均布荷載作用下地基的邊緣沉降

劉紫紅，王振輝

(1. 河南工業(yè)和信息化職業(yè)學(xué)院 建筑工程系，河南 焦作 454000;2. 河南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454003)

客觀地分析，地基土層承受上部建筑物的荷載，必然會產(chǎn)生變形，從而引起建筑物基礎(chǔ)沉降。當(dāng)?shù)鼗谏喜亢奢d作用下，產(chǎn)生嚴(yán)重沉降或不均勻沉降時(shí)，就會影響建筑物的正常使用，甚至發(fā)生整體傾斜、墻體開裂、基礎(chǔ)斷裂等事故。關(guān)于地基沉降的計(jì)算分析，已經(jīng)有很多種方法。［1－9］

基于Boussinesq 地基模型，文獻(xiàn)［9］研究了均布荷載作用下地基區(qū)域內(nèi)部的沉降情況。事實(shí)上，在均布荷載作用下，受荷載區(qū)域的外部也會出現(xiàn)地基沉降，下面給出具體的沉降分析。

1 受荷載區(qū)域外部的沉降分析

為了計(jì)算上的方便，將受荷載地基理想化為矩形區(qū)域，邊長分別為2a、2b。記地基土的變形模量是E0，泊松比是μ0，均布荷載p 作用于該矩形區(qū)域。

建立坐標(biāo)系如圖1 所示，原點(diǎn)O 位于矩形區(qū)域左邊界的中點(diǎn)處，已知點(diǎn)H 是荷載外部的一點(diǎn)，為計(jì)算方便，假設(shè)點(diǎn)H 在坐標(biāo)軸上，且距離右邊界長度為d。

圖1 點(diǎn)H 處的沉降分析Fig.1 The settlement analysis of the point H

結(jié)合圖1 中點(diǎn)H 處的沉降分析示意圖，利用元素分析法，在受均布荷載的矩形區(qū)域里選擇一個(gè)小微元，不妨設(shè)微元的面積dxdy，則可以給出該微元上的荷載為pdxdy。由于此處可以將微元上的局部荷載近似為作用于一點(diǎn)處的集中荷載，因此該微元在點(diǎn)H 處的沉降位移可以表示為:

式(1)中，w 表示在整個(gè)均布荷載作用下點(diǎn)H 處的沉降位移。

記地基區(qū)域2a ×2b 為區(qū)域Ω，則點(diǎn)H 處的沉降位移為:

為了更好的計(jì)算上面的二重積分，選用極坐標(biāo)系，不妨將極點(diǎn)選在點(diǎn)H 處，將地基區(qū)域放置于點(diǎn)H 的右邊等距離的地方，如圖2 所示。

圖2 點(diǎn)H 處的沉降計(jì)算Fig.2 The settlement calculation of the point H

在圖2 中，將區(qū)域Ω 在x 軸上方的部分記為區(qū)域Ω1，根據(jù)對稱性，顯然有

為了計(jì)算方便，將區(qū)域Ω1分解為兩個(gè)區(qū)域Ω11和Ω12，根據(jù)二重積分的性質(zhì)，有

在極坐標(biāo)下，用不等式將區(qū)域Ω11和Ω12分別描述如下:

式(5)中，

結(jié)合式(5)，式(4)進(jìn)一步可以寫為:

將式(6)代入式(7)，經(jīng)過較繁瑣的計(jì)算可得:

將式(8)入式(3)及式(2)，可得點(diǎn)H 處的位移為:

由點(diǎn)H 的任意性可知，式(9)表示荷載區(qū)域外部水平線上的沉降情況。類似地，可以計(jì)算受荷載區(qū)域外部其它點(diǎn)處的沉降情況，此處不再贅述。

2 算例

已知地基上方形區(qū)域長2a =5m，寬2b =0.5m;地基土的變形模量E0=10MPa，泊松比μ0=0.35。方形區(qū)域上作用有均布荷載p = 200KN/m2，試分析該區(qū)域水平中心線上外部點(diǎn)處的地基沉陷情況。

依據(jù)文中分析，如圖1 所示建立直角坐標(biāo)系。記點(diǎn)H 處的地基沉降函數(shù)為f( )d ，利用文中推導(dǎo)的公式(9)，利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 計(jì)算可得:

注:(1)結(jié)合點(diǎn)H 的任意性，將距離d 看作自變量，則函數(shù)f( )d 即為所求各點(diǎn)處的地基沉降函數(shù);

(2)類似地，可以分析計(jì)算均布荷載作用下地基區(qū)域外部所有點(diǎn)的沉降情況，此處不再贅述。

為更好地體現(xiàn)算例中的沉降函數(shù)，編寫Mathematica 程序，繪制函數(shù)f( )d 的圖形如下:

圖3 沉降函數(shù)的圖形Fig.3 The graph of the settlement function

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