子彈打木塊模型的綜合分析

尹明德

（甘肅省秦安縣一中，甘肅 秦安 741600）

子彈打木塊模型，既綜合了勻變速運動知識，又綜合了牛頓定律知識，還綜合了能量和動量知識，引導學生從不同角度來分析探究該問題，不僅能鞏固學生所學的物理知識，更能提高他們綜合分析問題的能力.

圖1

問題1.如圖1所示，質量為m（重力不計）的子彈以初速v0擊穿靜止在光滑的水平面上質量為M長為l的木塊，試討論：子彈穿過木塊的時間、子彈剛穿出的速度和木塊獲得的速度各由什么因素決定？

解析：把擊穿過程中子彈與木塊間的摩擦力f設為恒力（理想化），從牛頓定律和運動學知識來看：

對子彈（視為質點）m：木塊對子彈的阻力f（就是合力）向左，產(chǎn)生向左的加速度為

使子彈做勻減速直線運動，它擊穿木塊時的速度為v1，有

子彈對地發(fā)生的位移為

對木塊M：子彈對木塊的動力f（合力），產(chǎn)生向右的加速度為

M獲得的速度為

M的位移為

擊穿條件：x1－x2≥l（取等號是剛好擊穿），即

代入（2）式，得

代入（5）式，得

由（8）～（10）式知決定t、v1、v2大小的因素有m、M、f、v0和l.由（9）、（10）式還看出，擊穿時子彈和木塊的速度滿足：v1＞v2.

圖2

例1.靜止在光滑水平面上的木塊，被一顆子彈沿水平方向擊穿，若子彈擊穿木塊的過程中子彈受到木塊的阻力大小恒定，則當子彈入射速度增大時，下列說法正確的是

（A）木塊獲得的速度變大.

（B）木塊獲得的速度變小.

（C）子彈穿過木塊的時間變長.

（D）子彈穿過木塊的時間變短.

圖3

解析：若用控制變量法：當m、M、f和l不變（題目隱含），v0增大，由（8）、（10）式來分析，因數(shù)學式子復雜很難得出v2及t的變化結論.但若利用v-t圖像如圖3所示，v0增大使v0a線向上平移，ab線向左平移至a1b1時才能保持陰影部分面積相等（前后梯形面積不變）.故v0增大，子彈射穿木塊時的速度增大，木塊獲得的速度減小，子彈穿過木塊的時間變短，選項（B）、（D）正確.

遷移1：若只增大木塊的質量（m、v0、f、l均不變，M增大）這時如圖4所示，M增大使Ob順轉到Ob2，ab左移到a2b2，而前后梯形面積相等，陰影部分面積必相等，故M增大，子彈射穿木塊時的速度增大，木塊獲得的速度減小，子彈穿過木塊的時間變短.

遷移2：若只減小子彈質量m，如圖5所示，線v0a順轉到v0a3，Ob延長到Ob3，ab線移到a3b3，前后梯形面積要相等，圖中陰影部分面積必相等，這時子彈射穿木塊時的速度減小，木塊獲得的速度增大，子彈穿過木塊的時間變長.

圖4

圖5

問題2：仍如圖1所示，探究子彈與木塊作用過程中系統(tǒng)損失的機械能的情況.

對M有

（1）、（2）式相加有

即水平方向動量守恒.又據(jù)動能定理，對子彈

對木塊

由（4）、（5）式得

或

結合能量守恒可知：子彈減少的機械能一部分轉化為木塊的機械能，另一部分轉化為系統(tǒng)的內能（Q＝fl），或系統(tǒng)減少的機械能轉化為子彈與木塊間因動摩擦力而產(chǎn)生的內能.

（8）式化簡得

結論：系統(tǒng)損失的機械能等于因摩擦而產(chǎn)生的內能，且等于摩擦力與兩物體相對路程的乘積，即Q＝ΔE系統(tǒng)機損＝fl（l為相對路程），其推廣式為Q＝f1l1＋f2l2＋…＋fnln.

例2.如圖6（甲）所示，質量為2m的長木板靜止地放在光滑的水平面上，另一質量為m的小鉛塊（可視為質點）以水平速度v0滑上木板的左端，恰能滑至木板的右端且與木板保持相對靜止，鉛塊在運動過程中所受到的摩擦力始終不變.若將木板分成長度與質量均相等（即m1＝m2＝m）的兩段1、2后，將它們緊挨著放在同一水平面上，讓小鉛塊以相同的初速度v0由木板1的左端開始運動，如圖6（乙）所示，則下列說法正確的是

圖6

（A）小鉛塊滑到木板2的右端前就與之保持相對靜止.

（B）小鉛塊滑到木板2的右端后與之保持相對靜止.

（C）（甲）、（乙）兩圖所示的過程中產(chǎn)生的熱量相等.

（D）圖（甲）所示的過程產(chǎn)生的熱量大于圖（乙）所示的過程產(chǎn)生的熱量.

解析：長木板分兩段前，鉛塊和木板的最終速度為

且有

圖7

長木板分兩段后，可定量計算出木板1、2和鉛塊的最終速度（請讀者去求），從而可比較摩擦生熱和相對滑動的距離；也可用圖像法定性分析，如圖6（丙）所示，比較得到小鉛塊到達右端之前已與木板2保持相對靜止，故圖（甲）所示的過程產(chǎn)生的熱量大于圖（乙）所示的過程產(chǎn)生的熱量，選項（A）、（D）正確.

遷移練習：如圖7所示，電容器固定在一個絕緣座上，絕緣座放在光滑水平面上，平行板電容器板間的距離為d，右極板上有一小孔，通過孔有一左端固定在電容器左極板上的水平絕緣光滑細桿，電容器極板以及底座、絕緣桿總質量為M，給電容器充電后，有一質量為m的帶正電小環(huán)恰套在桿上以某一初速度v0對準小孔向左運動，并從小孔進入電容器，設帶電環(huán)不影響電容器板間電場分布.帶電環(huán)進入電容器后距左板的最小距離為0.5d，試求：

（1）帶電環(huán)與左極板相距最近時的速度v；

（2）此過程中電容器移動的距離s；

（3）此過程中能量如何變化？

解析：（1）帶電環(huán)進入電容器后在電場力的作用下做初速度為v0的勻減速直線運動，而電容器則在電場力的作用下做勻加速直線運動.當它們的速度相等時，帶電環(huán)與電容器的左極板相距最近，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒定律，從動量觀點有

從力與運動觀點，設電場力為F，

（2）從能量觀點，對m有

對M有

圖8

帶電環(huán)與電容器的速度圖像如圖8所示.由三角形面積可得

（3）在此過程中，帶電小環(huán)動能減少，電勢能增加，同時電容器等的動能增加，系統(tǒng)中減少的動能全部轉化為電勢能.