3-RRR并聯(lián)機構(gòu)靈巧度分析

杜聿靜，王 雷

（潞安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 長治 046204）

0 引言

當(dāng)一并聯(lián)機構(gòu)處于奇異位形時，經(jīng)計算可得出，該機構(gòu)此時的雅可比矩陣為零或者趨于無窮大，這意味著該機構(gòu)被剛化或者存在多余的自由度，此時機構(gòu)的運動不能唯一確定，因此，機構(gòu)應(yīng)在實際操作中盡量地避免奇異位形。理論上講，當(dāng)并聯(lián)機構(gòu)的位姿接近奇異位形時，機構(gòu)的雅可比矩陣會成為病態(tài)矩陣，繼而造成機構(gòu)逆矩陣的精度降低，這種衡量機構(gòu)運動失真程度的指標(biāo)稱為靈巧度。并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度屬于一種運動學(xué)性能指標(biāo)，它是用來描述機構(gòu)輸出運動（力）與輸入之間的失真程度，同時還可以定量衡量機構(gòu)遠(yuǎn)離奇異點的程度。雅可比矩陣的條件數(shù)、可操作數(shù)則是衡量并聯(lián)機構(gòu)靈巧度的常用指標(biāo)。本文主要利用可操作數(shù)和條件數(shù)來對3-RRR并聯(lián)機構(gòu)進行靈巧度分析。

1 3-RRR并聯(lián)機構(gòu)三維模型的建立

SolidWorks軟件是世界上第一個基于Windows開發(fā)的三維CAD軟件系統(tǒng)。功能強大、易學(xué)易用和技術(shù)創(chuàng)新是SolidWorks軟件的3大特點，這使得SolidWorks軟件成為領(lǐng)先的、主流的三維CAD解決方案。由于SolidWorks軟件能夠提供多種不同的設(shè)計方案、極大地減少了設(shè)計過程中的錯誤，因而Solid-Works軟件也成為機械設(shè)計行業(yè)中應(yīng)用最廣泛的三維建模軟件之一。

首先利用SolidWorks軟件建立出3-RRR并聯(lián)機構(gòu)的三維模型，如圖1所示。該機構(gòu)由3個相互并聯(lián)的分支、靜平臺和動平臺3部分構(gòu)成。其中每個分支又由3個轉(zhuǎn)動副串聯(lián)而成，而且每個分支的結(jié)構(gòu)和桿長完全一致。3個高度等各項參數(shù)完全一致的固定鉸支座構(gòu)成了3-RRR并聯(lián)機構(gòu)的靜平臺。3個分支下端分別鉸接在靜平臺上，分支的另一端則鉸接在三角形的動平臺上。

圖1 3-RRR并聯(lián)機構(gòu)模型

2 建立空間坐標(biāo)系并計算各運動螺旋

根據(jù)所建立的三維模型，采用D－H法建立3-RRR并聯(lián)機構(gòu)的空間坐標(biāo)系。當(dāng)該機構(gòu)處于任意位姿時，選取任一固定鉸支座的旋轉(zhuǎn)中心如點A為原點，點A與另外兩個鉸支座旋轉(zhuǎn)中心點G、點D的連線AG、AD分別為x和z軸（AG⊥AD），垂直于3個固定鉸支座所在平面且過點A的直線為y軸；同時假設(shè)與靜平臺相鉸接的3個連桿均垂直于DOG面，與動平臺相鉸接的3個連桿均相對于鉛垂線偏移同樣的角度，故而，動平臺與靜平臺在運動過程中一直保持著互相平行的關(guān)系，而且將動平臺和靜平臺上的各鉸接點分別連線后形成的兩個三角形CFI和AGD為全等的直角三角形。由此，我們建立出該并聯(lián)機構(gòu)的空間坐標(biāo)系［1］，如圖2所示。

根據(jù)螺旋理論公式計算機構(gòu)的各螺旋：

其中：＄n為螺旋，n＝1，2，…，9；Sn為螺旋軸線的方向矢量，為螺旋的原部；S0n為螺旋軸線的位置矢量，為螺旋的對偶部。

圖2 3-RRR機構(gòu)坐標(biāo)系

通過式（1）可計算出并聯(lián)機構(gòu)的各螺旋為：

A點：＄1＝［0 0 1；0 0 0］，

B點：＄2＝［0 1 0；y20x2］，

C點：＄3＝［0 0 1；y3－x30］，

D點：＄4＝［0 0 1；0 0 0］，

E點：＄5＝［0 1 0；－z50 0］，

F點：＄6＝［0 0 1；y6－x60］，

G點：＄7＝［0 0 1；0 －x70］，

H點：＄8＝［0 1 0；0 0x8］，

I點：＄9＝［0 0 1；y9－x90］.

從而可得出3-RRR并聯(lián)機構(gòu)的運動螺旋系為：

3 求解機構(gòu)任意位形時的雅可比矩陣

運動雅可比矩陣也可稱為一階運動影響系數(shù)矩陣，通過以下步驟進行計算［2］。

（1）根據(jù)公式（2）求出平臺轉(zhuǎn)動對分支運動副變量的一階偏導(dǎo)影響系數(shù)矩陣［GhΦ］：

其中：Sn可直接引用前面的結(jié)果。該機構(gòu)為全轉(zhuǎn)動副，由此可得：

（2）取FI的中點為P點，如圖3所示。設(shè)Rn為機構(gòu)上各鉸點的坐標(biāo)，根據(jù)公式（3）求出平臺移動對分支運動副變量的一階偏導(dǎo)影響系數(shù)矩陣［Gpφ］：

其中：j為運動副的數(shù)目。設(shè)圖3中AD＝AG＝CI＝FC＝a，AC＝FD＝IG＝b，CB，F(xiàn)E，IH與y軸夾角為θ。可得P點的坐標(biāo)為（0.5a，b，0.5a），R1即A點的坐標(biāo)為（0，0，0），R2即B點的坐標(biāo)為（0，0.5b，0），R3即C點的坐標(biāo)為（0，b，－0.5bsinθ），R4即D點的坐標(biāo)為（0，0，a），R5即E點的坐標(biāo)為（0，0.5b，a），R6即F點的坐標(biāo)為（0，b，a－0.5bsinθ），R7即G點的坐標(biāo)為（a，0，0），R8即H點的坐標(biāo)為（a，0.5b，0），R9即I點的坐標(biāo)為（a，b，－0.5bsinθ）。據(jù)此可得：

圖3 P點位置

該機構(gòu)為全轉(zhuǎn)動副，由此可得：

（3）根據(jù)式（4）求出該機構(gòu)的一階運動影響系數(shù)矩陣［］，即運動雅可比矩陣J（q）：

4 3-RRR并聯(lián)機構(gòu)的靈巧度分析

機構(gòu)的靈巧度可通過雅可比矩陣的條件數(shù)、最小奇異值、條件數(shù)的倒數(shù)、可操作數(shù)等來衡量，本文利用可操作數(shù)和條件數(shù)對機構(gòu)進行靈巧度分析。

4.1 利用可操作數(shù)w來衡量

可操作數(shù)w由下式計算：

其中：σ1，σ2，…，σm為J（q）的奇異值。

若w＝0，則機構(gòu)奇異；反之若w≠0，則機構(gòu)不奇異。很明顯根據(jù)式（4）求得J（q）＝0，再由式（5）可計算得出w＝0，故而該并聯(lián)機構(gòu)此時處于奇異位形［3］。

4.2 利用雅可比矩陣的條件數(shù)K（J）來衡量

首先要求出雅可比矩陣的奇異值，考慮計算的復(fù)雜程度，本文通過求雅可比矩陣的特征值來求解奇異值。經(jīng)過變換整理可得：

由式（6）可得雅可比矩陣的奇異值σi＝，其中λi為雅可比矩陣的特征值，i＝1，2，…，6，0≤σm≤…≤σ2≤σ1。由于σm＝0，從而可得出｜J（q）｜＝σ1σ1…σm＝0，K（J）＝

條件數(shù)的范圍是：1～＋∞，當(dāng)條件數(shù)為1時，求逆精度最高；當(dāng)條件數(shù)趨于無窮時，該機構(gòu)的雅可比矩陣奇異，所以該機構(gòu)此時處于奇異位形。

5 結(jié)論

本文利用SolidWorks軟件建立了3-RRR并聯(lián)機構(gòu)的三維模型，利用D－H法建立了該并聯(lián)機構(gòu)的空間坐標(biāo)系，并由此利用螺旋理論計算出該并聯(lián)機構(gòu)的各運動螺旋，建立運動螺旋系，據(jù)此求出該并聯(lián)機構(gòu)的運動雅可比矩陣，并對該并聯(lián)機構(gòu)的一階運動影響系數(shù)進行分析，求出可操作數(shù)和條件數(shù)，對機構(gòu)的靈巧度進行分析。得出分析結(jié)果：該機構(gòu)處于任意位形時，它的雅可比矩陣都必定奇異。同時發(fā)現(xiàn)該機構(gòu)運動時只可以繞y軸和z軸轉(zhuǎn)動，不能繞x軸轉(zhuǎn)動，缺乏一個x方向的自由度。

［1］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構(gòu)學(xué)［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2006.

［2］熊有倫.機器人學(xué)［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1993.

［3］楊玉維，趙新華.3-RRRT并聯(lián)機器人工作空間與靈巧度分析［J］.機械設(shè)計，2005（2）：11-13.