人工邊界方法

韓厚德等

本書是一部人工邊界方法的專著，涵蓋了作者們在人工邊界方法領(lǐng)域近30年來的研究成果，系統(tǒng)介紹人工邊界方法數(shù)值求解無界區(qū)域的偏微分方程，詳細(xì)討論了多種類型的方程的人工邊界方法，包括：拉普拉斯方程、亥姆霍茲方程、熱傳導(dǎo)方程、薛定諤方程和納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程，并討論了人工邊界的數(shù)值方法及其相關(guān)誤差分析。

科學(xué)和工程領(lǐng)域的許多問題用無界區(qū)域上的偏微分方程來描述的，例如：機翼周圍的氣流，大壩的壓力分析，長管道中的流體，波在空間中傳播等。傳統(tǒng)的有限差分方法和有限元方法無法直接求解無界區(qū)域問題。人工邊界方法是求解無界區(qū)域偏微分方程的有效數(shù)值方法，通過引入人工邊界條件把無界區(qū)域約化為有界區(qū)域。人工邊界是有界計算區(qū)域的外邊界，因此尋求人工邊界上精確的邊界條件或構(gòu)造高精度近似的邊界條件成為了求解無界區(qū)域偏微分方程的難題。作者對“恰當(dāng)”的人工邊界條件作了如下規(guī)定：（1）約化后的有界邊值問題必須適定（well-posed），即解存在唯一且連續(xù)依賴于（初始）邊界條件；（2）在有界計算區(qū)域內(nèi)，約化問題的解等同或高度逼近原問題的解；（3）有界計算區(qū)域必須盡可能小以節(jié)省計算量和存儲量；（4）約化后的問題在有界計算區(qū)域內(nèi)必須很容易進行數(shù)值求解。人工邊界條件分為兩大類：顯式和隱式。顯式人工邊界進一步分為：全局、局部和離散。在實際應(yīng)用中，根據(jù)人工邊界的具體特性還有不同的名稱，如：吸收人工邊界條件，無反射人工邊界條件，開放型邊界條件，透射人工邊界條件，完全吸收邊界條件，非線性邊界條件等。

隨著人工邊界方法的快速發(fā)展，相關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和理論分析也建立起來，如：人工邊界方法在二階橢圓型方程的外問題，Navier（線性彈性問題）系統(tǒng)，Stokes系統(tǒng)等問題的數(shù)值解的最優(yōu)誤差估計已經(jīng)得到證明。進一步，數(shù)值解的誤差對網(wǎng)格剖分尺度、人工邊界的位置依賴關(guān)系以及人工邊界條件精度的問題也得到了解決。對于依賴于時間的演化方程，如：熱傳導(dǎo)方程和薛定諤方程等，人工邊界方法的有限差分法數(shù)值解的誤差估計已經(jīng)得到證明。

全書共9章：1.二階橢圓型方程的全局人工邊界條件；2.Navier系統(tǒng)和Stokes系統(tǒng)的全局人工邊界條件；3.熱傳導(dǎo)方程和薛定諤方程的全局人工邊界條件；4.波動方程，Klein-Gordon方程和線性KdV方程的人工邊界條件；5.局部人工邊界條件；6.離散的人工邊界條件；7.隱式人工邊界條件；8.非線性人工邊界條件；9.人工邊界條件在帶有奇異性問題中的應(yīng)用。

本書的內(nèi)容豐富，而且是自相容的，可作為科學(xué)與工程計算領(lǐng)域研究生的教材，同時也適合計算數(shù)學(xué)和機械工程領(lǐng)域的研究人員閱讀。

陳濤，助教

（中國傳媒大學(xué)理學(xué)院）endprint