抓準教學(xué)時機 滲透數(shù)學(xué)思想
——“植樹問題”教學(xué)片斷及思考

安徽潛山縣舒州逸夫小學(xué)（246300） 查達彬

抓準教學(xué)時機 滲透數(shù)學(xué)思想
——“植樹問題”教學(xué)片斷及思考

安徽潛山縣舒州逸夫小學(xué)（246300） 查達彬

數(shù)學(xué)思想是學(xué)生形成良好認知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，所以教師在教學(xué)中必須重視數(shù)學(xué)思想的滲透。課堂教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，把握數(shù)學(xué)思想滲透的時機，有意識、有目的、有選擇地讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想，全面提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)思想 教學(xué)時機 滲透 感悟 化歸思想 對應(yīng)思想 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)建模

《數(shù)學(xué)課程標準》指出：“數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類、模型、數(shù)形結(jié)合等?！币虼?，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，抓住其中的有利因素，有意識、有目的、有選擇地滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在潛移默化中感悟基本的數(shù)學(xué)思想，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面，以“植樹問題”一課教學(xué)為例，談?wù)勛约旱淖龇ê退伎肌?/p>

一、在解決問題中滲透化歸的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)片斷1：

出示問題：在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要栽多少棵樹？

師：如果這條路的一邊用一條線段來表示，請你猜一猜，一共需要栽多少棵樹呢？

生1：20棵。

生2：21棵。

師：你們都是怎么想的？

生1：100除以5得20。

生2（邊說邊用手中的筆比劃）：這里是兩端都要栽，100除以5得20，是20個間隔，所以還要加1，應(yīng)該是21棵。

師：聽起來好像都挺有道理的，有的說20棵，有的說21棵，到底哪個答案是對的呢？（生思考）

師：大家能用更加直觀的方法來驗證自己的答案嗎？

生3：畫圖。

師：畫圖驗證是一個好方法。

師（課件演示）：請看，“兩端要栽”指先在開頭栽上一棵，然后每隔5米栽一棵。大家看，現(xiàn)在（鼠標指向25米處）栽了多少米？

生4：現(xiàn)在栽了25米。

師：一共要栽多少米？

生5：100米。

師：照這樣一棵一棵畫，一直畫到100米，這要多長時間呀？大家有什么想法嗎？

生6：太浪費時間了，也太累、太麻煩了。

師：這樣一棵一棵畫下去，方法是可以的，但由于棵數(shù)太多，顯得非常麻煩。那有什么更簡單的方法嗎？

生7：取20米畫圖。

師：說說看。

生7：先畫出在全長20米道路一旁栽樹的線段圖（兩端要栽），再根據(jù)其結(jié)果來推想在全長100米道路一旁栽樹的線段圖（兩端要栽）。

師：說得好！這樣一來，畫的棵數(shù)就少多了，問題也就變得簡單多了。大家可要注意了，以后在遇到比較復(fù)雜的問題時，我們可以先從比較簡單的例子想起。

……

思考：當大家都認為畫圖是個好方法但很麻煩、很浪費時間時，教師及時提醒并引導(dǎo)學(xué)生找出簡單的畫圖方法，使學(xué)生體會到研究比較復(fù)雜的問題時可以從簡單問題或簡單事例入手。這樣教學(xué)，不僅符合學(xué)生的年齡特征、思維方式及認知規(guī)律，較好地完成教學(xué)任務(wù)，而且能把抽象的化歸思想滲透其中，讓學(xué)生在“潤物細無聲”中體驗到數(shù)學(xué)思想的價值，提高了學(xué)生解決問題的能力。

二、在尋求規(guī)律中滲透對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)片斷2：

師（課件演示）：同學(xué)們仔細看一看，線段圖中有幾個間隔？能栽幾棵樹？

生1：有4個間隔，能栽5棵樹。

師：從這個線段圖中，我們能看出什么？

生2：能看出栽樹的棵樹比間隔數(shù)多1。

師：這個同學(xué)的說法是不是正確呢？通過一個簡單的問題畫出的線段圖是不是就有代表性呢？

生3：我們還可以多選幾個數(shù)據(jù)畫一畫。

師：好！我們多選幾個簡單的數(shù)據(jù)畫線段圖，看看間隔數(shù)和棵數(shù)之間到底有什么關(guān)系。

課件出示表格：

?

（生先畫圖自主探究，再展示匯報）

師：通過畫圖我們找出了間隔數(shù)和棵數(shù)，現(xiàn)在請大家認真觀察表格，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

生4：這里一個點就是一棵樹，一個間隔對應(yīng)著一棵樹。每隔5米栽一棵樹，20米有4個間隔，能栽5棵樹；15米有3個間隔，能栽4棵樹；10米有2個間隔，能栽3棵樹；5米只有一個間隔，能栽2棵樹，這說明棵數(shù)都比間隔數(shù)多1。（師再請幾位學(xué)生說說自己的想法）

師：你們同意他們的說法嗎？（生齊聲回答“同意”）

……

思考：事實上，“植樹問題”的本質(zhì)就是對應(yīng)問題，學(xué)生只要明確了“間隔”與“樹”這兩者之間的對應(yīng)關(guān)系，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。因此，教師教學(xué)時可從“間隔”與“樹”之間的對應(yīng)關(guān)系入手，先讓學(xué)生通過畫出四個簡單數(shù)據(jù)（如20米、15米、10米、5米）的線段圖，計算出間隔長，再找出間隔數(shù)與栽樹棵數(shù)之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)“在一段路的一旁栽樹（兩端要栽），栽樹棵數(shù)比間隔數(shù)多1”，即“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”這一規(guī)律。這樣教學(xué)，不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的形成過程，而且較好地處理了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識與感悟數(shù)學(xué)思想之間的關(guān)系，可謂匠心獨具，一舉多得。

三、在深入探究中滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)片斷3：

出示問題：16米長的一條路，如果在它的一邊每隔4米栽一棵樹，需要栽幾棵樹？

（題目一出，全班學(xué)生異口同聲地回答“5棵”）

師：真的是5棵嗎？請把題目再仔細讀一讀。

生1：不一定是5棵，這里沒有說明“兩端要栽”。

師：你們在題目里看到“兩端要栽”這四個字了嗎？（大部分學(xué)生都很無力地回答“沒有”）

師：那么，到底需要栽幾棵樹呢？（學(xué)生很茫然）

師：剛才我們遇到問題時是用什么辦法解決的？

生2：畫圖。

師：對，我們還可以通過畫圖解決問題。（生畫圖）

師：通過畫圖，你們發(fā)現(xiàn)可以栽幾棵樹？

生3：我發(fā)現(xiàn)可以栽5棵樹。

生4：我發(fā)現(xiàn)可以栽4棵樹。

生5：我發(fā)現(xiàn)可以栽3棵樹。

師：誰的答案是對的呢？我們來比較一下。（課件演示）

生6：我明白了，5棵是指兩端都栽，棵數(shù)是間隔數(shù)加1；4棵是指只栽一端，棵數(shù)等于間隔數(shù)；3棵是指兩端都不栽，棵數(shù)是間隔數(shù)減1。這里沒有說明怎么栽樹，所以三種答案都對。

師小結(jié)并板書：

兩端都栽 棵樹=間隔數(shù)+1

只栽一端 棵樹=間隔數(shù)

兩端都不栽 棵樹=間隔數(shù)-1

師：在剛才的學(xué)習(xí)過程中，大家有什么感想？或者說，要注意些什么？

生7：我覺得，剛才的問題只要一畫圖，就會想到有三種不同的情況。

生8：以后在動腦思考問題時，要注意動手畫圖，因為手腦并用有助于問題的解決。

師：這兩位同學(xué)都說得非常好。思考問題尤其是數(shù)學(xué)問題時，一定要注意邊思考邊畫圖，因為畫圖能促進大腦的思考。

……

思考：著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！薄皵?shù)形結(jié)合可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)?！庇纱丝梢?，數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想對幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能起到關(guān)鍵的作用。如在“植樹問題”教學(xué)中，當學(xué)生由于受前面“兩端要栽”這一思維定式的影響，得出模棱兩可的答案時，教師適時自然、巧妙地引導(dǎo)學(xué)生畫出線段圖。這樣不僅能較好地幫助學(xué)生找到解決“植樹問題”的三種規(guī)律，而且使學(xué)生在這一過程中體會到畫線段圖有利于找到問題的解決辦法，從而將“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)思想埋藏心底并逐漸內(nèi)化成為自己解決問題的一種習(xí)慣。

四、在拓展延伸中滲透數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想

教學(xué)片斷4：

師：在我們的生活中，有沒有類似“植樹問題”的情況呢？（生答略）

師（小結(jié)）：其實，“植樹問題”不只和樹有關(guān)，在生活中還有許多與“植樹問題”相似的情況，如安裝路燈、站隊中的方陣、鋸木頭、花壇擺花、敲鐘……它們中都隱藏著總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問題?！爸矘洹钡穆肪€可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線，如正方形、長方形、圓形……

思考：“植樹問題”的模型源于生活，又高于生活，所以在現(xiàn)實中有著廣泛的應(yīng)用價值。如上述教學(xué)中，在學(xué)生已經(jīng)自主尋找到解決“植樹問題”的三種規(guī)律后，教師適時指出“在生活中還有許多與‘植樹問題’相似的情況”，并讓學(xué)生相互舉例說明。學(xué)生在舉例交流中進一步體會到現(xiàn)實生活中的許多不同問題都含有與“植樹問題”相同的數(shù)量關(guān)系，這些問題都可以利用“植樹問題”的模型或者說利用解決“植樹問題”的方法來解決，從而感悟到數(shù)學(xué)建模的重要意義。

小學(xué)數(shù)學(xué)中提到的數(shù)學(xué)思想還有很多，如數(shù)學(xué)符號思想、分類思想、類比思想、集合思想、統(tǒng)計思想、極限思想等，這些數(shù)學(xué)思想的滲透除要把握好教學(xué)時機外，還要注意與教學(xué)內(nèi)容有機結(jié)合，防止生搬硬套、和盤托出、脫離實際等適得其反的做法。

總之，只要我們在教學(xué)中把握契機，注意方法并持之以恒，學(xué)生就能真正感悟數(shù)學(xué)知識中蘊含的數(shù)學(xué)思想，從而全面提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 杜 華）

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1007-9068（2015）32-025