關注位置關系 留意軌跡方程——通過近幾年高考案例談直線與圓的方程的學習

林 潔

（山東體育學院體育運動學校，山東 濟南 250012）

直線方程是解析幾何的基礎知識之一，是高考重點考查的內容，主要考查直線的傾斜角、斜率、直線方程、兩條直線的位置關系、點到直線的距離以及對稱問題；圓是高考的熱點，也是重點考查的內容，主要考查圓的方程、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系以及圓的幾何性質。直線與圓一般在試題中的難度為中等或偏易，主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，偶爾也會出現(xiàn)在解答題，多與圓錐、曲線綜合在一起考查。從近幾年的高考來看，主要以以下幾種形式考查直線與圓的方程：

【問題1】：關于直線對稱的問題

【例1】（高考，浙江理3）直線x-2y+1=0關于直線x=1對稱的直線方程是（ ）

【答案】：D

【解析】：解法一(利用相關點法)設所求直線上任一點(x,y),則它關于x=1對稱點為(2-x,y)，它在直線x-2y+1=0上,∴2-x-2y+1=0化簡得x+2y-3=0，故選 D.

解法二：根據(jù)直線x-2y+1=0關于直線x=1對稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D,再根據(jù)兩直線交點在直線x=1，選答案D.

【例 2】（高考，上海文 13）圓 x2+y2-2x-1=0 關于直線 2x－y+3=0 對稱的圓的方程是（ ）

【答案】C

【解析】圓 x2+y2-2x-1=0?（x-1）2+y2=2，圓心（1，0），半徑，關于直線2x－y+3=0對稱的圓半徑不變，排除A、B，兩圓圓心連線段的中點在直線 2x－y+3=0 上，C 中圓（x+3）2+（y-2）2=2 的圓心為（-3，2），驗證適合，故選C.

【評述】直線關于點的對稱直線，直線關于直線的對稱直線等，其實質是點關于直線的對稱問題，轉化為垂直與平分來處理.在例1中解法1是運用一般的點，然后用代入法求解，也可以運用特殊點法來求解，即在已知直線上找一個或兩個特殊點，求出這兩個特殊點的對稱點，利用兩點式寫出直線方程；解法2側重數(shù)形結合，這是解選擇、填空天常用的方法.

例2中圓的對稱問題，實質上轉化為圓心關于直線的對稱問題來處理，這體現(xiàn)了轉化的思想.

【問題2】判斷兩直線的位置關系

【例 3】（高考，上海理 2）已知 l1：2x＋my+1=0 與 l2：y=3x-1，若兩直線平行，則m的值為 .

【評述】：當兩條直線 l1、l2的方程分別為 y＝k1x＋b1和 y＝k2x＋b2（即它們的斜率都存在時），可由k1，k2之間的具體值來判斷它們的位置關系；當 l1、l2的方程分別為 A1x＋B1y＋C1=0 和 A2x＋B2y＋C2=0 時，可由 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0來判斷它們是否垂直.

【問題3】圓的方程的求法

根據(jù)已知條件先確定采用標準方程還是一般方程，然后求出相應的參數(shù)，即采用待定系數(shù)法.

【例 4】（高考，湖南文理 11）圓心為（1，1）且與直線 x＋y=4 相切的圓的方程是 .

【答案】 （x-1）2+（y-1）2=2.

【評述】：求圓的方程時，如果涉及圓心、半徑或切線時，一般設圓的方程的標準式；如果涉及圓過幾個點，一般設圓的方程的一般式.

【問題4】直線與圓、圓與圓的位置關系

利用它們的方程聯(lián)立的方程組的解的情況（稱為代數(shù)法）或利用圓心到直線的距離、圓心與圓心的距離與半徑的大小關系（稱之為幾何法）來求解.

【例 5】（江西理 16）設有一組圓Ck：（x－k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*）.下列四個命題：

A.存在一條定直線與所有的圓均相切 B.存在一條定直線與所有的圓均相交

C.存在一條定直線與所有的圓均不·相交 D.所有的圓均不·經(jīng)過原點

其中真命題的代號是 .（寫出所有真命題的代號）

【答案】B、D

【例 6】（高考，山東理 15）與直線 x＋y-2=0和曲線 x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標準方程是 .

圖1

【評述】涉及直線與圓的位置關系，一般用幾何法求解；涉及圓與圓的位置關系時，一般用代數(shù)法求解.

【問題5】與圓有關的軌跡方程問題

【例 7】（高考，四川文理 15）已知圓 O的方程是 x2+y2-2=0，圓 O′的方程是x2+y2-8x+10=0，由動點P向圓O和圓O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是 .

【評述】圓的切線是高考的熱點，把圓的切線與軌跡結合在一起，一般用數(shù)形結合的思想與方法來解決，這樣既直觀又便捷.

【問題6】與圓有關的新題賞析

【例 8】（高考，浙江理 4 文 5）要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水.假設每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數(shù)最少是（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

圖2

【答案】B

【解析】：因為龍頭的噴灑面積為36π≈113，正方形面積為256,故至少三個龍頭.由于2R＜16，故三個龍頭肯定不能保證整個草坪能噴灑到水.當用四個龍頭時，可將正方形均分四個小正方形，同時將四個龍頭分別放在它們的中心，由于 2R=12＞8， 故可以保證整個草坪能噴灑到水.

圖3

【例 9】（高考，上海文 11）如圖，A，B 是直線 l上的兩點，且 AB=2.兩個半徑相等的動圓分別與l相切于A，B點，C是這兩個圓的公共點，則圓弧AC，CB與線段AB圍成圖形面積S的取值范圍是 .

【解析】如圖，當圓O1與圓O2外切于點C時，S最大，此時，兩圓半徑為 1，S等于矩形ABO2O1的面積減去兩扇形面積，∴Smax=2×1-2×，隨著圓半徑的變化，C可以向直線l靠近，當C到直線 l的距離 d→0 時，S→0，∴S∈

圖4

圖5

【評述】這兩道新題實質上是圓的應用，利用所學過的知識解決實際問題是新課標、新考綱的要求，因此在以后的考題中一定會有不少的新題型面市。希望通過這些例題的分析，使學生更好的掌握直線與圓的位置關系的相關題型的解題方法與技巧。