帶點(diǎn)粒子在對(duì)稱磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題

周靜

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，能夠綜合考查受力、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、磁學(xué)等多個(gè)知識(shí)要點(diǎn)，成為歷年高考的熱點(diǎn)，同時(shí)也成為學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn).帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題型多，變化大，其中粒子在對(duì)稱磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是一種典型類型.突破這類問題，一要抓住解決帶粒子在磁場(chǎng)中的一般方法，二要緊扣運(yùn)動(dòng)中的對(duì)稱性，三要找到磁場(chǎng)分界中粒子運(yùn)動(dòng)中的聯(lián)系點(diǎn)，就會(huì)使問題得以突破.

一、豎直分界對(duì)稱磁場(chǎng)

例1兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示.在y>0，00，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.在O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場(chǎng)，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮. 入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值.已知速度最大的粒子在0a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2∶5，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期.試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）.

解析粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由qvB=mv2/r可得半徑

r=mv/qB ①

速度小的粒子將在x

對(duì)于x軸上光屏亮線范圍的臨界條件如圖所示：軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點(diǎn)相切（如圖3中的虛線），OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界.

速度最大的粒子的軌跡如圖3中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C′，C在y軸上，由對(duì)稱性可知C′在x=2a直線上.

設(shè)t1為粒子在0a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知t1∶t2=2∶5，t1+t2=7T/12，

由此解得t1=T/6 ②

t2=5T/12 ③

由②、③式和對(duì)稱性可得∠OCM=60° ④

∠MC′N=60° ⑤

∠MC′P=360°×5/12=150°⑥

所以∠NC′P=150°-60°=90° ⑦

即圓弧NP為1/4圓周.因此，圓心C′在x軸上.

[JP3]設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R，由直角△COC′可得 [JP]

2Rsin60°=2a

解得R=23a3 ⑧

由圖3可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)x=2（1+33）a，所以在x軸上的發(fā)亮范圍是2a≤x≤2（1+33）a，在y軸上的發(fā)亮范圍是0≤y≤2a.

點(diǎn)評(píng)帶電粒子在有界不同磁場(chǎng)中的連續(xù)運(yùn)動(dòng)問題，一要分別根據(jù)進(jìn)入和離開磁場(chǎng)的點(diǎn)的速度方向確定帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，進(jìn)而畫出帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡；二是找準(zhǔn)由一個(gè)磁場(chǎng)進(jìn)入另一磁場(chǎng)這一關(guān)鍵點(diǎn)，確定出這一關(guān)鍵點(diǎn)的速度方向.三要從粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中找到它們運(yùn)動(dòng)對(duì)稱的特點(diǎn)，從而準(zhǔn)確切入幾何關(guān)系.

二、間隔對(duì)稱磁場(chǎng)

例2扭擺器是同步輻射裝置中的插入件，能使粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生扭擺.其簡(jiǎn) 化模型如圖：Ⅰ、Ⅱ兩處的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)邊界豎直，相距為L(zhǎng)，磁場(chǎng)方向相反且垂直紙面.一質(zhì)量為m、電量為-q、重力不計(jì)的粒子，從靠近平行板電容器MN板處由靜止釋放，極板間電壓為U，粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后平行于紙面射入Ⅰ區(qū)，射入時(shí)速度與水平和方向夾角 .

（1）當(dāng)Ⅰ區(qū)寬度L1=L、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1=B0時(shí)，粒子從Ⅰ區(qū)右邊界射出時(shí)速度與水平方向夾角也為 ，求B0及粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t0.

（2）若Ⅱ區(qū)寬度L2=L1=L磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ區(qū)的最高點(diǎn)與Ⅱ區(qū)的最低點(diǎn)之間的高度差h.

（3）若L2=L1=L、B1=B0，為使粒子能返回Ⅰ區(qū)，求B2應(yīng)滿足的條件.

（4）若B1≠B2，L1≠L2，且已保證了粒子能從Ⅱ區(qū)右邊界射出.為使粒子從Ⅱ區(qū)右邊界射出的方向與從Ⅰ區(qū)左邊界射出的方向總相同，求B1、B2、L1、L2、之間應(yīng)滿足的關(guān)系式.

解析如圖5所示，設(shè)粒子射入磁場(chǎng)I區(qū)的速 度為v，在磁場(chǎng)I區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R1，由動(dòng)能定理和牛頓第二定律得

qU=12mv2 ①

qvB0=mv2R1 ②

由幾何關(guān)系得 R1=L2=L③

聯(lián)立①②③得 B0=1L2mUq④

設(shè)粒子在I區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)周期為T，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

T=2πR1v ⑤

tT=2θ360° ⑥

聯(lián)立①③⑤⑥式解得 t=πL3m2qU⑦

（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R2，由牛頓第二定律得

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，能夠綜合考查受力、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、磁學(xué)等多個(gè)知識(shí)要點(diǎn)，成為歷年高考的熱點(diǎn)，同時(shí)也成為學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn).帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題型多，變化大，其中粒子在對(duì)稱磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是一種典型類型.突破這類問題，一要抓住解決帶粒子在磁場(chǎng)中的一般方法，二要緊扣運(yùn)動(dòng)中的對(duì)稱性，三要找到磁場(chǎng)分界中粒子運(yùn)動(dòng)中的聯(lián)系點(diǎn)，就會(huì)使問題得以突破.

一、豎直分界對(duì)稱磁場(chǎng)

例1兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示.在y>0，00，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.在O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場(chǎng)，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮. 入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值.已知速度最大的粒子在0a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2∶5，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期.試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）.

解析粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由qvB=mv2/r可得半徑

r=mv/qB ①

速度小的粒子將在x

對(duì)于x軸上光屏亮線范圍的臨界條件如圖所示：軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點(diǎn)相切（如圖3中的虛線），OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界.

速度最大的粒子的軌跡如圖3中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C′，C在y軸上，由對(duì)稱性可知C′在x=2a直線上.

設(shè)t1為粒子在0a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知t1∶t2=2∶5，t1+t2=7T/12，

由此解得t1=T/6 ②

t2=5T/12 ③

由②、③式和對(duì)稱性可得∠OCM=60° ④

∠MC′N=60° ⑤

∠MC′P=360°×5/12=150°⑥

所以∠NC′P=150°-60°=90° ⑦

即圓弧NP為1/4圓周.因此，圓心C′在x軸上.

[JP3]設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R，由直角△COC′可得 [JP]

2Rsin60°=2a

解得R=23a3 ⑧

由圖3可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)x=2（1+33）a，所以在x軸上的發(fā)亮范圍是2a≤x≤2（1+33）a，在y軸上的發(fā)亮范圍是0≤y≤2a.

點(diǎn)評(píng)帶電粒子在有界不同磁場(chǎng)中的連續(xù)運(yùn)動(dòng)問題，一要分別根據(jù)進(jìn)入和離開磁場(chǎng)的點(diǎn)的速度方向確定帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，進(jìn)而畫出帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡；二是找準(zhǔn)由一個(gè)磁場(chǎng)進(jìn)入另一磁場(chǎng)這一關(guān)鍵點(diǎn)，確定出這一關(guān)鍵點(diǎn)的速度方向.三要從粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中找到它們運(yùn)動(dòng)對(duì)稱的特點(diǎn)，從而準(zhǔn)確切入幾何關(guān)系.

二、間隔對(duì)稱磁場(chǎng)

例2扭擺器是同步輻射裝置中的插入件，能使粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生扭擺.其簡(jiǎn) 化模型如圖：Ⅰ、Ⅱ兩處的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)邊界豎直，相距為L(zhǎng)，磁場(chǎng)方向相反且垂直紙面.一質(zhì)量為m、電量為-q、重力不計(jì)的粒子，從靠近平行板電容器MN板處由靜止釋放，極板間電壓為U，粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后平行于紙面射入Ⅰ區(qū)，射入時(shí)速度與水平和方向夾角 .

（1）當(dāng)Ⅰ區(qū)寬度L1=L、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1=B0時(shí)，粒子從Ⅰ區(qū)右邊界射出時(shí)速度與水平方向夾角也為 ，求B0及粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t0.

（2）若Ⅱ區(qū)寬度L2=L1=L磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ區(qū)的最高點(diǎn)與Ⅱ區(qū)的最低點(diǎn)之間的高度差h.

（3）若L2=L1=L、B1=B0，為使粒子能返回Ⅰ區(qū)，求B2應(yīng)滿足的條件.

（4）若B1≠B2，L1≠L2，且已保證了粒子能從Ⅱ區(qū)右邊界射出.為使粒子從Ⅱ區(qū)右邊界射出的方向與從Ⅰ區(qū)左邊界射出的方向總相同，求B1、B2、L1、L2、之間應(yīng)滿足的關(guān)系式.

解析如圖5所示，設(shè)粒子射入磁場(chǎng)I區(qū)的速 度為v，在磁場(chǎng)I區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R1，由動(dòng)能定理和牛頓第二定律得

qU=12mv2 ①

qvB0=mv2R1 ②

由幾何關(guān)系得 R1=L2=L③

聯(lián)立①②③得 B0=1L2mUq④

設(shè)粒子在I區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)周期為T，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

T=2πR1v ⑤

tT=2θ360° ⑥

聯(lián)立①③⑤⑥式解得 t=πL3m2qU⑦

（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R2，由牛頓第二定律得

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，能夠綜合考查受力、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、磁學(xué)等多個(gè)知識(shí)要點(diǎn)，成為歷年高考的熱點(diǎn)，同時(shí)也成為學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn).帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題型多，變化大，其中粒子在對(duì)稱磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是一種典型類型.突破這類問題，一要抓住解決帶粒子在磁場(chǎng)中的一般方法，二要緊扣運(yùn)動(dòng)中的對(duì)稱性，三要找到磁場(chǎng)分界中粒子運(yùn)動(dòng)中的聯(lián)系點(diǎn)，就會(huì)使問題得以突破.

一、豎直分界對(duì)稱磁場(chǎng)

例1兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示.在y>0，00，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.在O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場(chǎng)，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮. 入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值.已知速度最大的粒子在0a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2∶5，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期.試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）.

解析粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由qvB=mv2/r可得半徑

r=mv/qB ①

速度小的粒子將在x

對(duì)于x軸上光屏亮線范圍的臨界條件如圖所示：軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點(diǎn)相切（如圖3中的虛線），OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界.

速度最大的粒子的軌跡如圖3中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C′，C在y軸上，由對(duì)稱性可知C′在x=2a直線上.

設(shè)t1為粒子在0a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知t1∶t2=2∶5，t1+t2=7T/12，

由此解得t1=T/6 ②

t2=5T/12 ③

由②、③式和對(duì)稱性可得∠OCM=60° ④

∠MC′N=60° ⑤

∠MC′P=360°×5/12=150°⑥

所以∠NC′P=150°-60°=90° ⑦

即圓弧NP為1/4圓周.因此，圓心C′在x軸上.

[JP3]設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R，由直角△COC′可得 [JP]

2Rsin60°=2a

解得R=23a3 ⑧

由圖3可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)x=2（1+33）a，所以在x軸上的發(fā)亮范圍是2a≤x≤2（1+33）a，在y軸上的發(fā)亮范圍是0≤y≤2a.

點(diǎn)評(píng)帶電粒子在有界不同磁場(chǎng)中的連續(xù)運(yùn)動(dòng)問題，一要分別根據(jù)進(jìn)入和離開磁場(chǎng)的點(diǎn)的速度方向確定帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，進(jìn)而畫出帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡；二是找準(zhǔn)由一個(gè)磁場(chǎng)進(jìn)入另一磁場(chǎng)這一關(guān)鍵點(diǎn)，確定出這一關(guān)鍵點(diǎn)的速度方向.三要從粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中找到它們運(yùn)動(dòng)對(duì)稱的特點(diǎn)，從而準(zhǔn)確切入幾何關(guān)系.

二、間隔對(duì)稱磁場(chǎng)

例2扭擺器是同步輻射裝置中的插入件，能使粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生扭擺.其簡(jiǎn) 化模型如圖：Ⅰ、Ⅱ兩處的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)邊界豎直，相距為L(zhǎng)，磁場(chǎng)方向相反且垂直紙面.一質(zhì)量為m、電量為-q、重力不計(jì)的粒子，從靠近平行板電容器MN板處由靜止釋放，極板間電壓為U，粒子經(jīng)電場(chǎng)加速后平行于紙面射入Ⅰ區(qū)，射入時(shí)速度與水平和方向夾角 .

（1）當(dāng)Ⅰ區(qū)寬度L1=L、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B1=B0時(shí)，粒子從Ⅰ區(qū)右邊界射出時(shí)速度與水平方向夾角也為 ，求B0及粒子在Ⅰ區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t0.

（2）若Ⅱ區(qū)寬度L2=L1=L磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B2=B1=B0，求粒子在Ⅰ區(qū)的最高點(diǎn)與Ⅱ區(qū)的最低點(diǎn)之間的高度差h.

（3）若L2=L1=L、B1=B0，為使粒子能返回Ⅰ區(qū)，求B2應(yīng)滿足的條件.

（4）若B1≠B2，L1≠L2，且已保證了粒子能從Ⅱ區(qū)右邊界射出.為使粒子從Ⅱ區(qū)右邊界射出的方向與從Ⅰ區(qū)左邊界射出的方向總相同，求B1、B2、L1、L2、之間應(yīng)滿足的關(guān)系式.

解析如圖5所示，設(shè)粒子射入磁場(chǎng)I區(qū)的速 度為v，在磁場(chǎng)I區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R1，由動(dòng)能定理和牛頓第二定律得

qU=12mv2 ①

qvB0=mv2R1 ②

由幾何關(guān)系得 R1=L2=L③

聯(lián)立①②③得 B0=1L2mUq④

設(shè)粒子在I區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)周期為T，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

T=2πR1v ⑤

tT=2θ360° ⑥

聯(lián)立①③⑤⑥式解得 t=πL3m2qU⑦

（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R2，由牛頓第二定律得