淺談“微元法”在高考物理題中應(yīng)用

史文杰

在近幾年的高考中時(shí)常出現(xiàn)一些涉及物體在變力作用下，做非勻變速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題.學(xué)生在解題時(shí)，感覺(jué)無(wú)從下手.因?yàn)槿粘５慕虒W(xué)和練習(xí)中，大多數(shù)情況只討論恒力作用下的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)于變力問(wèn)題下的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)只作定性分析，很少進(jìn)行定量研究.這類(lèi)問(wèn)題的解決涉及到“微元法”.

一、微元法

所謂“微元法”，又叫“微小變量法”，是解物理題的一種方法.它適用于變力作用下做變速運(yùn)動(dòng)（非勻變速運(yùn)動(dòng)）的情況.用微元法解題目體現(xiàn)了微分和積分的思想.

何為微分思想？例如時(shí)間Δt很短或位移Δx很小時(shí)，非勻變速運(yùn)動(dòng)可以看作勻變速運(yùn)動(dòng)，從v-t圖象中的圖形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.

何為積分思想？如許多小的梯形加起來(lái)為大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表總位移），并且Δv=v-v0，當(dāng)末速度v=0時(shí)，有Δv=v0，或初速度v0=0時(shí)，有Δv=v，這種求和的方法體現(xiàn)了積分思想.

筆者發(fā)現(xiàn)采用“微元法”解決的題目雖然很多，情景多變，但其解題的模式是相似的，都采用關(guān)系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛頓第二定律和加速度定義式的微元式，學(xué)生只要會(huì)受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，寫(xiě)出F合的表達(dá)式（與v有關(guān)的變力）以及初速

度v0和末速度v，根據(jù)上面的方程，解出相關(guān)的物理量即可.下面談一談“微元法”在電磁感應(yīng)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用.

二、“微元法”在電磁感應(yīng)問(wèn)題中的應(yīng)用

一些涉及“電磁感應(yīng)”的題目，可以用微元法解，因?yàn)樵陔姶鸥袘?yīng)中，如導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv，感應(yīng)電流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因?yàn)槭亲兞?wèn)題，所以可以用微元法.

例1如圖所示，一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌的一端連接一阻值為R的電阻，其它電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，現(xiàn)給金屬桿一個(gè)水平向右的初速度v0，然后任其運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，試求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離是多少？

解析對(duì)桿進(jìn)行受力分析，桿在豎直平面內(nèi)受到重力、豎直向上的支持力這是一對(duì)平衡力，水平方面上向左的安培力是桿受到的合外力.而且F安隨速度的變小而變小.這是典型變力作用下求位移的題.

解設(shè)桿在減速中的某一時(shí)刻的速度為v，取一極短時(shí)間Δt，發(fā)生了一段極小的位移Δx，在Δt時(shí)間內(nèi)， 磁通量的變化Δ=BLΔx， 感應(yīng)電流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR

安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR， 由于Δt極短，可以認(rèn)為F安=B2L2vR.

由牛頓第二定律在t到t+Δt時(shí)間內(nèi)，Δv=aΔt=F合m=Δt （此處體現(xiàn)了微分思想）

方程兩邊求和：Δv=B2L2vmRΔt （此處體現(xiàn)了積分思想）

方程變形：

Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）

即v0-0=B2L2mRx， 解得：x=mv0RB2l2

三、“微元法”在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用endprint

在近幾年的高考中時(shí)常出現(xiàn)一些涉及物體在變力作用下，做非勻變速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題.學(xué)生在解題時(shí)，感覺(jué)無(wú)從下手.因?yàn)槿粘５慕虒W(xué)和練習(xí)中，大多數(shù)情況只討論恒力作用下的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)于變力問(wèn)題下的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)只作定性分析，很少進(jìn)行定量研究.這類(lèi)問(wèn)題的解決涉及到“微元法”.

一、微元法

所謂“微元法”，又叫“微小變量法”，是解物理題的一種方法.它適用于變力作用下做變速運(yùn)動(dòng)（非勻變速運(yùn)動(dòng)）的情況.用微元法解題目體現(xiàn)了微分和積分的思想.

何為微分思想？例如時(shí)間Δt很短或位移Δx很小時(shí)，非勻變速運(yùn)動(dòng)可以看作勻變速運(yùn)動(dòng)，從v-t圖象中的圖形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.

何為積分思想？如許多小的梯形加起來(lái)為大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表總位移），并且Δv=v-v0，當(dāng)末速度v=0時(shí)，有Δv=v0，或初速度v0=0時(shí)，有Δv=v，這種求和的方法體現(xiàn)了積分思想.

筆者發(fā)現(xiàn)采用“微元法”解決的題目雖然很多，情景多變，但其解題的模式是相似的，都采用關(guān)系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛頓第二定律和加速度定義式的微元式，學(xué)生只要會(huì)受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，寫(xiě)出F合的表達(dá)式（與v有關(guān)的變力）以及初速

度v0和末速度v，根據(jù)上面的方程，解出相關(guān)的物理量即可.下面談一談“微元法”在電磁感應(yīng)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用.

二、“微元法”在電磁感應(yīng)問(wèn)題中的應(yīng)用

一些涉及“電磁感應(yīng)”的題目，可以用微元法解，因?yàn)樵陔姶鸥袘?yīng)中，如導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv，感應(yīng)電流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因?yàn)槭亲兞?wèn)題，所以可以用微元法.

例1如圖所示，一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌的一端連接一阻值為R的電阻，其它電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，現(xiàn)給金屬桿一個(gè)水平向右的初速度v0，然后任其運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，試求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離是多少？

解析對(duì)桿進(jìn)行受力分析，桿在豎直平面內(nèi)受到重力、豎直向上的支持力這是一對(duì)平衡力，水平方面上向左的安培力是桿受到的合外力.而且F安隨速度的變小而變小.這是典型變力作用下求位移的題.

解設(shè)桿在減速中的某一時(shí)刻的速度為v，取一極短時(shí)間Δt，發(fā)生了一段極小的位移Δx，在Δt時(shí)間內(nèi)， 磁通量的變化Δ=BLΔx， 感應(yīng)電流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR

安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR， 由于Δt極短，可以認(rèn)為F安=B2L2vR.

由牛頓第二定律在t到t+Δt時(shí)間內(nèi)，Δv=aΔt=F合m=Δt （此處體現(xiàn)了微分思想）

方程兩邊求和：Δv=B2L2vmRΔt （此處體現(xiàn)了積分思想）

方程變形：

Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）

即v0-0=B2L2mRx， 解得：x=mv0RB2l2

三、“微元法”在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用endprint

在近幾年的高考中時(shí)常出現(xiàn)一些涉及物體在變力作用下，做非勻變速運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題.學(xué)生在解題時(shí)，感覺(jué)無(wú)從下手.因?yàn)槿粘５慕虒W(xué)和練習(xí)中，大多數(shù)情況只討論恒力作用下的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)于變力問(wèn)題下的非勻變速直線運(yùn)動(dòng)只作定性分析，很少進(jìn)行定量研究.這類(lèi)問(wèn)題的解決涉及到“微元法”.

一、微元法

所謂“微元法”，又叫“微小變量法”，是解物理題的一種方法.它適用于變力作用下做變速運(yùn)動(dòng)（非勻變速運(yùn)動(dòng)）的情況.用微元法解題目體現(xiàn)了微分和積分的思想.

何為微分思想？例如時(shí)間Δt很短或位移Δx很小時(shí)，非勻變速運(yùn)動(dòng)可以看作勻變速運(yùn)動(dòng)，從v-t圖象中的圖形可近似看作矩形，所以vΔt=Δx.

何為積分思想？如許多小的梯形加起來(lái)為大的梯形，即Δx=X，（Δx代表微位移，X代表總位移），并且Δv=v-v0，當(dāng)末速度v=0時(shí)，有Δv=v0，或初速度v0=0時(shí)，有Δv=v，這種求和的方法體現(xiàn)了積分思想.

筆者發(fā)現(xiàn)采用“微元法”解決的題目雖然很多，情景多變，但其解題的模式是相似的，都采用關(guān)系式Δv=aΔt=F合mΔt，即牛頓第二定律和加速度定義式的微元式，學(xué)生只要會(huì)受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，寫(xiě)出F合的表達(dá)式（與v有關(guān)的變力）以及初速

度v0和末速度v，根據(jù)上面的方程，解出相關(guān)的物理量即可.下面談一談“微元法”在電磁感應(yīng)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用.

二、“微元法”在電磁感應(yīng)問(wèn)題中的應(yīng)用

一些涉及“電磁感應(yīng)”的題目，可以用微元法解，因?yàn)樵陔姶鸥袘?yīng)中，如導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv，感應(yīng)電流I=BLvR，安培力F=BIL=B2L2Rv，因?yàn)槭亲兞?wèn)題，所以可以用微元法.

例1如圖所示，一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌的一端連接一阻值為R的電阻，其它電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面，現(xiàn)給金屬桿一個(gè)水平向右的初速度v0，然后任其運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，試求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離是多少？

解析對(duì)桿進(jìn)行受力分析，桿在豎直平面內(nèi)受到重力、豎直向上的支持力這是一對(duì)平衡力，水平方面上向左的安培力是桿受到的合外力.而且F安隨速度的變小而變小.這是典型變力作用下求位移的題.

解設(shè)桿在減速中的某一時(shí)刻的速度為v，取一極短時(shí)間Δt，發(fā)生了一段極小的位移Δx，在Δt時(shí)間內(nèi)， 磁通量的變化Δ=BLΔx， 感應(yīng)電流I=ΔΔtR=BLΔxΔtR

安培力F安=BIL=B2L2ΔxΔtR， 由于Δt極短，可以認(rèn)為F安=B2L2vR.

由牛頓第二定律在t到t+Δt時(shí)間內(nèi)，Δv=aΔt=F合m=Δt （此處體現(xiàn)了微分思想）

方程兩邊求和：Δv=B2L2vmRΔt （此處體現(xiàn)了積分思想）

方程變形：

Δv=B2L2mRvΔt （vΔt=x，Δv=v0-0）

即v0-0=B2L2mRx， 解得：x=mv0RB2l2

三、“微元法”在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用endprint