質(zhì)量均勻分布天體的內(nèi)部壓強(qiáng)

許叢易

（江蘇省濱海中學(xué)，江蘇 濱海 224500）

1 引言

圖1

在天體運(yùn)動(dòng)教學(xué)中，經(jīng)常用到質(zhì)量均勻分布的天體的一些重要結(jié)論，比如對(duì)其他天體的引力計(jì)算可以等效成質(zhì)量集中在中心，質(zhì)量均勻分布的球殼內(nèi)部空腔任意一點(diǎn)引力合力為0.合力雖然為零，但是放在那里的物體會(huì)感受到向四周拉扯的引力.如圖1.

過(guò)A點(diǎn)作兩個(gè)圓錐，頂角取得極其小，它們的母線長(zhǎng)分別為r1、r2，由于相似，它們?nèi)〉降臍ど系拿娣e之比為

由（1）式知，這兩個(gè)力大小相等，方向又相反，所以抵消，因此任意一塊小面積引力都有對(duì)應(yīng)小面積引力和它抵消，總體來(lái)說(shuō)，合力為0.進(jìn)而可以推廣到任意厚度的殼，只要把它想象成由無(wú)數(shù)多的薄殼疊加起來(lái)的，就顯而易見(jiàn)了.

圖2

例1.一星球質(zhì)量為M，半徑為R，求處于內(nèi)部半徑為r的地方重力加速度是多少？

可見(jiàn)，內(nèi)部重力加速度正比于半徑，越靠近地心，加速度越小.但要注意，由于外部重力導(dǎo)致的壓強(qiáng)卻并不小，我們下面來(lái)求出壓力隨半徑的表達(dá)式.

2 兩種計(jì)算方案

圖3

方案1：如圖3求出小立體角ΔΩ對(duì)應(yīng)的半徑r之外的總重力，再除以立體角ΔΩ對(duì)應(yīng)的半徑r處的表面積即可，但是要注意，由于重力加速度不是常量了，不能用總質(zhì)量直接求出來(lái)，需要積分.

可見(jiàn)隨著r的減小，壓強(qiáng)在增大，在中心處變成了無(wú)窮大.因?yàn)橹行奶幟娣e為0，而總重力不為0，壓在上面壓強(qiáng)自然為無(wú)窮大.

再乘以面積4πx2，得

兩種方案，給出了兩個(gè)答案，哪一個(gè)才是合理的呢？另一個(gè)方案的問(wèn)題出在哪里？

3 討論

圖4

我們看如圖4所示的兩部分，在計(jì)算重力的時(shí)候用了當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?，而這當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁强紤]了B對(duì)A的引力了.但是在計(jì)算它們對(duì)面積S產(chǎn)生的壓強(qiáng)時(shí)，B對(duì)A的引力是它們整體的內(nèi)力，不應(yīng)該考慮到計(jì)算中去，方案1的模型計(jì)算了AB間的引力，所以計(jì)算結(jié)果會(huì)偏大.即

可見(jiàn)此題，內(nèi)力只能部分地計(jì)算進(jìn)去，這是一個(gè)困難的地方，不容易理解的地方，方案2的微元法沒(méi)有這些困擾，是正確的.

致謝：感謝江蘇省濱海中學(xué)物理組的全體成員，本論文的寫(xiě)作緣起于競(jìng)賽輔導(dǎo)課中學(xué)生的提問(wèn)，當(dāng)時(shí)第一感覺(jué)應(yīng)該比較容易得出答案，但是結(jié)果卻是錯(cuò)誤的，于是就想專門(mén)把幾種解法都剖析一下.

1 盧德馨.大學(xué)物理學(xué)（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.