)量高于眾多基追蹤算法的優(yōu)點。文獻[17]基于小波變換各尺度之間與尺度內(nèi)部的相關(guān)性，提出雙變量收縮閾值迭代模型并獲得了較好的去噪效果。雙變量收縮閾值的迭代模型如下：

(4)

其中，Round表示四舍五入運算，┌ ┒表示向上取整運算。由Curvelet變換系數(shù)分布可得如果父級尺度的系數(shù)ξp值大，則子級尺度系數(shù)ξ值也相應(yīng)較大，多尺度之間相關(guān)性較強。利用ξp可以較好地預(yù)測ξ值，從而能更好地保留細節(jié)信息，濾除迭代重構(gòu)過程中的噪聲。筆者提出的基于Curvelet稀疏表示各尺度間系數(shù)相關(guān)性的雙變量收縮閾值的Landweber重構(gòu)迭代式為：

(7)

(8)

式中C——Curvelet變換；

CT——Curvelet反變換；

T——閾值收縮算子；

x(k)——估計值經(jīng)過閾值比較的調(diào)整值；

y——圖像觀測數(shù)據(jù)；

φ——測量矩陣；

γ——比例因子。

CS重構(gòu)算法的具體步驟如下：

a. 初始化，給定迭代停止參數(shù)τ、圖像分塊觀測矩陣φ、圖像觀測數(shù)據(jù)y，設(shè)迭代計數(shù)器k=0、Curvelet變換自適應(yīng)閾值收縮算子為T、λ初值為λ0，給定η的初值；

d. 多尺度雙變量收縮閾值處理，V(k+1)=T(D(k+1))，其中V(k+1)為k+1次迭代系數(shù)閾值調(diào)整矩陣；

e. Curvelet反變換，xk+1=CT(V(k+1))，其中CT為Curvelet反變換；

f. 如果‖x(k+1)-x(k)‖2>τ轉(zhuǎn)到步驟b，否則輸出重構(gòu)圖像x=x(k+1)；

g. 算法結(jié)束。

4 實驗結(jié)果與分析

對512×512像素的標(biāo)準測試圖像Lenna和Barbara分別采用基于Curvelet稀疏表示的圖像分塊壓縮感知重構(gòu)算法、DWT、Contourlet和DCT進行對比實驗，圖5、6分別給出了重構(gòu)效果?？梢钥闯鯠WT重構(gòu)結(jié)果中的紋理區(qū)域振鈴現(xiàn)象較嚴重；Contourlet具有獲取兩個信號幾何輪廓特征的功能，結(jié)果中的紋理區(qū)域較清晰；DCT重構(gòu)結(jié)果中的紋理區(qū)域模糊現(xiàn)象較嚴重；而筆者所提算法具有多尺度和多方向的識別能力，有利于圖像中曲線狀紋理的分辨，結(jié)合多尺度雙變量收縮閾值迭代能夠獲得更好的重構(gòu)圖像效果。

圖4 Lenna圖像重構(gòu)效果對比

圖5 Barbara圖像重構(gòu)效果對比

表2分別給出了采樣率為0.3時，上述4種算法重構(gòu)效果的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)結(jié)果?？梢姽P者所提算法重構(gòu)效果均高于其他3種算法，Lenna圖像紋理區(qū)域相對較少，筆者所提算法的PSNR比其他算法平均提高0.74dB；Barbara紋理區(qū)域相對較多，筆者所提算法的PSNR比其他算法平均提高1.00dB。這都驗證了筆者所提算法的有效性與穩(wěn)定性。

表2 不同算法的PSNR數(shù)值比較結(jié)果 dB

5 結(jié)束語

為了研究圖像的稀疏表示與重構(gòu)問題，筆者提出了一種基于Curvelet稀疏表示的圖像壓縮感知重構(gòu)算法，利用Curvelet變換優(yōu)越的多尺度幾何分析能力對圖像曲線狀紋理進行稀疏表示，結(jié)合BCS技術(shù)降低隨機觀測計算的復(fù)雜度。在圖像重構(gòu)過程中設(shè)計了基于Curvelet變換高頻子帶系數(shù)之間相關(guān)性的雙變量收縮閾值迭代重構(gòu)算法，實驗結(jié)果也證實筆者所提算法可以很好地重構(gòu)圖像，在同一采樣率下能夠更好地保持圖像的細節(jié)信息。

[1] 戴光,余永增,張穎,等.基于小波包分析和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滾動軸承非接觸聲發(fā)射診斷方法[J].化工機械,2008,35(5):274～277.

[2] 張勇,金學(xué)波.基于圖像處理和小波去噪的化工信號分析[J].化工自動化及儀表,2007,34(1):69～72.

[3] 倪偉,郭寶龍,楊镠.圖像多尺度幾何分析新進展:Contourlet[J].計算機科學(xué),2006,33(2):234～236.

[4] Candès E J,Demanet L,Donoho D L,et al.Fast Discrete Curvelet Transforms[J].Multiscale Modelingand Simulation, 2006,5(3):861～899.

[5] Candès E J,Romberg J,Tao T.Robust Uncertainty Principles:Exact Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information[J].IEEE Transactions on Information Theory,2006,52(2):489～509.

[6] Donoho D L.Compressed Sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory,2006,52(4):1289～1306.

[7] 焦李成,楊淑媛,劉芳,等.壓縮感知回顧與展望[J].電子學(xué)報,2011,39(7):1651～1662.

[8] 徐明華,李瑞,路交通,等.基于壓縮感知理論的缺失地震數(shù)據(jù)重構(gòu)方法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(地球科學(xué)版),2013,43(1):282～290.

[9] 孔麗云,于四偉,程琳,等.壓縮感知技術(shù)在地震數(shù)據(jù)重建中的應(yīng)用[J].地震學(xué)報,2012,34(5):659～666.

[10] 葉慧,孔繁鏘.基于Curvelet變換的圖像壓縮感知重構(gòu)[J].計算機工程,2014,40(2):233～236.

[11] Candès E J,Donoho D L.New Tight Frames of Curvelets and Optimal Representations of Objects with Piecewise C2 Singularities[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2004,57(2):219～266.

[12] Gan L.Block Compressed Sensing of Natural Images[C].2007 15th International Conference on Digital Signal Processing.Cardiff:IEEE,2007:403～406.

[13] Tropp J A,Gilbert A C.Signal Recovery from Random Measurements via Orthogonal Matching Pursuit[J].IEEE Transactions on Information Theory,2007,53(12):4655～4666.

[14] Needell D,Vershynin R.Signal Recovery from Incomplete and Inaccurate Measurements via Regularized Orthogonal Matching Pursuit[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing,2010,4(2):310～316.

[15] Figueiredo M A T,Nowak R D,Wright S J.Gradient Projection for Sparse Reconstruction:Application to Compressed Sensing and Other Inverse Problems[J].IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing,2007,1(4):586～597.

[16] Sungkwang M,Fowler J E.Block Compressed Sensing of Images Using Directional Transforms[C].2009 16th IEEE International Conference on Image Processing(ICIP).Cairo:IEEE,2009:3021～3024.

[17] Sendur L,Selesnick I W.Bivariate Shrinkage Functions for Wavelet-based Denoising Exploiting Interscale Dependency[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2002,50(11):2744～2756.

[18] 劉繼承,張琳,董青松,等.基于二進小波變換的多尺度邊緣細化檢測[J].化工自動化及儀表,2014,41(6):641～646.

[19] 李偉,吳超群,王艷茹,等.基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的FRP復(fù)合材料損傷聲發(fā)射信號識別[J].化工機械,2011,38(3):294～297.