基于Matlab/GUI的鉆機動力頭齒輪動態(tài)優(yōu)化設計

羅 華

(1．中煤科工集團重慶研究院有限公司，重慶400039;2．瓦斯災害監(jiān)控與應急技術國家重點實驗室，重慶400037)

0 引言

動力頭作為全液壓鉆機的動力輸出機構，采用液壓驅動和齒輪傳動相結合的方式，主要由液壓馬達、齒輪減速箱和鉆桿夾持裝置3部分組成［1］。ZYWL－2600R型鉆機動力頭的結構如圖1所示，其設計傳遞功率為49 kW，輸出轉速180～900 r/min，最高輸出扭矩2600 N·m。其中，齒輪減速箱部分采用單級斜齒輪傳動，是動力頭設計的關鍵部分。隨著該鉆機輸出轉速和功率的增加，振動和噪聲問題變得越來越突出，使得動態(tài)特性成為了設計中必須考慮的技術要求。

圖1 ZYWL－2600R型鉆機動力頭結構

為了設計出具有良好的動態(tài)特性鉆機動力頭，傳統(tǒng)的靜態(tài)優(yōu)化設計已不能滿足要求。因此，本文以齒輪系統(tǒng)動力學為基礎，建立動力頭傳動齒輪的動態(tài)優(yōu)化設計模型，借助Matlab優(yōu)化工具箱和GUI工具開發(fā)了齒輪動態(tài)優(yōu)化設計程序的圖形界面，求解以齒輪振動加速度最小為優(yōu)化目標的齒輪設計參數，通過計算結果對比驗證了程序的有效性和實用性。

1 齒輪動態(tài)優(yōu)化設計模型的建立

本文以傳動齒輪副為研究對象，為簡化計算，在分析時，假設箱體為不發(fā)生變形的剛體支撐，同時在不考慮傳動軸和支撐軸承的彈性變形。

1．1 設計變量

影響斜齒輪動態(tài)特性的參數比較多，考慮到設計需求和動態(tài)優(yōu)化設計的迭代計算量較大，只選取齒輪的基本設計參數為設計變量，包括主、從動齒輪齒數z1和z2、法面模數mn、齒寬 b、螺旋角β和法面變位系數xn1和xn2共7個參數，即:

1．2 目標函數

1．2．1 齒輪動力學方程

根據鉆機動力頭齒輪的傳動嚙合特性，考慮了齒輪副時變綜合嚙合剛度、嚙合阻尼及傳動誤差，建立齒輪副的扭轉振動模型如圖2所示，相應的動力學方程為［2－3］:

圖2 動力頭斜齒輪副的扭轉振動模型

式中:x——嚙合線方向上的相對位移;m——齒輪的當量質量，齒輪副之間的靜態(tài)載荷，F(xiàn)0=T1/rb1=T2/rb2;F(t)——其動態(tài)嚙合力，F(xiàn)(t)=Δk(t)·e(t);其中，θi、Ji和 rbi——分別為齒輪實際回轉角、轉動慣量和基圓半徑(i=1，2)，k(t)——齒輪副的時變綜合嚙合剛度，c(t)——齒輪副的嚙合阻尼，e(t)——齒輪副沿嚙合線方向的傳動誤差。

1．2．2 動態(tài)優(yōu)化目標

齒輪的振動噪聲與振動加速度的均方根值成正比，反映了齒輪傳動系統(tǒng)的振動程度［3］。因此，本文選用嚙合線上振動加速度的均方根值作為動力頭齒輪優(yōu)化設計的目標函數。其計算式為:

1．2．3 相關參數的計算

(1)齒輪副嚙合剛度k(t)。

對于理想精度的斜齒輪副，為簡化計算，常用齒輪副接觸線長度的變化代替齒輪副嚙合剛度的變化，仍具有良好的計算精度［4－5］。求解時，將單位接觸線長度上的嚙合剛度Cγ與齒輪副瞬時接觸線總長度L(τ)相乘，得到齒輪副時變嚙合剛度:

式中:τ=t/Tz，Tz——齒輪副的嚙合周期;E——同時參與嚙合的最大齒對數;l(τ)——單對齒嚙合的接觸線長度函數，周期為E，按傅里葉級數展開得:

式中:εα——端面重合度;εβ——軸向重合度;βb——基圓螺旋角。

(2)齒輪副的嚙合阻尼c(t)。

嚙合阻尼c(t)可按經驗計算公式計算［6］:

式中:ξg——輪齒嚙合阻尼比，根據文獻［6］的分析

計算，一般取0.03～0.17。

(3)傳動誤差e(t)。

由于齒輪的制造、安裝和輪齒受載變形等引起的嚙合輪廓偏離理論的理想位置，產生傳動誤差激勵。在設計時，本文只考慮齒輪的精度等級引起的齒輪位置偏差，采用齒輪嚙合頻率的簡諧函數來模擬傳動誤差:

式中:e0——齒輪副傳動誤差的常值，由基節(jié)誤差和齒形誤差按正態(tài)分布合成;er——齒輪副傳動誤差的幅值。

1．3 約束條件

齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)優(yōu)化設計中，約束條件主要包括設計變量取值范圍的邊界約束、齒輪靜態(tài)性能的約束函數和動態(tài)性能約束三種。其中，靜態(tài)性能約束主要包括齒輪不產生根切的最小齒數、齒頂厚度的限制條件、重合度的限制條件、不發(fā)生過渡曲線干涉的條件、齒面接觸強度條件、齒根彎曲強度條件等。動態(tài)性能約束有最大動載荷、動載系數、最大振動加速度等動態(tài)特性參數。

按照鉆機動力頭的設計經驗，齒輪副的設計既要保證傳動系統(tǒng)的承載能力還要使結構緊湊，一般取模數的約束范圍:

為了保證傳動的平穩(wěn)性，可以采取增加螺旋角的措施，但軸向力也會隨之增大。因此，螺旋角的選取一般取:

對于變位齒輪傳動，端面重合度會隨著嚙合角的增大而減小，為了保證一定的重合度，需限制重合度的取值為:

其它各約束條件的計算和取值范圍參考機械設計手冊［7］的推薦和要求，在此不在贅述。

2 優(yōu)化設計的求解與GUI開發(fā)

2．1 Matlab優(yōu)化工具箱

實際的機械優(yōu)化設計問題大都屬于非線性規(guī)劃，其數學模型可以表示為:

式中:X——設計變量;f(X)——目標函數;gi(X)≤0，hi(X)=0為約束條件。

Matlab軟件為解決這種問題提供了相應的工具包，利用工具箱中的相關函數，可以求解線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃和多目標規(guī)劃等問題，為優(yōu)化設計提供了更高效快捷的求解方法。

齒輪副的動態(tài)優(yōu)化設計屬于式(13)所描述的多變量約束最小值優(yōu)化問題，因此可以采用局域優(yōu)化指令fmincon進行求解。

2．2 GUI的設計與開發(fā)

圖形用戶界面(Graphical User Interfaces，GUI)為程序的實現(xiàn)提供了一個生動、友好的操作環(huán)境，用戶通過鼠標或鍵盤的選擇激活這些圖形對象，實現(xiàn)計算、繪制圖表和產生動畫等［8－9］。

通過使用Matlab/GUI開發(fā)工具，設計程序的圖形界面如圖3和圖4所示。

該程序由齒輪參數的靜態(tài)計算、齒輪振動的動態(tài)響應和優(yōu)化程序3部分組成。程序的輸入參數主要是齒輪設計參數、載荷(動力頭輸出轉速、扭矩)、齒輪材料值(彈性模量、泊松比、材料疲勞極限強度)和齒輪精度等級參數(齒形偏差、基節(jié)偏差)等;靜態(tài)計算可以實現(xiàn)齒輪幾何參數的計算和疲勞強度校核;動態(tài)響應程序可以繪制齒輪的振動位移、速度和加速度響應曲線;最后調用優(yōu)化程序完成齒輪副的動態(tài)優(yōu)化設計，得到滿足要求的齒輪設計參數。

在進行優(yōu)化設計時，程序會調用輸入的齒輪設計參數，計算目標函數值。然后點選約束條件中的所有選項，點擊“開始優(yōu)化”按鈕，優(yōu)化計算的時間與設計變量的初始值、約束條件和求解動態(tài)方程的難易有關。計算結束后，點擊“圓整結果”按鈕，程序會按照標準選取模數，對其它參數進行圓整，點擊“復制結果”按鈕，可將優(yōu)化結果傳遞到齒輪設計參數中，重新進行靜態(tài)和動態(tài)參數的計算。

3 動態(tài)優(yōu)化設計結果與分析

動力頭齒輪的設計參數:z1=23，z2=65，mn=5、b=50、β =12°。其中，小齒輪的材料為 42CrMo，大齒輪的材料選用20CrMnTi。

通過動態(tài)優(yōu)化設計程序求解后，得到優(yōu)化前后的齒輪靜態(tài)性能參數如表1所示。

圖3 齒輪動態(tài)優(yōu)化設計程序圖形界面Ⅰ

圖4 齒輪動態(tài)優(yōu)化設計程序圖形界面Ⅱ

從表1中的數據可以看出:優(yōu)化后齒輪振動加速度的均方根值減小了32.8%，有效降低了齒輪傳動的振動;而且，齒輪副的接觸和彎曲疲勞強度均有較大提高，采用變位齒輪轉動后的大、小齒輪的彎曲疲勞強度趨于一致。

表1 齒輪動態(tài)優(yōu)化設計參數

優(yōu)化前后的齒輪副時變嚙合剛度曲線和振動加速度響應曲線分別如圖5、圖6所示。

圖5 優(yōu)化前后的齒輪副時變嚙合剛度曲線

優(yōu)化后齒輪副的嚙合剛度曲線較為平滑，只有微小的剛度變化，沒有較大的突變和“尖點”，大大降低了輪齒嚙合的剛度激勵，明顯地縮短了齒輪嚙合過程中的振動時間，使嚙合過程更快地進入平穩(wěn)傳動狀態(tài)。

4 結語

本文建立了鉆機動力頭齒輪副的動態(tài)優(yōu)化設計模型，借助Matlab/GUI工具設計了優(yōu)化程序的圖形界面，通過實例計算和對比驗證了程序的可行性和結果的合理性，有效降低了齒輪副的振動，為設計具有良好動態(tài)特性的動力頭齒輪傳動提供了有力的工具。

圖6 優(yōu)化前后的振動加速度響應曲線(一個嚙合周期)

［1］ 呂冰，王清峰，史春寶．ZY－6000煤礦用全液壓坑道鉆機動力頭設計［J］．礦業(yè)安全與環(huán)保，2007，34(2):29 －30．

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