關(guān)于一個(gè)重要極限的兩種證明方法

程 國(guó)

（商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西 商洛726000）

0 引言

極限是高等數(shù)學(xué)中的基本概念，它貫穿于微積分始終，是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要工具。在極限理論的學(xué)習(xí)中是一類重要的極限。關(guān)于該極限存在性的證明是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。證明的基本思想是利用單調(diào)有界定理，即“單調(diào)有界數(shù)列比收斂”。最常見(jiàn)的證明思路[1-2]是將數(shù)列按二項(xiàng)式定理展開(kāi)，證明數(shù)列{xn}單調(diào)遞增有上界，再根據(jù)單調(diào)有界定理極限存在。但實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生往往感覺(jué)這樣的證明比較抽象，過(guò)程不簡(jiǎn)潔，難以理解。不少學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。崔德旺[3]等利用幾何均值不等式給出了存在性的一種簡(jiǎn)潔證法。楊華[4]從連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)定義的角度給出了重要極限的證明方法。本文給出對(duì)極限存在性的兩種簡(jiǎn)潔證法。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[5]設(shè)實(shí)數(shù)xffgt;-1，n為正整數(shù)，則有

引理2[6]對(duì)于任意正實(shí)數(shù)α1，α2，…，αn；β1，β2，…，βn有

2 兩種證明方法

為證明數(shù)列{xn}有上界，考察數(shù)列與上面類似可證{yn}是遞減的.于是即數(shù)列{xn}有上界.根據(jù)單調(diào)有界定理，得{xn}有極限.

證法2 在引理2中，當(dāng)n=2時(shí)可得

令（4）中α1=n-1，α2=1.β1=n，β2=1，則即根據(jù)單調(diào)有界原理，德{xn}收斂.

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.高等數(shù)學(xué)[M].6版.北京：高等教育出版社,2007：52-53.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,編.數(shù)學(xué)分析[M].4版.北京：高等教育出版社,2006：56-57.

［3］崔德旺,何萬(wàn)生,夏鴻鳴,等.關(guān)于極限存在的三種新的證明[J].天水師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,29(2)：9-

［5］吳新仁,陸秀麗.數(shù)學(xué)分析原理[M].北京：人民教育出版社,1979：36-40.

［6］匡繼昌.常用不等式[M].濟(jì)南：山東科技出版社,2004：42-43.