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    工業(yè)機(jī)器人笛卡爾空間軌跡規(guī)劃

    2014-12-31 11:08:46江五講
    機(jī)械工程與自動(dòng)化 2014年5期
    關(guān)鍵詞:補(bǔ)點(diǎn)位姿圓弧

    林 威,江五講

    (華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,湖北 武漢 430074)

    0 引言

    在機(jī)器人笛卡爾空間規(guī)劃系統(tǒng)中,作業(yè)是用末端位姿的齊次變換矩陣序列規(guī)定的,軌跡規(guī)劃就是根據(jù)描述的作業(yè)計(jì)算出運(yùn)動(dòng)的位移、速度和加速度,生成運(yùn)動(dòng)軌跡[1]。工業(yè)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃既可以在關(guān)節(jié)空間也可以在笛卡爾空間中進(jìn)行,但是軌跡曲線都必須平滑,以保證機(jī)器人運(yùn)行平穩(wěn)。關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃相對(duì)簡(jiǎn)單,但是其末端的運(yùn)動(dòng)軌跡不直觀;笛卡爾空間的軌跡規(guī)劃不僅概念上直觀,而且規(guī)劃的路徑準(zhǔn)確,可以清晰地觀測(cè)到末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡[2,3]。目前工業(yè)機(jī)器人使用的最廣泛的方法是示教再現(xiàn),也就是根據(jù)任務(wù)的需要,記錄軌跡上一些關(guān)鍵點(diǎn),而要想使末端執(zhí)行器嚴(yán)格地按照所要求的軌跡運(yùn)動(dòng),則必須取得足夠多的點(diǎn)。機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡一般都是圓弧或者直線,復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)軌跡一般用直線和圓弧對(duì)其擬合而得到,這是機(jī)器人實(shí)現(xiàn)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)鍵[4,5]。本文提出了利用拋物線過(guò)渡的空間直線插補(bǔ)算法和基于局部坐標(biāo)系的空間圓弧插補(bǔ)算法,保證了實(shí)驗(yàn)室自行設(shè)計(jì)的五自由度噴涂機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性。

    1 基于拋物線過(guò)渡的空間直線插補(bǔ)

    直線的軌跡規(guī)劃是已知直線的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置和姿態(tài),求解直線軌跡上插補(bǔ)點(diǎn)的位置和姿態(tài),并保證機(jī)器人位置及姿態(tài)平穩(wěn)過(guò)渡。

    假設(shè)機(jī)器人末端由P1點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到P2點(diǎn),(x1,y1,z1)和(α1,β1,γ1)分別為起點(diǎn)P1的位置和RPY角,(x2,y2,z2)和(α2,β2,γ2)分別為終點(diǎn)P2的位置和 RPY 角,(xi,yi,zi)和(αi,βi,γi)分別為中間插補(bǔ)點(diǎn)Pi的位置和RPY角,如圖1所示。

    各插補(bǔ)點(diǎn)的位置和姿態(tài)可由公式(1)求出:

    其中:λ為歸一化因子;Δx,Δy,Δz,Δα,Δβ,Δγ為位置和RPY角的增量,其求解如下:

    λ歸一化因子采用拋物線過(guò)渡的線性函數(shù),以保證整段軌跡上的位移和速度都連續(xù)。拋物線過(guò)渡的線性函數(shù)是對(duì)兩點(diǎn)的位姿使用線性插值時(shí),在兩點(diǎn)的鄰域內(nèi)增加一段拋物線的緩沖區(qū)段。假設(shè)兩端的拋物線運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等,即在兩個(gè)過(guò)渡區(qū)域中的加速度值相同、符號(hào)相反。設(shè)λ′為λ對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),λ′隨時(shí)間t變化的曲線如圖2所示。

    圖1 直線運(yùn)動(dòng)示意圖

    設(shè)直線段的速度為v,拋物線段的加速度為a,那么拋物線段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間Tp和位移Lp分別為:

    直線運(yùn)動(dòng)總位移和時(shí)間分別為:

    對(duì)拋物線段的位移、時(shí)間、加速度歸一化處理得:

    則λ的計(jì)算公式為:

    其中:t=i/N,i=0,1,2,…,N,N為插補(bǔ)點(diǎn)個(gè)數(shù),i=0代表起點(diǎn),i=N代表終點(diǎn)。將所求λ代入式(2)即可求得各插補(bǔ)點(diǎn)的位置和姿態(tài)。求得各插補(bǔ)點(diǎn)的位置和姿態(tài)后,再通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解,可以得到各插補(bǔ)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角度值。

    圖2 λ′隨時(shí)間t變化的曲線

    2 基于局部坐標(biāo)系的空間圓弧插補(bǔ)

    假設(shè)機(jī)器人末端執(zhí)行器從起始位置P1經(jīng)過(guò)中間點(diǎn)P2到達(dá)終點(diǎn)P3,若這3點(diǎn)不共線,則一定存在從P1經(jīng)P2到P3的圓弧。按照以下步驟進(jìn)行空間圓弧的軌跡點(diǎn)位置的插補(bǔ),如圖3所示。

    圖3 坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系

    (1)求圓心坐標(biāo)P0(x0,y0,z0)及半徑R。由P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)三點(diǎn)可確定平面,得方程:

    根據(jù)圓心到三點(diǎn)的距離都為半徑可列出下列方程:

    (2)建立圓弧所在平面的新坐標(biāo)系。取圓心P0為新坐標(biāo)系原點(diǎn)O′,P0P1方向?yàn)閤′軸方向,其單位方向向量為:

    P1P2和P2P3決定圓弧所在平面,取垂直于此平面的方向?yàn)閦′軸,其單位方向向量為:

    根據(jù)右手法則,y′軸的單位方向向量為:

    用齊次變換矩陣TR描述新坐標(biāo)系O′-x′y′z′相對(duì)于原坐標(biāo)系O-xyz的位姿,則:

    (3)將P1,P2,P3,P0從原坐標(biāo)系O-xyz變換到新坐標(biāo)系O′-x′y′z′。設(shè)P1,P2,P3,P0在原坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)值分別為(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),(x0,y0,z0),在新坐標(biāo)系O′-x′y′z′中的坐標(biāo)值分別為(x′1,y′1,z′1),(x′2,y′2,z′2),(x′3,y′3,z′3),(x′0,y′0,z′0),則:

    由建立的新坐標(biāo)系O′-x′y′z′可知:x′0=y(tǒng)′0=z′0=0,z′1=z′2=z′3=0,x′1=R。

    (4)在新坐標(biāo)系O′-x′y′z′上進(jìn)行圓弧插補(bǔ)。設(shè)圓弧上一點(diǎn)p在O′-x′y′z′中的坐標(biāo)為(x′,y′,z′),對(duì)應(yīng)的歸一化因子為λ,從P1到p的角度為θ,從P1到P3的角度為θ′,則:

    (5)將新坐標(biāo)系上的插補(bǔ)點(diǎn)的值轉(zhuǎn)換到原坐標(biāo)系中。設(shè)點(diǎn)p在原坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)值為(x,y,z),對(duì)應(yīng)的p′在新坐標(biāo)系O′-x′y′z′中的坐標(biāo)值為(x′,y′,z′),則:

    根據(jù)以上步驟,可以得到圓弧上各插補(bǔ)點(diǎn)的位置。各插補(bǔ)點(diǎn)的姿態(tài)可由下面方程求出:

    求得各插補(bǔ)點(diǎn)的位置和姿態(tài)后,再通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解,可以得到各插補(bǔ)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角度值。

    3 實(shí)驗(yàn)分析

    以實(shí)驗(yàn)室自行設(shè)計(jì)的五自由度噴涂機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)平臺(tái),驗(yàn)證以上算法。該機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示。

    圖4 噴涂機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖

    對(duì)于直線運(yùn)動(dòng),給定機(jī)器人末端起點(diǎn)、終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角度;對(duì)于空間圓弧運(yùn)動(dòng),給定機(jī)器人末端起點(diǎn)、中間點(diǎn)、終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角度,通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求出兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位姿矩陣,然后采用前面提出的軌跡規(guī)劃算法進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算,得到各插補(bǔ)點(diǎn)的位姿,最后通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解,求得各插補(bǔ)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)角度。通過(guò)示教的方式進(jìn)行實(shí)驗(yàn),由軌跡規(guī)劃得到的結(jié)果畫出各關(guān)節(jié)角度變化圖,設(shè)定運(yùn)動(dòng)為一段空間直線P1P2、一段平面圓弧P2P3P4、一段空間圓弧P4P5P6,如圖5所示,得到的各關(guān)節(jié)角度隨時(shí)間的變化如圖6所示。圖6中,θ1,θ2,θ3,θ4和θ5分別對(duì)應(yīng)圖4中關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3、關(guān)節(jié)4和關(guān)節(jié)5的角度。

    根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)分析可知,按照示教的軌跡,采用基于拋物線過(guò)渡的空間直線插補(bǔ)算法和基于局部坐標(biāo)系的空間圓弧插補(bǔ)算法,使實(shí)驗(yàn)五自由度噴涂機(jī)器人成功按照要求的軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng),且運(yùn)行平穩(wěn),軌跡銜接平滑。

    圖5 設(shè)定的運(yùn)動(dòng)軌跡圖

    圖6 各關(guān)節(jié)角度隨時(shí)間變化圖

    4 結(jié)束語(yǔ)

    空間直線和圓弧的軌跡規(guī)劃算法是最基礎(chǔ)的算法,已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人中。以自行設(shè)計(jì)的五自由度噴涂機(jī)器人為實(shí)驗(yàn)平臺(tái),通過(guò)示教的方式,記錄一系列離散的關(guān)節(jié)角度,再通過(guò)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解,求出這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的末端執(zhí)行器的位姿,在笛卡爾空間中,根據(jù)設(shè)定的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行軌跡規(guī)劃,計(jì)算各插補(bǔ)點(diǎn)的位姿,再通過(guò)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)反解,將這些插補(bǔ)點(diǎn)的位姿反解為關(guān)節(jié)角度,最后由這些關(guān)節(jié)角控制機(jī)器人末端執(zhí)行器沿著規(guī)劃的軌跡運(yùn)動(dòng)。由于采用了基于拋物線過(guò)渡的空間直線插補(bǔ)算法和基于局部坐標(biāo)系的空間圓弧插補(bǔ)算法,保證了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)、平滑。

    [1] 熊有倫.機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1996.

    [2] 盧君宜,楊慶華,高峰,等.五自由度農(nóng)業(yè)采摘機(jī)器人軌跡規(guī)劃[J].機(jī)電工程,2010(12):1-6.

    [3] 張凱,劉成良,付莊,等.6R機(jī)器人軌跡規(guī)劃及其在焊接中的應(yīng)用[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2002(10):20-23.

    [4] 王悅善,陳曾漢.嵌入式數(shù)控系統(tǒng)實(shí)時(shí)插補(bǔ)加減速控制算法研究[J].煤炭技術(shù),2012(2):25-26.

    [5] 王衛(wèi)忠,趙杰,高永生,等.機(jī)器人的平面曲線軌跡規(guī)劃方法[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2008(3):389-392.

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