基于C語言的圖像壓縮算法

康高銘

摘要：該文借鑒靜態(tài)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG的理論研究成果，將其與DCT快速變換相結(jié)合，采用霍夫曼編碼方法，用C語言編程實(shí)現(xiàn)灰度圖像的壓縮。最后，計(jì)算了基于DCT快速變換的圖像壓縮算法的壓縮比。同時(shí)，分析了DCT快速變換后的數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該算法用于圖像壓縮的合理性。

關(guān)鍵詞：DCT快速變換；霍夫曼編碼；圖像壓縮

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2014）34-8264-02

隨著多媒體技術(shù)的發(fā)展，人們獲取信息由傳統(tǒng)方式的模擬圖像向數(shù)字圖像轉(zhuǎn)變。圖像以數(shù)字形式便于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、處理和傳輸，具有質(zhì)量好、成本低和可靠性高等特點(diǎn)。但是數(shù)字圖像的數(shù)據(jù)量非常巨大，這對(duì)硬盤等存儲(chǔ)設(shè)備提出了較高地要求，也對(duì)現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)的傳輸帶寬提出了非常高地需求。圖像壓縮是在滿足一定保真度的前提下，對(duì)原始較大的數(shù)字圖像進(jìn)行變換、編碼，去除冗余數(shù)據(jù)，從而使用較少的數(shù)據(jù)表示和傳輸，達(dá)到節(jié)省傳輸帶寬或節(jié)省所需存儲(chǔ)容量的目的。因此，圖像壓縮技術(shù)在多媒體領(lǐng)域得到廣泛地應(yīng)用。

1 二維DCT快速變換

通常對(duì)于一幅圖像的處理是將圖像分成一個(gè)一個(gè)的小塊，然后再將每一個(gè)小塊進(jìn)行正交變換，從而為某一種信息處理做準(zhǔn)備。該文將圖像進(jìn)行8×8分塊，則其DCT變換公式為：

由于余弦函數(shù)具有周期性，因此系數(shù)矩陣A中的每個(gè)元素取值除了[12]外，范圍均在[cosnπ16，n=1，…，15]，共16種情況。同理可知，AT中的每個(gè)元素取值范圍與A相同，也為16種情況。而由公式（2） 求得的系數(shù)取值情況即為：[16×16=256]種。定義一個(gè)數(shù)組存儲(chǔ)這256個(gè)系數(shù)，可減少DCT算法中乘法的次數(shù)為：[（64+8）×64=4608]次，大大簡(jiǎn)化計(jì)算，易于硬件實(shí)現(xiàn)。

2 霍夫曼編碼的實(shí)現(xiàn)

首先要計(jì)算各符號(hào)出現(xiàn)的概率。這樣就需要有一個(gè)掃描的過程。首先建立一個(gè)長(zhǎng)為[256×256]的數(shù)組，并對(duì)文件中從開始到結(jié)束每個(gè)字符的出現(xiàn)次數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)讀到結(jié)束標(biāo)志時(shí)，完成計(jì)數(shù)。

計(jì)數(shù)開始時(shí)文件的輸入指針位置得到保存，并在完成時(shí)再恢復(fù)。經(jīng)過這個(gè)步驟，得到了輸入數(shù)據(jù)中每個(gè)符號(hào)出現(xiàn)的概率，即葉結(jié)點(diǎn)的權(quán)值。

調(diào)整完各符號(hào)的概率后，接下來建立霍夫曼（Huffman）樹。在建立樹的過程中，需要在一個(gè)循環(huán)中將兩個(gè)權(quán)值最低的自由結(jié)點(diǎn)連同這兩結(jié)點(diǎn)的權(quán)值之和組合成一個(gè)新的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。在實(shí)際實(shí)現(xiàn)過程中，首先搜索權(quán)值最低的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，把它們的權(quán)相加，得到的和作為新結(jié)點(diǎn)的權(quán)值，然后在剩下的結(jié)點(diǎn)和新生成的結(jié)點(diǎn)中進(jìn)行搜索，合并權(quán)值最小的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，依次類推，一旦只剩下一個(gè)自由結(jié)點(diǎn)，Huffman樹就完成了，而這個(gè)自由結(jié)點(diǎn)就是Huffman的樹根。

壓縮一個(gè)文件，從根本上講，是想順著樹從上向下工作，然后在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處輸出一個(gè)0位或1位，直至達(dá)到適當(dāng)?shù)娜~結(jié)點(diǎn)為止。但是，樹的結(jié)構(gòu)不允許這么做。當(dāng)從樹根開始時(shí)，無法確定是從0樹枝還是1樹枝抵達(dá)某一特殊的符號(hào)。解決這個(gè)問題的方法之一是在建立樹時(shí)在結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)中增加一個(gè)父成員。當(dāng)組合兩個(gè)最小的結(jié)點(diǎn)形成一個(gè)新的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，每個(gè)最小的結(jié)點(diǎn)都讓其父結(jié)構(gòu)設(shè)置成指向新的結(jié)點(diǎn)通過這個(gè)新結(jié)點(diǎn)，可以從葉結(jié)點(diǎn)開始，順著樹向上延伸，直到樹根。當(dāng)對(duì)一個(gè)文件進(jìn)行壓縮時(shí)，只需要通過遞歸地遍歷整個(gè)樹一次就可能建立一個(gè)代碼表，而不必試著用樹來對(duì)符號(hào)進(jìn)行編碼。這樣便建立了一個(gè)代碼表，其中包含每個(gè)符號(hào)的代碼和每個(gè)代碼的長(zhǎng)度。一旦這張表建立起來，便可通過簡(jiǎn)單地輸入輸出文件中每個(gè)字符的適當(dāng)代碼來對(duì)這個(gè)文件編碼。

3 仿真驗(yàn)證

采用C語言編程，該文對(duì)三幅灰度圖像進(jìn)行了基于DCT快速變換的壓縮，樣品圖像及其解壓后的圖像分別如圖1～3所示。

三幅圖像的具體數(shù)據(jù)分析如表1～2所示，給出了三幅圖像的壓縮比和峰值信噪比。

4 結(jié)論

本文借鑒靜態(tài)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG的研究成果，使用C語言編程實(shí)現(xiàn)了灰度圖像的壓縮。為了提高運(yùn)算速度，該文提出了一種DCT快速變換，此算法依據(jù)二維DCT變換矩陣形式中系數(shù)矩陣每個(gè)元素的周期性，將系數(shù)矩陣相乘結(jié)果的任意情況存儲(chǔ)，減少乘法操作。同時(shí)，采用C語言編寫代碼實(shí)現(xiàn)了基于DCT快速算法的灰度圖像壓縮。該文通過對(duì)一系列的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，驗(yàn)證了DCT快速變換用于灰度圖像壓縮的合理性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張春田.蘇育挺.數(shù)字圖像壓縮編碼[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006：1-10.

[2] 馬平.數(shù)字圖像處理[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2007：164-167.

[3] 小野定康.JPEG/MPEG2技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2004：62-65.

[4] 張旭東.盧國(guó)棟.圖像編碼基礎(chǔ)和小波壓縮技術(shù)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004：115-137.

[5] 丁貴廣.Visual C++ 6.0數(shù)字圖像編碼[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004：53-82.

[6] Gilge M，Engelhardt T，Mehlan R. Coding of arbitrarily shaped image segments based on a generalized orthogonal transform[J].Signal Processing on Image Commun， 2002，10：153-180.

[7]T Sikora，Makai B. Shape-adaptive DCT for generic coding of video[J].IEEE Transactions on Circuits System and Video Technol，1995，1：59-62.

[8] 曹雪虹.信息論與編碼[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004：16-34.

[9] 陰躲芬.淺談數(shù)字圖像壓縮編碼技術(shù)[J].科技廣場(chǎng)學(xué)報(bào)，2008（1）：138-139.endprint

摘要：該文借鑒靜態(tài)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG的理論研究成果，將其與DCT快速變換相結(jié)合，采用霍夫曼編碼方法，用C語言編程實(shí)現(xiàn)灰度圖像的壓縮。最后，計(jì)算了基于DCT快速變換的圖像壓縮算法的壓縮比。同時(shí)，分析了DCT快速變換后的數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該算法用于圖像壓縮的合理性。

關(guān)鍵詞：DCT快速變換；霍夫曼編碼；圖像壓縮

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2014）34-8264-02

隨著多媒體技術(shù)的發(fā)展，人們獲取信息由傳統(tǒng)方式的模擬圖像向數(shù)字圖像轉(zhuǎn)變。圖像以數(shù)字形式便于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、處理和傳輸，具有質(zhì)量好、成本低和可靠性高等特點(diǎn)。但是數(shù)字圖像的數(shù)據(jù)量非常巨大，這對(duì)硬盤等存儲(chǔ)設(shè)備提出了較高地要求，也對(duì)現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)的傳輸帶寬提出了非常高地需求。圖像壓縮是在滿足一定保真度的前提下，對(duì)原始較大的數(shù)字圖像進(jìn)行變換、編碼，去除冗余數(shù)據(jù)，從而使用較少的數(shù)據(jù)表示和傳輸，達(dá)到節(jié)省傳輸帶寬或節(jié)省所需存儲(chǔ)容量的目的。因此，圖像壓縮技術(shù)在多媒體領(lǐng)域得到廣泛地應(yīng)用。

1 二維DCT快速變換

通常對(duì)于一幅圖像的處理是將圖像分成一個(gè)一個(gè)的小塊，然后再將每一個(gè)小塊進(jìn)行正交變換，從而為某一種信息處理做準(zhǔn)備。該文將圖像進(jìn)行8×8分塊，則其DCT變換公式為：

由于余弦函數(shù)具有周期性，因此系數(shù)矩陣A中的每個(gè)元素取值除了[12]外，范圍均在[cosnπ16，n=1，…，15]，共16種情況。同理可知，AT中的每個(gè)元素取值范圍與A相同，也為16種情況。而由公式（2） 求得的系數(shù)取值情況即為：[16×16=256]種。定義一個(gè)數(shù)組存儲(chǔ)這256個(gè)系數(shù)，可減少DCT算法中乘法的次數(shù)為：[（64+8）×64=4608]次，大大簡(jiǎn)化計(jì)算，易于硬件實(shí)現(xiàn)。

2 霍夫曼編碼的實(shí)現(xiàn)

首先要計(jì)算各符號(hào)出現(xiàn)的概率。這樣就需要有一個(gè)掃描的過程。首先建立一個(gè)長(zhǎng)為[256×256]的數(shù)組，并對(duì)文件中從開始到結(jié)束每個(gè)字符的出現(xiàn)次數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)讀到結(jié)束標(biāo)志時(shí)，完成計(jì)數(shù)。

計(jì)數(shù)開始時(shí)文件的輸入指針位置得到保存，并在完成時(shí)再恢復(fù)。經(jīng)過這個(gè)步驟，得到了輸入數(shù)據(jù)中每個(gè)符號(hào)出現(xiàn)的概率，即葉結(jié)點(diǎn)的權(quán)值。

調(diào)整完各符號(hào)的概率后，接下來建立霍夫曼（Huffman）樹。在建立樹的過程中，需要在一個(gè)循環(huán)中將兩個(gè)權(quán)值最低的自由結(jié)點(diǎn)連同這兩結(jié)點(diǎn)的權(quán)值之和組合成一個(gè)新的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。在實(shí)際實(shí)現(xiàn)過程中，首先搜索權(quán)值最低的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，把它們的權(quán)相加，得到的和作為新結(jié)點(diǎn)的權(quán)值，然后在剩下的結(jié)點(diǎn)和新生成的結(jié)點(diǎn)中進(jìn)行搜索，合并權(quán)值最小的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，依次類推，一旦只剩下一個(gè)自由結(jié)點(diǎn)，Huffman樹就完成了，而這個(gè)自由結(jié)點(diǎn)就是Huffman的樹根。

壓縮一個(gè)文件，從根本上講，是想順著樹從上向下工作，然后在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處輸出一個(gè)0位或1位，直至達(dá)到適當(dāng)?shù)娜~結(jié)點(diǎn)為止。但是，樹的結(jié)構(gòu)不允許這么做。當(dāng)從樹根開始時(shí)，無法確定是從0樹枝還是1樹枝抵達(dá)某一特殊的符號(hào)。解決這個(gè)問題的方法之一是在建立樹時(shí)在結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)中增加一個(gè)父成員。當(dāng)組合兩個(gè)最小的結(jié)點(diǎn)形成一個(gè)新的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，每個(gè)最小的結(jié)點(diǎn)都讓其父結(jié)構(gòu)設(shè)置成指向新的結(jié)點(diǎn)通過這個(gè)新結(jié)點(diǎn)，可以從葉結(jié)點(diǎn)開始，順著樹向上延伸，直到樹根。當(dāng)對(duì)一個(gè)文件進(jìn)行壓縮時(shí)，只需要通過遞歸地遍歷整個(gè)樹一次就可能建立一個(gè)代碼表，而不必試著用樹來對(duì)符號(hào)進(jìn)行編碼。這樣便建立了一個(gè)代碼表，其中包含每個(gè)符號(hào)的代碼和每個(gè)代碼的長(zhǎng)度。一旦這張表建立起來，便可通過簡(jiǎn)單地輸入輸出文件中每個(gè)字符的適當(dāng)代碼來對(duì)這個(gè)文件編碼。

3 仿真驗(yàn)證

采用C語言編程，該文對(duì)三幅灰度圖像進(jìn)行了基于DCT快速變換的壓縮，樣品圖像及其解壓后的圖像分別如圖1～3所示。

三幅圖像的具體數(shù)據(jù)分析如表1～2所示，給出了三幅圖像的壓縮比和峰值信噪比。

4 結(jié)論

本文借鑒靜態(tài)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG的研究成果，使用C語言編程實(shí)現(xiàn)了灰度圖像的壓縮。為了提高運(yùn)算速度，該文提出了一種DCT快速變換，此算法依據(jù)二維DCT變換矩陣形式中系數(shù)矩陣每個(gè)元素的周期性，將系數(shù)矩陣相乘結(jié)果的任意情況存儲(chǔ)，減少乘法操作。同時(shí)，采用C語言編寫代碼實(shí)現(xiàn)了基于DCT快速算法的灰度圖像壓縮。該文通過對(duì)一系列的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，驗(yàn)證了DCT快速變換用于灰度圖像壓縮的合理性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張春田.蘇育挺.數(shù)字圖像壓縮編碼[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006：1-10.

[2] 馬平.數(shù)字圖像處理[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2007：164-167.

[3] 小野定康.JPEG/MPEG2技術(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2004：62-65.

[4] 張旭東.盧國(guó)棟.圖像編碼基礎(chǔ)和小波壓縮技術(shù)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004：115-137.

[5] 丁貴廣.Visual C++ 6.0數(shù)字圖像編碼[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004：53-82.

[6] Gilge M，Engelhardt T，Mehlan R. Coding of arbitrarily shaped image segments based on a generalized orthogonal transform[J].Signal Processing on Image Commun， 2002，10：153-180.

[7]T Sikora，Makai B. Shape-adaptive DCT for generic coding of video[J].IEEE Transactions on Circuits System and Video Technol，1995，1：59-62.

[8] 曹雪虹.信息論與編碼[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004：16-34.

[9] 陰躲芬.淺談數(shù)字圖像壓縮編碼技術(shù)[J].科技廣場(chǎng)學(xué)報(bào)，2008（1）：138-139.endprint

摘要：該文借鑒靜態(tài)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG的理論研究成果，將其與DCT快速變換相結(jié)合，采用霍夫曼編碼方法，用C語言編程實(shí)現(xiàn)灰度圖像的壓縮。最后，計(jì)算了基于DCT快速變換的圖像壓縮算法的壓縮比。同時(shí)，分析了DCT快速變換后的數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該算法用于圖像壓縮的合理性。

關(guān)鍵詞：DCT快速變換；霍夫曼編碼；圖像壓縮

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2014）34-8264-02

隨著多媒體技術(shù)的發(fā)展，人們獲取信息由傳統(tǒng)方式的模擬圖像向數(shù)字圖像轉(zhuǎn)變。圖像以數(shù)字形式便于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、處理和傳輸，具有質(zhì)量好、成本低和可靠性高等特點(diǎn)。但是數(shù)字圖像的數(shù)據(jù)量非常巨大，這對(duì)硬盤等存儲(chǔ)設(shè)備提出了較高地要求，也對(duì)現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)的傳輸帶寬提出了非常高地需求。圖像壓縮是在滿足一定保真度的前提下，對(duì)原始較大的數(shù)字圖像進(jìn)行變換、編碼，去除冗余數(shù)據(jù)，從而使用較少的數(shù)據(jù)表示和傳輸，達(dá)到節(jié)省傳輸帶寬或節(jié)省所需存儲(chǔ)容量的目的。因此，圖像壓縮技術(shù)在多媒體領(lǐng)域得到廣泛地應(yīng)用。

1 二維DCT快速變換

通常對(duì)于一幅圖像的處理是將圖像分成一個(gè)一個(gè)的小塊，然后再將每一個(gè)小塊進(jìn)行正交變換，從而為某一種信息處理做準(zhǔn)備。該文將圖像進(jìn)行8×8分塊，則其DCT變換公式為：

由于余弦函數(shù)具有周期性，因此系數(shù)矩陣A中的每個(gè)元素取值除了[12]外，范圍均在[cosnπ16，n=1，…，15]，共16種情況。同理可知，AT中的每個(gè)元素取值范圍與A相同，也為16種情況。而由公式（2） 求得的系數(shù)取值情況即為：[16×16=256]種。定義一個(gè)數(shù)組存儲(chǔ)這256個(gè)系數(shù)，可減少DCT算法中乘法的次數(shù)為：[（64+8）×64=4608]次，大大簡(jiǎn)化計(jì)算，易于硬件實(shí)現(xiàn)。

2 霍夫曼編碼的實(shí)現(xiàn)

首先要計(jì)算各符號(hào)出現(xiàn)的概率。這樣就需要有一個(gè)掃描的過程。首先建立一個(gè)長(zhǎng)為[256×256]的數(shù)組，并對(duì)文件中從開始到結(jié)束每個(gè)字符的出現(xiàn)次數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)讀到結(jié)束標(biāo)志時(shí)，完成計(jì)數(shù)。

計(jì)數(shù)開始時(shí)文件的輸入指針位置得到保存，并在完成時(shí)再恢復(fù)。經(jīng)過這個(gè)步驟，得到了輸入數(shù)據(jù)中每個(gè)符號(hào)出現(xiàn)的概率，即葉結(jié)點(diǎn)的權(quán)值。

調(diào)整完各符號(hào)的概率后，接下來建立霍夫曼（Huffman）樹。在建立樹的過程中，需要在一個(gè)循環(huán)中將兩個(gè)權(quán)值最低的自由結(jié)點(diǎn)連同這兩結(jié)點(diǎn)的權(quán)值之和組合成一個(gè)新的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。在實(shí)際實(shí)現(xiàn)過程中，首先搜索權(quán)值最低的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，把它們的權(quán)相加，得到的和作為新結(jié)點(diǎn)的權(quán)值，然后在剩下的結(jié)點(diǎn)和新生成的結(jié)點(diǎn)中進(jìn)行搜索，合并權(quán)值最小的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，依次類推，一旦只剩下一個(gè)自由結(jié)點(diǎn)，Huffman樹就完成了，而這個(gè)自由結(jié)點(diǎn)就是Huffman的樹根。

壓縮一個(gè)文件，從根本上講，是想順著樹從上向下工作，然后在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處輸出一個(gè)0位或1位，直至達(dá)到適當(dāng)?shù)娜~結(jié)點(diǎn)為止。但是，樹的結(jié)構(gòu)不允許這么做。當(dāng)從樹根開始時(shí)，無法確定是從0樹枝還是1樹枝抵達(dá)某一特殊的符號(hào)。解決這個(gè)問題的方法之一是在建立樹時(shí)在結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)中增加一個(gè)父成員。當(dāng)組合兩個(gè)最小的結(jié)點(diǎn)形成一個(gè)新的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，每個(gè)最小的結(jié)點(diǎn)都讓其父結(jié)構(gòu)設(shè)置成指向新的結(jié)點(diǎn)通過這個(gè)新結(jié)點(diǎn)，可以從葉結(jié)點(diǎn)開始，順著樹向上延伸，直到樹根。當(dāng)對(duì)一個(gè)文件進(jìn)行壓縮時(shí)，只需要通過遞歸地遍歷整個(gè)樹一次就可能建立一個(gè)代碼表，而不必試著用樹來對(duì)符號(hào)進(jìn)行編碼。這樣便建立了一個(gè)代碼表，其中包含每個(gè)符號(hào)的代碼和每個(gè)代碼的長(zhǎng)度。一旦這張表建立起來，便可通過簡(jiǎn)單地輸入輸出文件中每個(gè)字符的適當(dāng)代碼來對(duì)這個(gè)文件編碼。

3 仿真驗(yàn)證

采用C語言編程，該文對(duì)三幅灰度圖像進(jìn)行了基于DCT快速變換的壓縮，樣品圖像及其解壓后的圖像分別如圖1～3所示。

三幅圖像的具體數(shù)據(jù)分析如表1～2所示，給出了三幅圖像的壓縮比和峰值信噪比。

4 結(jié)論

本文借鑒靜態(tài)圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)JPEG的研究成果，使用C語言編程實(shí)現(xiàn)了灰度圖像的壓縮。為了提高運(yùn)算速度，該文提出了一種DCT快速變換，此算法依據(jù)二維DCT變換矩陣形式中系數(shù)矩陣每個(gè)元素的周期性，將系數(shù)矩陣相乘結(jié)果的任意情況存儲(chǔ)，減少乘法操作。同時(shí)，采用C語言編寫代碼實(shí)現(xiàn)了基于DCT快速算法的灰度圖像壓縮。該文通過對(duì)一系列的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，驗(yàn)證了DCT快速變換用于灰度圖像壓縮的合理性。

參考文獻(xiàn)：

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