焊接模型的非線性方程組參數(shù)估計(jì)法?

霍 平，張海旺，李寧寧，張光浩，張學(xué)鋒

（1.河北聯(lián)合大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063009；2.唐山開(kāi)元自動(dòng)焊接裝備有限公司，河北 唐山 063020）

0 引言

在以CCD相機(jī)為傳感器的機(jī)器視覺(jué)焊接系統(tǒng)中，往往需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定，以確定世界坐標(biāo)系和圖像坐標(biāo)系的關(guān)系，這樣就可以通過(guò)圖像的尺寸信息導(dǎo)出焊縫實(shí)際尺寸信息。目前研究的透視變換矩陣模型一般都基于小孔成像原理，利用矩陣變換，導(dǎo)出三維空間坐標(biāo)系和二維圖像坐標(biāo)系的關(guān)系，且其數(shù)學(xué)模型一般均為非線性方程。由于方程中參數(shù)的個(gè)數(shù)大于獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)，而且方程中參數(shù)不是相互獨(dú)立的，所以出現(xiàn)了過(guò)參數(shù)化現(xiàn)象。本文運(yùn)用非線性方程組參數(shù)估計(jì)法對(duì)其進(jìn)行了研究，以解決焊接模型標(biāo)定過(guò)程中的過(guò)參數(shù)化問(wèn)題。

1 利用透視變換矩陣建立的焊接模型

基于小孔成像的基本原理和一系列的矩陣變換，建立如圖1所示的焊接數(shù)學(xué)模型［1］。數(shù)學(xué)模型標(biāo)定的實(shí)質(zhì)是推導(dǎo)出世界坐標(biāo)系和圖像坐標(biāo)系的幾何對(duì)應(yīng)關(guān)系。首先應(yīng)建立世界坐標(biāo)系（Xg，Yg，Zg）和物體成像的圖像坐標(biāo)系（Xi，Yi，Zi），世界坐標(biāo)系和圖像坐標(biāo)系都為左手坐標(biāo)系，Oc為圖像坐標(biāo)系的中心，Og為世界坐標(biāo)系的中心。P為線結(jié)構(gòu)光的平面，Zi軸斜向下，與光平面P相交于Og點(diǎn)。世界坐標(biāo)系Zg軸在光平面P內(nèi)，且在圖像坐標(biāo)系Zi軸與Xi軸所決定的平面內(nèi)，方向朝上。由左手坐標(biāo)系確定Xg軸。Yg軸平行于Yi軸，其目的是減少系統(tǒng)標(biāo)定的參數(shù)，簡(jiǎn)化模型。

由透視變換矩陣的數(shù)學(xué)模型可以得出：

其中：Vi為物體在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；Vo為物體在圖像中的坐標(biāo)；H為總的變換矩陣，具體表達(dá)式見(jiàn)參考文獻(xiàn)［1］。

圖1 焊接數(shù)學(xué)模型

但是在實(shí)際應(yīng)用中我們要解決的是由圖像坐標(biāo)求解出世界坐標(biāo)。設(shè)H－1為H的逆矩陣，則有：

其中：f為透鏡中心到像平面的距離；β為Zi軸和光平面P的夾角；Dpc為像面中心到光平面的垂直距離；Dgp為Op到圖像坐標(biāo)系的水平距離，如圖1所示。

2 傳統(tǒng)的焊接系統(tǒng)標(biāo)定過(guò)程

焊接模型的方程可以表示為：其中：u和v為圖像像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；M1為攝像機(jī)的內(nèi)部參數(shù)矩陣；M2為攝像機(jī)的外部參數(shù)矩陣；mij為M1和M2相乘后的系數(shù)矩陣。

焊接系統(tǒng)的標(biāo)定其實(shí)就是對(duì)式（1）和式（3）的未知參數(shù)進(jìn)行求解。由于未知數(shù)個(gè)數(shù)大于有效的方程個(gè)數(shù)，故各參數(shù)之間并不是相互獨(dú)立的，為了能夠求解出方程，就必須找出至少6個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

消去Zi即可得到如下方程組：

式（4）可簡(jiǎn)寫(xiě)為：

其中：m為攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)和外部參數(shù)相乘后的系數(shù)矩陣；U為常系數(shù)矩陣；K為已知的標(biāo)定點(diǎn)參數(shù)。式（5）的最小二乘法解為m＝（KTK）－1KTU。求解了m矩陣就可以求得內(nèi)部參數(shù)矩陣M1和外部參數(shù)矩陣M2，進(jìn)而就可以求得模型的各參數(shù)數(shù)值。

3 焊接模型的非線性方程組參數(shù)估計(jì)法

一般地，設(shè)L為求解目標(biāo)函數(shù)，X＝［Xg1，Xg2，…，Xgn］T為未知參數(shù)矩陣，Δ為誤差向量，則非線性方程組可寫(xiě)為［4］：

設(shè)參數(shù)X的估計(jì)值為Xo，則求解非線性模型的估計(jì)值就是求參數(shù)X的估計(jì)值Xo，使：

由于f（Xo）是Xo的非線性函數(shù)，因此無(wú)法對(duì)式（6）求導(dǎo)，只能尋找近似解使X＊滿足如下關(guān)系式：

其中：R（X＊）為近似的目標(biāo)函數(shù)；R（Xo）為待求的目標(biāo)函數(shù)。

利用泰勒公式在Xk附近展開(kāi)，去二項(xiàng)得：

其中：dXk＝X＊－Xk。由此可以得到迭代公式：

可以根據(jù)最小二乘法求解的數(shù)值作為X的初始值，代入式（12）進(jìn)行求解。本方法對(duì)于簡(jiǎn)單模型求解方便，而對(duì)于復(fù)雜模型的求解，可根據(jù)如圖2所示的計(jì)算非線性方程組參數(shù)的程序流程進(jìn)行求解。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文需要標(biāo)定的設(shè)備如圖3所示。

本文所提出的實(shí)驗(yàn)，選取的數(shù)學(xué)模型較為簡(jiǎn)單，以方便驗(yàn)證兩種不同的理論方法。選取的參數(shù)如下：攝像機(jī)的鏡頭焦距為12mm，β為15°，Dgp為70mm。本實(shí)驗(yàn)的標(biāo)定值均為多次標(biāo)定的平均值。標(biāo)定結(jié)果見(jiàn)表1。

圖2 計(jì)算非線性方程組參數(shù)的程序流程圖

圖3 需要標(biāo)定的設(shè)備

表1 標(biāo)定結(jié)果

本實(shí)驗(yàn)主要采用了傳統(tǒng)標(biāo)定法和非線性方程組法標(biāo)定兩種方法，分別在有干擾和無(wú)干擾的情況下進(jìn)行。由于電弧干擾的存在，導(dǎo)致標(biāo)定板上特征點(diǎn)的提取不準(zhǔn)確，從而影響標(biāo)定參數(shù)的準(zhǔn)確性。對(duì)比表1中的標(biāo)定值，當(dāng)實(shí)驗(yàn)有電弧干擾和沒(méi)有電弧干擾時(shí)，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果誤差較大，電弧的干擾很強(qiáng)。即使在新方法中，電弧的干擾也是不可去除的，因?yàn)樾路椒ǖ某踔狄蕾囉趥鹘y(tǒng)方法的計(jì)算結(jié)果。新方法的計(jì)算精度還取決于程序中的迭代次數(shù)，由于計(jì)算的實(shí)時(shí)要求，所以迭代次數(shù)不可能很大，因此限制了計(jì)算的精度，但是從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)上還是可以分析出新的計(jì)算方法要優(yōu)于傳統(tǒng)的標(biāo)定方法。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在透視變換矩陣焊接模型基礎(chǔ)上，介紹了標(biāo)定過(guò)程中的關(guān)鍵步驟。對(duì)焊接模型參數(shù)運(yùn)用傳統(tǒng)的最小二乘法進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)。針對(duì)傳統(tǒng)標(biāo)定的過(guò)參數(shù)化問(wèn)題，提出了焊接模型的非線性方程組參數(shù)估計(jì)法，對(duì)焊接模型的參數(shù)進(jìn)行了重新估計(jì)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明非線性方程組參數(shù)估計(jì)法在求解焊接模型參數(shù)時(shí)還是很有效的。

［1］ 賀忠海，王寶光.線結(jié)構(gòu)光傳感器的模型及成像公式［J］.光學(xué)精密工程，2001，6（3）：270－273.

［2］ 姜勇.攝像機(jī)標(biāo)定算法庫(kù)的設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證［D］.青島：青島大學(xué)：2006：36－40.

［3］ 張國(guó)亮，趙彥玲，王一文，等.焊縫視覺(jué)跟蹤系統(tǒng)中標(biāo)定算法的研究［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（1）：27－31.

［4］ 王新洲.非線性模型參數(shù)估計(jì)理論與應(yīng)用［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2002.