熱膜式氣流量傳感器指數(shù)過渡分段擬合方法

彭 丹，楊 磊，楊家強(qiáng)

（浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江杭州310027）

熱膜式氣流量傳感器指數(shù)過渡分段擬合方法

彭 丹，楊 磊，楊家強(qiáng)

（浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江杭州310027）

為了提高應(yīng)用于高速列車通氣管道監(jiān)測(cè)列車運(yùn)行狀態(tài)的熱膜式氣體流量傳感器輸出特性的曲線擬合精度，在多項(xiàng)式擬合和分段擬合的基礎(chǔ)上，提出指數(shù)過渡分段擬合方法.該方法對(duì)氣體流量和輸出電壓的關(guān)系進(jìn)行分段擬合，人為選擇一個(gè)分界點(diǎn)，利用2組原始數(shù)據(jù)得到2條擬合曲線，2條擬合曲線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，利用交點(diǎn)的前一個(gè)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)和后一個(gè)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)成過渡區(qū)間，使用指數(shù)函數(shù)修正交點(diǎn)附近的過渡區(qū)間，解決了分段擬合不平滑的缺陷，實(shí)現(xiàn)了曲線間的光滑過渡.對(duì)提出的擬合方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，給出并比較了多項(xiàng)式擬合、分段擬合和指數(shù)過渡分段擬合的結(jié)果.結(jié)果表明，提出的指數(shù)過渡分段擬合方法具有很高的擬合精度，擬合誤差不大于1.5％，方法簡單、可靠.

氣體流量傳感器；曲線擬合；多項(xiàng)式；分段；自然相交；指數(shù)曲線過渡

熱式氣體流量傳感器是在早期熱線風(fēng)速儀的基礎(chǔ)上發(fā)展來的一種直接式氣體質(zhì)量流量測(cè)量儀器，具有壓損低、流量范圍大、精確度高、重復(fù)性好、無可動(dòng)部件以及可用于極低速微小氣流測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用到高速火車、航空航天、汽車工業(yè)、醫(yī)療設(shè)備、能源測(cè)量以及天然氣管道運(yùn)輸?shù)裙I(yè)領(lǐng)域[1-2].氣體流量傳感器在實(shí)際應(yīng)用之前須對(duì)它的輸出特性進(jìn)行標(biāo)定，得到輸出量電壓或者電流與氣體流量之間的關(guān)系.傳感器輸出特性的標(biāo)定方法主要有如下2種.1）通過理論推導(dǎo)得到傳感器的輸出與氣體流量、溫度、壓強(qiáng)等變量之間的函數(shù)關(guān)系，再通過測(cè)定上述相關(guān)變量確定輸出特性，但是由于不同傳感器內(nèi)部電路結(jié)構(gòu)的不同，函數(shù)關(guān)系需要單獨(dú)推導(dǎo)；2）直接測(cè)量一系列不同氣體流量下傳感器的對(duì)應(yīng)輸出數(shù)據(jù)，對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，因此測(cè)量數(shù)據(jù)的精度與擬合方法的選擇直接關(guān)系最終輸出特性的準(zhǔn)確性[3].

國內(nèi)外許多學(xué)者研究了指數(shù)擬合、多項(xiàng)式擬合等不同數(shù)據(jù)曲線擬合方法對(duì)標(biāo)定傳感器輸出特性的影響.蔡春麗等[4]采用指數(shù)函數(shù)對(duì)測(cè)得的氣體體積流量與傳感器輸出電壓進(jìn)行曲線擬合，擬合曲線光滑，曲線單調(diào)性和延展性與測(cè)量數(shù)據(jù)顯示的趨勢(shì)相符.該方法在大流量區(qū)間具有很小的擬合誤差，但是在微小流量區(qū)間的擬合結(jié)果不太理想，擬合誤差較大.趙偉國等[5]使用六次高階多項(xiàng)式進(jìn)行曲線擬合，改善了文獻(xiàn)[4]中指數(shù)函數(shù)在小流量區(qū)間擬合誤差大的缺點(diǎn)，但是在大流量區(qū)間的擬合誤差較大，尤其是對(duì)原始流量測(cè)量數(shù)據(jù)范圍外的擬合結(jié)果不太理想.Vapnik等[6-9]針對(duì)擬合物理量之間關(guān)系的非線性性，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)學(xué)習(xí)器等基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法引入擬合過程，逐漸形成了一套比較完整的數(shù)據(jù)處理和擬合系統(tǒng)，使得擬合過程更具系統(tǒng)性、科學(xué)性.Vapnik等[6-9]指出這些智能方法的整個(gè)過程過于復(fù)雜化，會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的可靠性降低，不利于實(shí)際應(yīng)用；這些方法數(shù)學(xué)模型的參數(shù)所代表的物理意義不夠明確，典型的例子如支持向量機(jī)方法中的感知器核函數(shù)參數(shù)β.

針對(duì)上述各種擬合方法的不足，本文基于熱式流量傳感器在不同氣體流速范圍內(nèi)熱量傳遞因素之間的差異，提出指數(shù)過渡分段擬合方法.對(duì)各段流量區(qū)間內(nèi)的流量和電壓數(shù)據(jù)進(jìn)行單獨(dú)擬合，通過分段曲線相交得到精確的銜接點(diǎn)，采用指數(shù)函數(shù)修正了銜接點(diǎn)附近的過渡曲線，從而實(shí)現(xiàn)曲線之間的平滑連接.擬合結(jié)果表明，指數(shù)過渡分段擬合方法具有最高的擬合精度，在每段流量區(qū)間內(nèi)的擬合誤差都不高于1.5％，方法簡單、可靠.

1 熱膜式氣體流量傳感器的基本原理

1.1 流量測(cè)量原理

熱式氣體流量傳感器是一種基于氣體熱傳遞原理的傳感器.當(dāng)氣體流過加熱元件時(shí)，會(huì)導(dǎo)致元件表面溫度的變化，該變化量與氣體的流速和溫度有關(guān)[10-13].工作原理如圖1所示.熱傳遞主要有強(qiáng)迫對(duì)流傳熱、自然對(duì)流傳熱、導(dǎo)熱傳熱和輻射傳熱4種方式，熱式氣體流量傳感器氣流與加熱元件之間的熱傳遞以強(qiáng)迫對(duì)流傳熱為主.

圖1中，2個(gè)熱敏電阻RS和RH分別位于惠思頓電橋的兩臂，并置于氣流管道中，分別用于測(cè)量氣體的流速和溫度[1，13-14].

根據(jù)傳熱學(xué)原理可知，提供給加熱元件的電功率與氣流通過強(qiáng)迫對(duì)流換熱帶走的熱量相等，可得

式中：IH為加熱元件的電流，RH為加熱元件電阻，h為表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，AS為加熱元件表面積，TH為加熱元件的表面溫度，Tr為氣流的溫度.式（1）中h AS與氣體流量有關(guān)，可以表示為

式中：K1和K2為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，可以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定；qm為氣流的質(zhì)量流量.將式（2）代入式（1），可得

由式（3）可以得出，當(dāng)Tr一定時(shí)，qm是IH和TH的函數(shù).若保持其中一個(gè)變量固定，則可以得到qm與另一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系.若保持TH一定，則可以根據(jù)測(cè)量IH得到qm.這種測(cè)量方式稱為氣體流量傳感器的恒溫工作方式.

圖1 熱式流量傳感器的原理圖Fig.1 Schematic diagram of gas flow sensor

1.2 測(cè)量電路

氣體流量傳感器采用恒溫方式進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量電路如圖2所示.

圖2 氣體流量傳感器測(cè)量電路Fig.2 Measuring circuit of gas flow sensor

圖2中，溫度測(cè)量鉑電阻RH和流速測(cè)量鉑電阻RS集成在同一個(gè)熱膜探頭上，熱膜探頭的型號(hào)為FS5.該熱膜探頭與精密電阻R1、R2、R3、R4共同構(gòu)成惠思頓電橋兩臂，通過自動(dòng)校正法實(shí)現(xiàn)對(duì)氣流測(cè)量的溫度補(bǔ)償.在不同氣體流速下，測(cè)量電路輸出的對(duì)應(yīng)電壓信號(hào)為U1，U1的輸出范圍為2.7～6.0 V.

2 指數(shù)曲線過渡分段擬合方法

在氣體流量的測(cè)量過程中，氣體流量與傳感器測(cè)量電阻之間的熱量傳遞以強(qiáng)迫對(duì)流傳熱為主，在處理時(shí)通常忽略自然對(duì)流傳熱、導(dǎo)熱傳熱和輻射傳熱的熱傳遞方式對(duì)氣體流量測(cè)量的影響.實(shí)際上，當(dāng)氣體流速較小時(shí)，在這段流量范圍內(nèi)測(cè)量電路輸出電壓受氣體流量變化的影響不很明顯，此時(shí)相對(duì)于強(qiáng)迫對(duì)流傳熱，自然對(duì)流傳熱、導(dǎo)熱傳熱及輻射傳熱不能忽略；當(dāng)氣體流速較大時(shí)，由式（3）可知，此時(shí)輸出電壓受氣體流量的影響較大，其他傳熱方式可以忽略.在不同流量范圍內(nèi)，氣體流量與電壓輸出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系應(yīng)當(dāng)分段單獨(dú)擬合，從而減小最終擬合曲線與實(shí)際特性曲線之間的擬合誤差.

2.1 分段擬合方法的優(yōu)點(diǎn)和存在的問題

分段曲線擬合具有較多的優(yōu)點(diǎn)，尤其在測(cè)得數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)具有較大變化時(shí)，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行合理分段擬合可以明顯地降低擬合誤差.分段擬合的主要優(yōu)點(diǎn)如下.

1）分段擬合可以提高擬合精度.對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分段處理后，各段范圍內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)之間的變化將顯得更平緩一致，有利于減小擬合誤差.

2）分段擬合可以簡化每段曲線的擬合方程.對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分段處理后，每一段的擬合曲線更加趨于線性化，能夠降低曲線擬合的最高次數(shù).

3）分段擬合能夠避免在數(shù)據(jù)過渡區(qū)間的擬合結(jié)果出現(xiàn)明顯錯(cuò)誤.當(dāng)一組測(cè)量數(shù)據(jù)出現(xiàn)如圖3所示的變化趨勢(shì)時(shí)，曲線B段快速上升，若直接對(duì)整段區(qū)間進(jìn)行曲線擬合，則將不可避免地造成擬合曲線在A、B之間的過渡區(qū)間出現(xiàn)低于A的部分.這是由于數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)以及全段擬合函數(shù)不可突變2個(gè)因素所決定的，與擬合曲線函數(shù)的類型（多項(xiàng)式、指數(shù)等）選擇無關(guān).該擬合結(jié)果與傳感器數(shù)據(jù)單調(diào)遞增的變化趨勢(shì)不相符，采用分段擬合可以有效地避免這一缺陷.

分段擬合雖然有著上述的優(yōu)點(diǎn)，但是在分段過程中會(huì)出現(xiàn)一些明顯的問題，其中最主要的是各段擬合曲線在過渡點(diǎn)的銜接問題.

如圖4（a）、（b）所示分別為曲線分段擬合常見的過渡點(diǎn)銜接示意圖.其中點(diǎn)劃線表示在原始測(cè)量數(shù)據(jù)中人為選定的分界點(diǎn)，分界點(diǎn)兩邊的曲線由分段之后的數(shù)據(jù)分別擬合得到，qV-A表示前段曲線在分界點(diǎn)處的擬合值，qV-B表示后段曲線在分界點(diǎn)處的擬合值.

圖4（a）所示的擬合結(jié)果會(huì)造成在某段流量范圍內(nèi)氣體流量值偏大的情況.圖4（b）所示的擬合結(jié)果會(huì)造成氣體流量值在某點(diǎn)發(fā)生突變的情況.

該分界點(diǎn)分段曲線擬合方法在對(duì)精度要求不高的場合中，若分界點(diǎn)處擬合誤差≤ε，即分界點(diǎn)處擬合誤差小于設(shè)定偏差ε，則一般認(rèn)為擬合結(jié)果可以接受；否則，需要確定新的分界點(diǎn)，重新分段擬合.

圖3 數(shù)據(jù)分布變化趨勢(shì)示意圖Fig.3 Distribution of measured data

一般取ε為分界點(diǎn)處氣體流量與傳感器測(cè)量誤差的乘積，表達(dá)式為

圖4 分段擬合常見的銜接示意圖Fig.4 Two normal connection problems of piecewise fitting

式中：qV為分界點(diǎn)處的實(shí)測(cè)值，e為氣流傳感器所允許的誤差.鑒于工程應(yīng)用上要求成品傳感器的測(cè)量誤差小于5％，在要求不高的場合，可以取ε= qV×5％.

分界點(diǎn)分段曲線擬合方法是一種誤差可控的曲線擬合方法，在一定程度上優(yōu)于傳統(tǒng)的多項(xiàng)式擬合，但是在各段曲線銜接處往往存在斷點(diǎn)，擬合曲線不光滑，結(jié)果不能令人十分滿意，需要進(jìn)行修正.

2.2 分段擬合數(shù)學(xué)模型

在分界點(diǎn)分段擬合中，分界點(diǎn)是人為地從原始測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)中選取的一個(gè)最接近曲線變化趨勢(shì)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，卻不一定是真正意義上的轉(zhuǎn)折點(diǎn).嘗試采用一種自然相交分段擬合的方法，找到真正意義上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，并解決分界點(diǎn)分段擬合不平滑的缺陷，實(shí)現(xiàn)分界點(diǎn)分段擬合方法曲線的光滑過渡.

為了實(shí)現(xiàn)擬合曲線的自然相交，自然相交分段擬合方法的基本步驟可以分為如下2步.

2）在x∈[x0，∞）上聯(lián)立式（5）的2個(gè)表達(dá)式求解，得到交點(diǎn)（X，qV）.其中，x0表示氣體流量為0時(shí)測(cè)得的電壓值.這些數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線的位置關(guān)系示意圖如圖5所示.

2.3 指數(shù)曲線過渡方法擬合表達(dá)式

在上述傳統(tǒng)的分段擬合方法基礎(chǔ)上，提出指數(shù)曲線過渡改進(jìn)措施，使得整個(gè)分段擬合方法更加完善，擬合精度也有所提高.

由圖5可知，上述步驟雖然解決了分段擬合不連續(xù)的問題，但在分界點(diǎn)處銜接不夠平滑.為了克服該缺點(diǎn)，基于自然相交分段擬合的擬合結(jié)果對(duì)擬合方法進(jìn)行改進(jìn).當(dāng)x∈[x0，X＇]時(shí)，采用qV1=f1（x）計(jì)算氣流量；當(dāng)x∈[x1，∞）時(shí)，采用qV2=f2（x）計(jì)算氣流量，其中x1指人為分界點(diǎn)后面的一個(gè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的電壓.當(dāng)x∈[X＇，x1）時(shí)，采用過渡曲線來改善銜接點(diǎn)處的連接.為了方便敘述，將曲線qV1= f1（x）在x=X＇處對(duì)應(yīng)的數(shù)值點(diǎn)（X＇，f1（X＇））稱為A點(diǎn)，將曲線qV2=f2（x）在x=x1處對(duì)應(yīng)的數(shù)值點(diǎn)（x1，f2（x1））稱為B點(diǎn).

圖5 數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線的位置關(guān)系示意圖Fig.5 Position relation between data points and fitting curves

自然系統(tǒng)狀態(tài)過渡多以指數(shù)形式進(jìn)行，采用指數(shù)表達(dá)式來描述過渡曲線，則過渡曲線的表達(dá)式為

式中：λ為與x有關(guān)的系數(shù)，當(dāng)x從x=X＇逐漸增加到x=x1時(shí)，λ從0逐漸增加到1.

記指數(shù)項(xiàng)y1=a×ebx，且它滿足以下2個(gè)條件.

1）在x=X＇處的擬合值與A點(diǎn)重合；

2）在x=X＇處的導(dǎo)數(shù)與式qV1=f1（x）在A點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相等，可得

記指數(shù)項(xiàng)y2=c×edx，且它滿足以下2個(gè)條件.

1）在x=x1處的擬合值與B點(diǎn)重合；

2）在x=x1處的導(dǎo)數(shù)與qV2=f2（x）在B點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相等，可得

y1、y2都僅僅是一項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)表達(dá)式，也可以增加指數(shù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)，使y1和y2成為多個(gè)指數(shù)項(xiàng)相加的形式，即

通過令y1在x=X＇處，y2在x=x1處的高階導(dǎo)數(shù)與qV1=f1（x）在A點(diǎn)、qV2=f2（x）在B點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)相等，得到式（9）各項(xiàng)系數(shù)a1，a2，…，ak，b1，b2，…，bk，c1，c2，…，ck，d1，d2，…，dk，即

式中：n的取值依次為0，1，2，…，2k-1.考慮到實(shí)際工程的需要，y1和y2均取一項(xiàng)指數(shù)項(xiàng).整段曲線的擬合表達(dá)式為

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了對(duì)提出的指數(shù)過渡分段擬合方法進(jìn)行擬合精度的檢驗(yàn)，設(shè)計(jì)了一種基于FS5探頭的熱膜式氣體流量傳感器，測(cè)量得到氣體流量與對(duì)應(yīng)的輸出電壓的數(shù)據(jù).對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)分別進(jìn)行多項(xiàng)式擬合、傳統(tǒng)分段擬合和指數(shù)曲線過渡分段擬合方法對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究，給出這3種擬合方法的擬合精度.

如圖6所示為本實(shí)驗(yàn)所采用的標(biāo)定裝置示意圖，主要由風(fēng)源、閥門、標(biāo)準(zhǔn)流量計(jì)、待校流量計(jì)及數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)構(gòu)成.圖中，U為待測(cè)流量計(jì)5的DSP采樣電壓，由圖2的測(cè)量電路輸出電壓U1分壓得到.U和標(biāo)準(zhǔn)流量計(jì)4所測(cè)得的氣流量共同構(gòu)成了原始擬合數(shù)據(jù).

實(shí)驗(yàn)過程如下：打開鼓風(fēng)機(jī)1和截止閥2；旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)閥3，調(diào)節(jié)管道的氣流量，使氣體以一定的流量流動(dòng)；待標(biāo)準(zhǔn)流量計(jì)4所測(cè)氣流量、待校流量計(jì)5所采樣的電壓穩(wěn)定后，記錄上述數(shù)據(jù).

圖6 標(biāo)定裝置框圖Fig.6 Diagram of calibration device

測(cè)得的一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)如下：

x=[0.705，0.801，0.898，0.997，1.089，1.188，1.274，1.336，1.396，1.454，1.506，1.560，1.614，1.629]，qV=[0，0.32，0.93，1.92，3.7，9.2，14.2，20.2，26.7，33.7，39.5，44.6，49.4，53.9].

其中，x為傳感器的輸出電壓.如圖7所示為上述實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的二維描點(diǎn).

圖7 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)二維描點(diǎn)Fig.7 Measured data in rectangular coordinate

由圖7可得，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的走勢(shì)大致可以分為2部分，分界點(diǎn)x=1.089.前面部分為低流量段，包含前面5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，即x=[0.705，0.801，0.898，0.997，1.089]；后面部分為高流量段，包括后面10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，即x=[1.089，1.188，1.274，1.336，1.396，1.454，1.506，1.560，1.614，1.629].

3.1 多項(xiàng)式擬合曲線及分析

對(duì)以上數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到二次、三次以及四次擬合曲線，如圖8～10所示.

由圖8～10的多項(xiàng)式擬合曲線可知，二次和三次多項(xiàng)式的擬合結(jié)果相對(duì)精確，當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)達(dá)到四次時(shí)，擬合曲線在x∈（1.629，∞）區(qū)間的延展性和預(yù)測(cè)性變差.此外，二次多項(xiàng)式擬合在氣體流量很低時(shí)，出現(xiàn)了曲線遞減的情況，造成部分氣體流量擬合結(jié)果小于0的缺陷，如圖8的局部放大圖.這一問題在三次多項(xiàng)式擬合中也存在.

圖8 二次多項(xiàng)式擬合曲線Fig.8 Fitting curve of quadratic polynomial

圖9 三次多項(xiàng)式擬合曲線Fig.9 Fitting curve of cubic polynomial

圖10 四次多項(xiàng)式擬合曲線Fig.10 Fitting curve of quartic polynomial

3.2 分段擬合曲線及分析

對(duì)測(cè)量的數(shù)據(jù)不作任何處理，直接進(jìn)行分界點(diǎn)分段曲線擬合，可有如下4種擬合方式.1）將“分界點(diǎn)”僅作為第一段擬合曲線的擬合點(diǎn)；2）將“分界點(diǎn)”同時(shí)作為兩段擬合曲線的擬合點(diǎn)；3）將“分界點(diǎn)”不作為任何擬合曲線的擬合點(diǎn)；4）將“分界點(diǎn)”僅作為第二段擬合曲線的擬合點(diǎn).采用前3種分段擬合方式具有相似的擬合結(jié)果，可以用圖11表示.

由圖11可知，分界點(diǎn)分段曲線擬合的前3種擬合方式都存在在銜接點(diǎn)處不連續(xù)的問題，與圖4（a）的情況相同，擬合結(jié)果不夠理想.

如圖12所示為采用分界點(diǎn)分段擬合第4種擬合方式所得到的分段擬合結(jié)果.可見，擬合方式4）的結(jié)果相對(duì)精確，雖然銜接點(diǎn)處存在不連續(xù)的問題，但在銜接點(diǎn)處沒有明顯的偏差.

圖11 擬合方式1）～3）的分段擬合曲線Fig.11 Piecewise fitting curve of model1）-3）

圖12 擬合方式4）的分段擬合曲線Fig.12 Piecewise fitting curve of model 4）

經(jīng)實(shí)際計(jì)算得到第一段曲線在“分界點(diǎn)”x=1.089處所對(duì)應(yīng)的氣流量qV-A為3.125 6L/s，第二段曲線在“分界點(diǎn)”x=1.089處所對(duì)應(yīng)的氣流量qV-B為3.1024L/s，兩者差為0.0232L/s.前者略大于后者，但考慮到氣流傳感器所允許的誤差ε=3.2×5％=0.185＞0.0232，可以認(rèn)為在誤差的允許范圍之內(nèi).

3.3 指數(shù)過渡分段擬合曲線及分析

對(duì)測(cè)量的數(shù)據(jù)不作任何處理，采用上述的自然相交分段曲線法進(jìn)行分段曲線擬合.對(duì)前部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)x=[0.705，0.801，0.898，0.997，1.089]、qV= [0，0.32，0.93，1.92，3.7]進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，可得

對(duì)后部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)x=[1.089，1.188，1.274，1.336，1.396，1.454，1.506，1.560，1.614，1.629]，qV=[3.7，9.2，14.2，20.2，26.7，33.7，39.5，44.6，49.4，53.9]進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，可得

聯(lián)立式（12）、（13），求得2條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1.103 64，3.916 87），即當(dāng)x∈[0.705，1.103 64] 時(shí)，采用式（12）計(jì)算氣流量；當(dāng)x∈（1.103 64，∞）時(shí)，采用式（13）計(jì)算氣流量，因此，最終的擬合曲線表達(dá)式為

如圖13所示為由式（14）所得的分段擬合曲線.由圖13可知，兩段擬合曲線在銜接處不夠平滑.利用提出的指數(shù)過渡曲線方法可以對(duì)銜接處進(jìn)行修正，由式（8）、（9）求得指數(shù)項(xiàng)表達(dá)式如下：

圖13 無過渡曲線分段擬合曲線Fig.13 Piecewise fitting curve without transition curve

在式（11）表示的過渡曲線表達(dá)式中，λ為與x有關(guān)的系數(shù)，當(dāng)x從x=X＇逐漸增加到x=x1時(shí)，λ 從0逐漸增加到1.

取λ的表達(dá)式為

將式（15）、（16）代入式（6），可得實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的過渡曲線表達(dá)式：

綜合式（14）、（16），可以得到整條實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合曲線表達(dá)式為

如圖14所示為使用上述自然相交分段擬合方法，并經(jīng)指數(shù)過渡曲線修正的擬合曲線.可以看出，在修正后的自然相交分段擬合結(jié)果中，各段曲線之間光滑銜接.

為了比較上述3種擬合方法的擬合結(jié)果，圖15給出對(duì)同一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)采用不同方式的擬合結(jié)果.可知，在曲線變化趨勢(shì)及擬合精度等方面，指數(shù)過渡分段擬合優(yōu)于傳統(tǒng)多項(xiàng)式擬合.

圖14 指數(shù)過渡曲線修正分段擬合曲線Fig.14 Piecewise fitting curve with exponentialcurve-transition

圖15 3種方法的擬合曲線比較Fig.15 Fitting curves of three fitting methods

如表1所示為采用上述3種擬合方式所對(duì)應(yīng)的擬合值及擬合誤差.表1的結(jié)果顯示，除了序號(hào)為8 和14的2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)外，分段擬合法的另外12個(gè)點(diǎn)分段擬合曲線的誤差均小于傳統(tǒng)的二次多項(xiàng)式擬合曲線的誤差.計(jì)算3種擬合法的擬合方差，結(jié)果依次為：17.139 53、10.178178、9.862219.指數(shù)過渡分段擬合曲線的擬合精度最高，二次多項(xiàng)式曲線的擬合精度最低.

4 結(jié) 論

（1）多項(xiàng)式擬合在低流量范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)單調(diào)遞減的情況，造成擬合值對(duì)應(yīng)的氣體流量小于0.若增加多項(xiàng)式階數(shù)，則會(huì)造成整條擬合曲線的延展性差，對(duì)原始數(shù)據(jù)范圍外的預(yù)測(cè)值可信度降低.

（2）分段擬合往往難以達(dá)到“完美銜接”，在銜接點(diǎn)處常會(huì)出現(xiàn)較大的偏差，但在工程應(yīng)用中，只要2段曲線在銜接點(diǎn)處的差值小于設(shè)定偏差，就可以滿足精度要求.

（3）分段擬合具有較高的擬合精度，但會(huì)出現(xiàn)銜接點(diǎn)附近不光滑的情況，可以通過指數(shù)過渡曲線的修正來實(shí)現(xiàn)光滑處理.

表1 3種擬合方法的結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of results of three fitting methodp L·s-1

（4）本文提出的分段擬合方法可以看作是一種介于無數(shù)據(jù)分析與處理的初步擬合方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)學(xué)習(xí)器方法這一類系統(tǒng)擬合方法之間的過渡方法，它結(jié)合了兩者的優(yōu)點(diǎn).

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Curve piecewise fitting method with exponential-curve-transition of hot-film gas flow sensors

PENG Dan，YANG Lei，YANG Jia-qiang

（College of Electrical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

A simple and new piecewise fitting method was proposed based on polynomial fitting and piecewise fitting methods in order to improve fitting accuracy of the output curve of a hot-film gas flow sensor which is applied to air duct of a high speed train to monitor the motion state of the high speed train.An exponential curve was used as the transition interval between the dividing parts.A dividing point was artificially chosen from the raw data，which means that the raw data was divided into two parts and two fitting curves were subsequently obtained.An intersection point was got with the two fitting curves.The transition area was formed between the two points of the raw data prior to and next to the intersection point.After the processing steps mentioned above，the transition area was corrected with an exponential curve so that a problem of unsmooth connection was solved.Fitting results of polynomial fitting，piecewise fitting based on dividing point and the proposed fitting were given and compared in order to verify the proposed curve fitting method.Results show that the proposed fitting method has the highest accuracy and its curve fitting errors are within1.5％for all intervals.

gas flow sensor；curve fitting；polynomial；subsection；natural-intersection；exponentialcurve-transition

TP212

A

1008-973X（2015）10-1990-09

2014-11-12.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版）網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn/eng

彭丹（1985—），男，碩士，從事飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)控制、智能傳感器的研究.ORCID：0000-0001-6502-1345.

E-mail：pengdan-85@163.com

楊家強(qiáng)，男，副教授.ORCID：0000-0002-3822-3301.E-mail：yjq1998@163.com