懸索橋有限元計(jì)算的三節(jié)點(diǎn)空間鞍座單元

齊東春， 沈銳利， 劉章軍， 談云志

（1.三峽大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖北宜昌443002；2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都610031）

懸索橋有限元計(jì)算的三節(jié)點(diǎn)空間鞍座單元

齊東春1，2， 沈銳利2， 劉章軍1， 談云志1

（1.三峽大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖北宜昌443002；2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都610031）

為了進(jìn)行空間纜索懸索橋主纜與塔頂鞍座間接觸非線性的計(jì)算，開發(fā)了包括塔頂鞍座及兩側(cè)主纜在內(nèi)的三節(jié)點(diǎn)空間鞍座單元.基于空間懸鏈線理論及主纜與鞍座的幾何關(guān)系，對單元進(jìn)行狀態(tài)求解，得到主纜與鞍座的切點(diǎn)位置及切點(diǎn)索力，根據(jù)靜力平衡條件計(jì)算單元精確的節(jié)點(diǎn)力；由增量代替微分，根據(jù)切線剛度矩陣的定義計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚨脑?空間鞍座單元自動(dòng)滿足主纜與鞍座相切，通過修改一個(gè)參數(shù)可實(shí)現(xiàn)鞍座頂推的計(jì)算.計(jì)算表明：計(jì)算結(jié)果與數(shù)值解析解結(jié)果完全相同，收斂速度較快，在每次狀態(tài)求解時(shí)，迭代次數(shù)在12次以內(nèi).

懸索橋；空間鞍座單元；有限元法；接觸非線性；切線剛度矩陣

主纜與鞍座的接觸非線性問題一直是懸索橋計(jì)算的難題［1］.為解決這一問題，國內(nèi)外學(xué)者采用解析法和有限元法兩種不同方法對平面纜索體系懸索橋的主纜與鞍座接觸非線性問題進(jìn)行了探討.文獻(xiàn)［2-3］采用解析法，根據(jù)主纜與塔頂鞍座的幾何關(guān)系和靜力平衡條件建立了多元非線性方程組，求解方程組獲得主纜與鞍座在成橋狀態(tài)下的切點(diǎn)位置.由于解析法在成橋狀態(tài)和空纜狀態(tài)等特殊工況的應(yīng)用尚可，用于一般施工工況則顯得十分不方便.為了建立更為通用的計(jì)算方法，文獻(xiàn)［4］提出采用一種兩節(jié)點(diǎn)新單元——鞍座-索單元來模擬主纜與鞍座的約束關(guān)系，推導(dǎo)的切線剛度矩陣是精確的，計(jì)算效率較高，但其主要缺點(diǎn)在于切線剛度矩陣推導(dǎo)過于繁瑣，對于具有平彎和豎彎的空間鞍座，由于與鞍座相接觸主纜段的無應(yīng)力長度的計(jì)算很復(fù)雜，整個(gè)單元的力狀態(tài)量和位移狀態(tài)量間的狀態(tài)方程的顯式表達(dá)式可能很難獲得，使得應(yīng)用受到限制.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［5］中采用簡便的方法建立了一種包含塔頂鞍座與兩側(cè)主纜在內(nèi)的3節(jié)點(diǎn)7自由度組合單元，命名為“平面鞍座單元”，避免了冗長的切線剛度矩陣的推導(dǎo)，該方法通用性強(qiáng)，計(jì)算精度高，計(jì)算效率也較好，并可較方便地推廣到空間鞍座.以上文獻(xiàn)都是針對平面鞍座開展的研究，對空間鞍座與兩側(cè)主纜的接觸非線性問題的研究則較少.

1 空間鞍座單元的分析

目前塔頂空間鞍座根據(jù)邊、中跨主纜的線形一般設(shè)計(jì)為兩種類型：

（1）當(dāng)邊、中跨主纜均為空間三維曲線，此時(shí)，鞍座鞍槽曲線在一個(gè)斜平面內(nèi)，相當(dāng)于平面鞍座繞橋軸線旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度［6］，如廣州獵德橋的塔頂鞍座，稱這種鞍座型式為斜平面圓曲線鞍座；

（2）當(dāng)中跨主纜為空間曲線，邊跨主纜仍為平面曲線，此時(shí)，主纜由平面曲線過渡到空間曲線，鞍槽曲線也相應(yīng)為空間三維曲線，如杭州江東大橋的塔頂鞍座，稱這種鞍座型式為空間曲線鞍座.

為了滿足空間纜索懸索橋有限元計(jì)算的需要，本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，建立了“空間鞍座單元”，與平面鞍座單元相比，空間鞍座單元的建立要復(fù)雜得多，主要體現(xiàn)在：

（1）單元自由度由7自由度增加到12自由度，相應(yīng)的切線剛度矩陣及單元內(nèi)力計(jì)算更為復(fù)雜；

（2）空間鞍座鞍槽曲線為具有豎彎和平彎的空間三維曲線，主纜與鞍座脫離點(diǎn)的計(jì)算更為復(fù)雜；

（3）空間鞍座單元繞塔頂中心存在三向轉(zhuǎn)動(dòng)，鞍座的最終位置與轉(zhuǎn)動(dòng)次序相關(guān).

下面以空間曲線鞍座為例來說明空間鞍座單元的建立方法.

1.1 空間鞍座單元的解析模型

如圖1所示，空間鞍座單元包含了空間鞍座及兩側(cè)的空間主纜，是一個(gè)3節(jié)點(diǎn)12自由度的組合單元，單元的節(jié)點(diǎn)1（I點(diǎn)）取在左側(cè)切點(diǎn)TPL到邊跨側(cè)靠近橋塔的第一個(gè)索夾之間的主纜上的任意一點(diǎn)，應(yīng)確保該點(diǎn)不在鞍座上，該節(jié)點(diǎn)具有3個(gè)平動(dòng)自由度.節(jié)點(diǎn)2取在塔頂中心，除了具有3個(gè)平動(dòng)自由度外，還具有3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θX、θY、θZ（分別對應(yīng)繞總體坐標(biāo)系X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)），表征了塔頂截面的偏轉(zhuǎn)引起的鞍座繞整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng).節(jié)點(diǎn)3（J點(diǎn)）的選取與節(jié)點(diǎn)1類同.鞍座的頂點(diǎn)D取成橋狀態(tài)下過理論IP點(diǎn)的橫橋向豎直面與主纜中心的交點(diǎn)，該點(diǎn)即是主纜與鞍座的永不脫離點(diǎn)，也是兩側(cè)主纜的分界點(diǎn).連接節(jié)點(diǎn)2和頂點(diǎn)D用兩根相互垂直的剛性桿AD、AK，鞍座的頂推可通過改變剛性拉桿AK的長度來實(shí)現(xiàn).

需要指出的，兩側(cè)主纜與鞍座的切點(diǎn)TPL、TPR的位置相對鞍座是不斷變化的，需要根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)通過迭代計(jì)算得到，鞍座單元隱含了切點(diǎn)位置的確定，這是鞍座單元與普通單元的重要區(qū)別.

圖1 空間鞍座單元模型Fig.1 Schematic diagram of space saddle element model

1.2 單元的已知條件

（1）3節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)（Xi，Yi，Zi），i＝1，2，3，節(jié)點(diǎn)2繞整體坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角θX，θY，θZ；

（2）節(jié)點(diǎn)1至鞍座頂點(diǎn)D間主纜無應(yīng)力長度為S0L，節(jié)點(diǎn)3至鞍座頂點(diǎn)D間主纜無應(yīng)力長度為S0R，S0L和S0R可根據(jù)文獻(xiàn)［7］提出的成橋狀態(tài)下的解析法計(jì)算得到；

（3）主纜的彈性模量E，左側(cè)主纜面積AL、自重荷載集度qL，右側(cè)主纜面積AR、自重荷載集度qR；

（4）在鞍座單元坐標(biāo)系中，鞍座頂點(diǎn)坐標(biāo)（xD，yD，zD）、平彎圓心坐標(biāo)（xCH，zCH）及平彎半徑RH、豎彎圓心坐標(biāo)（xCV，yCV）及豎彎半徑RV.剛性壓桿AD的長度LC，剛性拉桿AK的長度LT.

1.3 單元的計(jì)算假定

（1）主纜為小應(yīng)變理想柔性索，懸空段主纜（與鞍座分離的主纜段）的線形為懸鏈線［8-10］；

（2）鞍座為剛體，與鞍座相接觸的主纜不發(fā)生徑向變形.鞍座頂點(diǎn)D是兩側(cè)主纜的分界點(diǎn)，主纜在該點(diǎn)不會(huì)發(fā)生相對鞍座的滑動(dòng)；

（3）在計(jì)算切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，假定主纜與鞍座在單元坐標(biāo)系xoy投影面內(nèi)相切，因鞍座構(gòu)造所限而不保證兩者在xoz面也相切；

（4）切點(diǎn)到鞍座頂點(diǎn)D間主纜段的索力分布簡化如下：左側(cè)主纜接觸段（與鞍座相接觸的主纜）索力的水平分力等于左切點(diǎn)TPL處的水平分力，右側(cè)主纜接觸段的水平分力等于右切點(diǎn)TPR處的水平分力.

2 空間鞍座單元的求解

空間鞍座單元計(jì)算的總體思路如下：

（1）根據(jù)主纜與鞍座的幾何關(guān)系及兩節(jié)點(diǎn)間主纜無應(yīng)力長度保持不變，對單元進(jìn)行當(dāng)前狀態(tài)的求解，確定主纜與鞍座的切點(diǎn)坐標(biāo)和切點(diǎn)索力；

（2）由靜力平衡條件及幾何關(guān)系，計(jì)算單元各自由度對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力；

（3）根據(jù)切線剛度矩陣的定義，逐一改變各自由度對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移，計(jì)算節(jié)點(diǎn)力增量，從而確定單元的切線剛度矩陣.

2.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣

單元坐標(biāo)系固定在鞍座上，鞍座各特征點(diǎn)在單元坐標(biāo)系下的坐標(biāo)保持不變，鞍座與主纜接觸段長度、切點(diǎn)坐標(biāo)及切點(diǎn)分力宜在單元坐標(biāo)系下求得，然后轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中.在施工過程中，塔頂截面發(fā)生繞整體坐標(biāo)系X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)角位移θX、θY、θZ，相應(yīng)的單元坐標(biāo)系繞整體坐標(biāo)系發(fā)生相同的轉(zhuǎn)角位移.單元坐標(biāo)系的最終位置和轉(zhuǎn)動(dòng)次序是相關(guān)的，嚴(yán)格意義上的大轉(zhuǎn)動(dòng)問題計(jì)算比較復(fù)雜［11-12］.事實(shí)上，在施工階段及正常使用階段懸索橋的塔頂截面的轉(zhuǎn)角位移是很小的，可以假定塔頂截面的轉(zhuǎn)角位移θX、θY、θZ是微小量，這樣可以忽略轉(zhuǎn)動(dòng)次序的影響，同時(shí)總轉(zhuǎn)角位移可用增量轉(zhuǎn)角直接疊加計(jì)算.假定單元坐標(biāo)系繞整體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)順序是繞Y→Z→X依次旋轉(zhuǎn)θY→θZ→θX角度，則可推導(dǎo)出整體坐標(biāo)系和單元坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，利用該矩陣可方便進(jìn)行兩坐標(biāo)系間各物理量的轉(zhuǎn)換.

2.2 單元的狀態(tài)求解

空間鞍座單元的狀態(tài)求解就是以兩側(cè)主纜的無應(yīng)力長度不變?yōu)闂l件，根據(jù)主纜與空間鞍座的約束關(guān)系來確定當(dāng)前狀態(tài)的切點(diǎn)位置，當(dāng)切點(diǎn)位置確定后，單元的各計(jì)算參數(shù)才完全確定.在單元坐標(biāo)系中，鞍槽內(nèi)主纜在坐標(biāo)面xoy上的投影為一段豎彎圓弧線，在xoz面的投影為平彎圓弧段＋直線段，如圖2所示.

圖2 空間鞍座鞍槽內(nèi)主纜的線形描述Fig.2 Alignment description of main cables in space saddle groove

其曲線方程可表述為

現(xiàn)以右側(cè)主纜與鞍座的豎彎切點(diǎn)為例說明計(jì)算方法.

（1）根據(jù)節(jié)點(diǎn)2（即單元坐標(biāo)系的原點(diǎn)）的轉(zhuǎn)角位移θX，θY，θZ，可得到單元坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣及矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系；

（2）設(shè)切點(diǎn)處索力在整體坐標(biāo)系的三向分力為FTXR、FTYR、FTZR，由矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系得到切點(diǎn)索力在單元坐標(biāo)系中的三向分力fTxR、fTyR、fTzR，由此可計(jì)算出切點(diǎn)在單元坐標(biāo)系中的縱向坐標(biāo)xTR，代入式（1）可計(jì)算出切點(diǎn)的豎向及橫向坐標(biāo)yTR、zTR；

（3）根據(jù)接觸段主纜的索力分布模式及主纜曲線方程，利用數(shù)值積分可計(jì)算出鞍座頂點(diǎn)D（xD，yD，zD）到右切點(diǎn)（xTR，yTR，zTR）間主纜的無應(yīng)力長度S0cR，進(jìn)而得到懸空段主纜的無應(yīng)力長度S0hR；

（4）進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到切點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（XTR，YTR，zTR），對懸空段主纜，將切點(diǎn)坐標(biāo)、切點(diǎn)處索力及無應(yīng)力長度代入索段狀態(tài)方程中，可計(jì)算另一端點(diǎn)（即節(jié)點(diǎn)3）的坐標(biāo)（X3，Y3，Z3）.

通過上述方法建立起了迭代變量FTXR、FTYR、FTZR與目標(biāo)變量X3、Y3、Z3間的數(shù)學(xué)關(guān)系，可采用修正的影響矩陣法［7］進(jìn)行求解，從而確定切點(diǎn)坐標(biāo)及切點(diǎn)索力.

2.3 單元的切線剛度矩陣

在計(jì)算單元切線剛度矩陣的第i列元素時(shí)，令第i個(gè)自由度的位移發(fā)生微小增量，此時(shí)切點(diǎn)的位置也相應(yīng)發(fā)生變化，需根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)重新計(jì)算切點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算節(jié)點(diǎn)力增量，從而得到剛度矩陣的第i列元素.這樣確定的單元切線剛度矩陣需通過迭代計(jì)算獲得，是精確的，但難以得到顯式的剛度矩陣.空間鞍座單元的切線剛度矩陣計(jì)算流程圖如圖3所示.

如果在計(jì)算剛度矩陣時(shí)不考慮切點(diǎn)位置的變化，可得到切線剛度矩陣的顯式表達(dá)式.其詳細(xì)推導(dǎo)方法可參考文獻(xiàn)［5，13］.雖然按該方法得到的切線剛度矩陣的顯式表達(dá)式由于沒有考慮切點(diǎn)位置的變化存在一定的誤差，但在非線性有限元計(jì)算中，只有不平衡力計(jì)算精度影響計(jì)算結(jié)果的精度，切線剛度矩陣只影響收斂速度和收斂性［14-15］，因此，本文創(chuàng)建的鞍座單元在切線剛度矩陣的推導(dǎo)上不必追求嚴(yán)格意義上的精確.

圖3 空間鞍座單元切線剛度矩陣計(jì)算流程圖Fig.3 Calculation flow chart of tangent stiffness matrix ofthe space saddle element

2.4 單元的節(jié)點(diǎn)力推導(dǎo)

當(dāng)左、右側(cè)切點(diǎn)位置確定后，根據(jù)主纜及鞍座幾何關(guān)系及靜力平衡條件，即可計(jì)算出各節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算圖示如圖4所示.

圖4 空間鞍座單元節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算Fig.4 Calculation schema of nodal forces of the space saddle element

由式（2）計(jì)算得到整體坐標(biāo)系中的節(jié)點(diǎn)力為

由于切點(diǎn)坐標(biāo)及切點(diǎn)索力計(jì)算采用解析法，故由此計(jì)算的節(jié)點(diǎn)力是精確值.另外，單元的節(jié)點(diǎn)力是在總體坐標(biāo)系下推導(dǎo)，無需進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.

3 空間鞍座單元的驗(yàn)證

基于上述理論，采用VC＋＋編制了空間鞍座單元計(jì)算模塊.由于空間鞍座單元是本文首次開發(fā)的，難以用其他方法和有限元軟件進(jìn)行模擬和驗(yàn)證，為驗(yàn)證其正確性，采用作者自編的解析法程序SPCC［7］加以驗(yàn)證.以江東大橋?yàn)槔?，為簡化?jì)算取對稱結(jié)構(gòu)，如圖5所示，計(jì)算其空纜狀態(tài)和成橋狀態(tài)，比較兩種狀態(tài)下SPCC程序和空間鞍座單元有限元程序的計(jì)算結(jié)果.表1為SPCC程序和空間鞍座單元有限元程序兩種計(jì)算方法求得的切點(diǎn)坐標(biāo)及切點(diǎn)索力.表2為邊跨跨中、中跨1／4及中跨跨中點(diǎn)的坐標(biāo)值.

由表1、2可以看出：兩種計(jì)算方法無論是線形還是主纜索力幾乎沒有差異，說明數(shù)值解析解和有限元解是完全相同的.計(jì)算表明，本文開發(fā)的空間鞍座單元計(jì)算精度高，收斂速度較快，在每次狀態(tài)求解時(shí)，迭代次數(shù)一般在12次以內(nèi).該單元適用于空間纜索懸索橋的計(jì)算，提高了懸索橋的計(jì)算精度，減少了計(jì)算工作量，具有較好的實(shí)用性.

圖5 計(jì)算模型Fig.5 Calculation model

表1 主纜與鞍座的切點(diǎn)坐標(biāo)及切點(diǎn)索力的比較Tab.1 Comparison of coordinate and cable force of tangent point between main cable and saddle

表2 主纜節(jié)點(diǎn)位移的比較Tab.2 Displacement comparison of main cable nodesm

4 結(jié)束語

空間鞍座單元是在平面鞍座單元的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，用以解決空間鞍座與兩側(cè)主纜的接觸非線性計(jì)算.針對斜平面圓曲線鞍座和空間曲線鞍座兩種不同類型的鞍座，建立了空間鞍座單元的求解方法.在單元內(nèi)部首先通過數(shù)值解析法迭代出主纜與鞍座的切點(diǎn)坐標(biāo)，確定單元的當(dāng)前狀態(tài)，然后根據(jù)鞍座與主纜的幾何約束關(guān)系及靜力平衡條件，推導(dǎo)當(dāng)前狀態(tài)精確的單元節(jié)點(diǎn)力.采用工程中常用的以增量代替微分的方法計(jì)算切線剛度矩陣，根據(jù)切線剛度矩陣的定義計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚨脑?計(jì)算表明，該單元能準(zhǔn)確計(jì)算主纜與鞍座的切點(diǎn)坐標(biāo)和切點(diǎn)索力，計(jì)算精度高，收斂速度較快，能像常規(guī)單元用于空間纜索懸索橋的有限元計(jì)算中，通過修改一個(gè)參數(shù)即可方便實(shí)現(xiàn)鞍座頂推的計(jì)算.該單元的引入使計(jì)算模型更加接近實(shí)際結(jié)構(gòu)，提高了空間纜索懸索橋的計(jì)算精度.

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（中文編輯：秦 瑜 英文編輯：蘭俊思）

3-Node Sptial Saddle Element for Finite Element Calculation of Suspension Bridge

QI Dongchun1，2， SHEN Ruili2， LIU Zhangjun1， TAN Yunzhi1
（1.College of Civil Engineering＆Architecture，China Three Gorges University，Yichang 443002，China；2.School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

In order to solve the computational problem of nonlinear contact between main cable and saddle on tower top，a new 3-node spatial saddle element，including the saddle on tower top and both sides of the main cable，was produced.Based on the spatial catenary theory and the geometric relationship between main cable and saddle，the location of the tangent points and the cable force at the tangent points were obtained by solving the element state determination problem with known conditions.The accurate nodal force of the element was derived according to the static equilibrium.The elements of the tangent stiffness matrix were calculated based on its definition by replacing the differential with the increment.The new element could automatically satisfy the condition that the main cable is always tangent to the saddle，and thus the saddle jacking could be conveniently realized by modifying a parameter.Calculation shows that the new element has high calculation accuracy and convergence rate.The calculation results are the same with the numerical analytical solutions.The number of iterations is generally less than 12 in each element state solution.

suspension bridge；space saddle element；finite element method；contact nonlinearity；tangent stiffness matrix

U448.25

A

0258-2724（2014）06-0942-06

10.3969／j.issn.0258-2724.2014.06.002

2014-03-18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51178396）；湖北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014CFB331）

齊東春（1978－），男，博士，研究方向?yàn)榇罂缍葮蛄航Y(jié)構(gòu)非線性理論及精細(xì)化分析，E-mail：qidongchun＠163.com

齊東春，沈銳利，劉章軍，等.懸索橋有限元計(jì)算的三節(jié)點(diǎn)空間鞍座單元［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，49（6）：942-947.