基于特征值極限分布的合作頻譜感知算法

彌寅，盧光躍

(西安郵電大學 無線網(wǎng)絡安全技術(shù)國家工程實驗室，陜西 西安 710121)

1 引言

隨著無線通信技術(shù)的快速發(fā)展，無線頻譜資源日益緊張，下一代無線通信技術(shù)急需解決的問題就變成了怎樣提高頻譜的使用效率，從而進一步提高通信系統(tǒng)的容量和服務質(zhì)量。認知無線電(CR，cognitive radio)[1]作為一種頻譜再用技術(shù)，已受到普遍關(guān)注。CR通過對授權(quán)頻段進行不間斷的檢測，當該頻段空閑，即PU不通信時，CU便可以伺機動態(tài)接入該頻段進行正常通信；而當該頻段被占用，即PU通信時，為了避免對PU的干擾，CU必須及時退出該頻段，從而保證PU正常通信。

CR應具備3種基本能力：頻譜感知(SS， spectrum sensing)、決策和自適應，其中，頻譜感知是CR的首要特征和核心技術(shù)。經(jīng)典的感知技術(shù)[2]有能量檢測(ED， energy detection)[3]、匹配濾波器檢測以及循環(huán)平穩(wěn)特征檢測[4]等。其中最常用的ED算法實現(xiàn)簡單，不需預知PU發(fā)射機信號的任何先驗知識，但對噪聲不確定度敏感，門限不易確定。匹配濾波器檢測在加性高斯白噪聲(AWGN)時性能最為優(yōu)越，但需要同步，且需預知PU發(fā)射機信號的先驗知識。循環(huán)平穩(wěn)特征檢測的優(yōu)點是抗噪性強，但實現(xiàn)起來較為復雜，由于檢測時間較長，從而降低了系統(tǒng)的靈敏度。

在認知網(wǎng)絡中，多徑衰落和陰影衰落經(jīng)常造成認知節(jié)點的信噪比(SNR， signal to noise ratio)降低，而多節(jié)點合作感知[5，6]能夠在低信噪比時提高頻譜檢測的性能。近年來，對多節(jié)點合作感知的相關(guān)研究引起了很多人的關(guān)注。文獻[7]對Wishart隨機矩陣特征值的極限分布進行了詳盡的分析，基于大維RMT理論， Cardoso L S提出了LSC合作頻譜感知算法，用特征值之比作為檢驗統(tǒng)計量[8]，判決門限使用最大最小特征值的極限值直接做近似，由此得到的算法檢測性能相比ED算法有所提高，但在采樣數(shù)較小的實際應用情形下性能不夠理想。由此，Zeng等人提出了最大最小特征值(MME， maximumminimum eigenvalue)算法[9]，檢驗統(tǒng)計量與LSC算法一致，該算法研究并分析了最大特征值的極限分布，結(jié)合最小特征值的漸近值，從而推導出給定虛警概率條件下的判決門限，其檢測性能得到明顯改善，它充分考慮了實際中采樣數(shù)較小的問題，這屬于半漸近的理論，其性能優(yōu)于漸近算法[10]。

本文采用近年來RMT的最新研究成果，利用Wishart矩陣特征值的特性[11]，在MME算法的基礎上對接收信號采樣協(xié)方差矩陣最小特征值的極限分布進行了分析，發(fā)現(xiàn)相較于最大特征值的極限分布函數(shù)，用最小特征值的極限分布進行門限確定時更加精確。在確定判決門限時，使用最大特征值的漸近值近似代替其本身，從而提出了一種 NMME合作頻譜感知算法及新的門限確定方法，該算法在CU數(shù)目和采樣數(shù)較少時，感知性能較好。仿真實驗對門限值曲線隨虛警概率的變化進行了分析，并對NMME算法的檢測性能與MME算法、ED算法進行了比較，還對各算法的實際虛警率隨信噪比的變化曲線進行了分析。結(jié)果顯示，在低信噪比、滿足給定虛警率要求時，NMME算法具有很高的檢測概率，且不需預知PU發(fā)射機信號的先驗知識和噪聲方差，能很好地抵抗噪聲不確定度的影響。

2 系統(tǒng)模型和MME算法

2.1 系統(tǒng)模型

假設認知網(wǎng)絡中CU數(shù)目為M，每個CU的采樣數(shù)為N，CU采用合作方式對PU發(fā)射機信號進行頻譜檢測。這里用H0表示頻譜空閑，PU不存在；H1表示頻譜被占用，PU存在，從而頻譜感知即為二元假設檢驗問題[1]

其中，xi(n)為第i個CU在第n個時刻采樣到的信號向量；si(n)為第i個CU接收到的PU發(fā)射機信號向量；ηi(n)為加性高斯白噪聲向量，獨立同分布，均值為零、方差為σ2。

在接收端，M個CU采樣得到的信號構(gòu)成了一個向量矩陣X=[x1x2…xM]T，同理，S=[s1s2…sM]T，η=[η1η2…ηM]T。因此，X是一個M×N維的矩陣：

為了不失一般性，假設S與η相互獨立，則在H1時，考慮CU接收信號和接收PU信號的統(tǒng)計協(xié)方差矩陣分別為

其中，H表示共軛轉(zhuǎn)置變換。

容易得出Rx=Rs+σ2IM，在H0時，由Rs=0可知Rx=σ2IM。在實際的感知過程中，由于統(tǒng)計協(xié)方差矩陣難以準確計算，因此只能用有限的采樣來估計協(xié)方差矩陣[12]，即

2.2 MME算法

如果TMME＞γMME，表明PU發(fā)射機信號存在；否則，PU發(fā)射機信號不存在，其中，γMME表示MME算法的判決門限。

在H0時，是Wishart隨機矩陣[13]，該矩陣的聯(lián)合概率密度函數(shù)(PDF)極其復雜，文獻[14]考慮了噪聲為實信號時的情形，得出了Wishart隨機矩陣λmax服從Tracy-Widom分布F1(t)的結(jié)論，文獻[15]則分析了噪聲為復信號的情況。當采樣數(shù)N較大時，實信號和復信號時的λmax的均值和方差幾乎相同，僅其極限分布不同。與此同時，文獻[16]還給出了Wishart隨機矩陣的最大最小特征值的收斂值。

文獻[9]應用以上結(jié)論，推導出MME算法的門限表達式

表1 Tracy-Widom第1分布的累積分布函數(shù)數(shù)值

3 改進的最大最小特征值算法(NMME)

3.1 檢測門限的確定

文獻[8]所提出的 LSC算法屬于 RMT漸近理論，此類算法采用漸近值直接做近似，在CU數(shù)目M和采樣數(shù)N足夠大時才有效。而在實際應用過程中，由于各種各樣的限制，如感知時間的長短、信道的時變特性等，N一般取有限值，而且LSC算法在給定虛警概率Pfa時判決門限恒定，這將會極大地影響感知系統(tǒng)的性能及其可靠性，因此對其應用有一定的限制。另外，在小采樣時，其精度不高、誤差較大，從而降低了感知的準確性。

近年來，隨著 RMT的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)當M和N→∞時，Wishart隨機矩陣的λmin也服從 Tracy-Widom分布[7]，而且進行門限確定時，利用λmin的極限分布比目前所采用的λmax極限分布函數(shù)更加精確。

定理1[7]若噪聲為實信號，令

定理1給出的是采樣協(xié)方差矩陣λmin的極限分布，而定理2給出的是最大最小特征值的漸近值表達式?；诖?，提出了半漸近算法，如 MME，它克服了 LSC漸近算法的缺點，能夠?qū)崟r地調(diào)整門限，從而提高了感知系統(tǒng)的性能及可靠性。下面在給定虛警概率Pfa的情況下，用λmax的漸近值近似代替其本身，推導出新的判決門限γ，由此得到的NMME算法的判決規(guī)則如下

假設噪聲為實信號，則虛警概率Pfa可表示為

依據(jù)定理1和定理2可得b、μ和k的值。

3.2 算法步驟

綜上所述，可得NMME的算法步驟如下。

步驟1對數(shù)據(jù)進行采樣，并據(jù)式(4)對接收信號采樣協(xié)方差矩陣(N)進行估計。

步驟 2通過對(N)進行特征值分解，求得λmax和λmin，則檢驗統(tǒng)計量TNMME=λmax/λmin。

步驟3在給定虛警概率Pfa的條件下，據(jù)式(14)求得判決門限γ。

步驟 4據(jù)式(12)進行判決，即當TNMME＜γ，H0成立；否則，H1成立。

4 仿真結(jié)果及分析

下面對算法進行Matlab仿真驗證，進行10 000次Monte-Carlo實驗。在給定虛警概率Pfa時，比較NMME、MME和ED算法的檢測性能。假設固定路徑衰落，PU發(fā)射機信號為經(jīng)過升余弦脈沖成型的 QPSK調(diào)制信號；考慮噪聲不確定度的影響，NMME與 MME算法的噪聲不確定度為 1 dB，ED-xdB表示ED算法的噪聲不確定度為xdB，估計的噪聲方差為，設噪聲不確定度B=max{10lgα}(dB)，α服從[-B，B]的均勻分布。

圖1為不同Pfa情形下，SNR=-20 dB時，認知用戶數(shù)M和采樣數(shù)N對NMME與MME算法門限值的影響。參考M=5，N=3 200時的門限值曲線進行對照，M=10和N=9 600時對應的門限值都減小，說明隨著M或N的增大，算法性能將會提高。同時看出，NMME算法的門限值曲線遞增，而 MME算法遞減。在給定Pfa的情況下，當Pfa＜0.5時，由于NMME算法的門限值更小，因此其檢測性能更優(yōu)；當Pfa=0.5時，曲線相交，則二者檢測性能相同；當Pfa＞0.5時，MME算法有著更好的檢測性能。由于實用的認知系統(tǒng)要求Pfa都應是較小的值，所以NMME算法的檢測性能將更加優(yōu)越。

圖1 NMME和MME算法的門限值曲線比較

圖2是3種算法的檢測率Pd隨SNR變化的特性曲線。設Pfa=0.1，由圖可知，如果噪聲方差確知(B=0)，則 ED 算法最優(yōu)。如圖 2(a)所示，當SNR=-20 dB，M=5，N=3 200時，NMME算法的Pd達到52%，而 MME算法僅 2%，ED-0.5dB和ED-1dB分別為9%和5%，由此可見，實際情況中ED算法的性能遠不如 NMME算法，易受噪聲方差的影響。比較圖2(a)和2(b)可知，M不變，N由3 200增加到 9 600，NMME算法的Pd能提高到91%，MME算法也能提高到21%。再對圖2(a)和2(c)進行比較，N不變，M由5增加到10， NMME和MME算法的Pd分別提高到89%和18%?？梢姡黾覯或N使得算法的檢測性能得到了提高。同時發(fā)現(xiàn)，ED-0.5dB和 ED-1dB算法的性能幾乎沒有變化，說明通過增加M或N并不能解決噪聲不確定度問題。

圖3是3種算法的實際Pfa隨SNR變化的曲線。設給定Pfa=0.1，N=9 600，由圖可知，NMME和MME算法的實際Pfa在0.1附近，而ED-0.5dB與ED-1dB遠大于0.1，不滿足給定Pfa要求，造成頻譜利用率低，說明存在噪聲不確定度時，ED算法不夠穩(wěn)健。結(jié)合圖2中Pd隨SNR變化的特性曲線可以得出，在滿足給定Pfa時，NMME算法的Pd更高。

圖2 檢測率Pd隨信噪比變化的性能比較

圖3 實際虛警率Pfa隨信噪比變化的曲線

5 結(jié)束語

本文利用隨機矩陣理論近年來的最新研究成果，應用更為精確的最小特征值的極限分布，并結(jié)合最大特征值的漸近值，提出了改進的NMME合作頻譜感知和門限判決方法。通過Matlab仿真實驗，并與MME和ED算法相比較可得，NMME算法不但是一種盲檢測算法，而且不受噪聲不確定度的影響。在低虛警率時，判決門限比 MME算法更低，從而在滿足給定虛警率的條件下，檢測概率更高，感知更加準確，體現(xiàn)了NMME算法的優(yōu)越性。

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