基于微分變分原理研究相空間中非完整系統(tǒng)的守恒律

翟相華，張毅

(1.蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，215009;2.蘇州科技學(xué)院 土木工程學(xué)院， 215011)

0 引言

尋找力學(xué)系統(tǒng)的守恒律一直是數(shù)學(xué)物理學(xué)科特別是分析力學(xué)的一個(gè)重要研究方向.Newton 力學(xué)建立了三個(gè)經(jīng)典守恒律，Lagrange 力學(xué)和Hamilton 力學(xué)給出了循環(huán)積分和廣義能量積分，對(duì)稱性方法得到了更多的守恒律，如Noether 守恒量，Hojman 守恒量，Mei 守恒量等［1－7］.基于微分變分原理也可以直接構(gòu)造系統(tǒng)的守恒律［7］.劉端［8］應(yīng)用Jourdain 微分變分原理研究了非完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的守恒律，梅鳳翔［9］研究二階非完整系統(tǒng)的守恒律，張毅［10］利用微分變分原理研究了單面約束系統(tǒng)的守恒律，李元成等［11］將結(jié)果推廣到事件空間中.但是筆者至今尚未見到利用微分變分原理研究相空間中力學(xué)系統(tǒng)守恒律的文獻(xiàn).本文首先導(dǎo)出相空間中非完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的微分變分原理，進(jìn)而建立其在無限小變換下的不變性條件，進(jìn)一步導(dǎo)出了相空間中非完整非保守系統(tǒng)的守恒律.結(jié)果表明利用微分變分原理也可以研究相空間中力學(xué)系統(tǒng)的守恒律.

1 相空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)的微分變分原理

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n 個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1，…，n)來確定，其運(yùn)動(dòng)受有g(shù) 個(gè)雙面理想Chetaev 型非完整約束

按約束加在虛位移上的Appell－Chetaev 定義，有

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中L 為L(zhǎng)agrange 函數(shù)，Q″s為非勢(shì)廣義力，λβ為約束乘子.設(shè)系統(tǒng)非奇異，則可在運(yùn)動(dòng)微分方程積分之前，解出約束乘子λβ作為的函數(shù).

令

于是方程(3)可表為

稱方程(5)為與非完整系統(tǒng)(1)，(3)相應(yīng)的完整系統(tǒng)的方程.

引進(jìn)廣義動(dòng)量和Hamilton 函數(shù)

非保守系統(tǒng)的Hamilton 原理為［3－4］

其中，系統(tǒng)的所有主動(dòng)力的虛功δW 可寫成如下形式

將(12)式代入(11)式，得到

經(jīng)過變分運(yùn)算，(13)式可化為

假設(shè)系統(tǒng)在始末位置是確定的，則有

故(14)式變?yōu)?/p>

考慮到積分區(qū)間的任意性，由(16)式我們得到

將式(17)與(18)式相加得到

式(19)是相空間中非完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的微分變分原理.

引進(jìn)廣義變分Δqs，Δps，Δt，其中［7］

其無限小變換分別為

假設(shè)

其中ε 為無限小參數(shù)，F(xiàn)s，Gs和f 分別為無限小變換(21)的空間生成元和時(shí)間生成元.將式(22)代入到式(20)得到

將(23)式代入(19)式得到

展開(24)式，并注意到

得到

得到下述關(guān)系

這就是相空間中非完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的微分變分原理不變性條件的變換，或稱原理(19)在無限小變換(21)下的變形.

2 相空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)的守恒律

下面給出相空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)守恒律存在的條件和形式.由式(28)知，如果無限小變換(21)的生成元Fs，Gs，f 和規(guī)范函數(shù)P 滿足如下關(guān)系

那么系統(tǒng)存在如下形式的守恒律

式(29)可稱為廣義Noether－Bessel－Hagen 方程，或簡(jiǎn)稱Noether 等式.于是有

定理1 對(duì)于相應(yīng)完整系統(tǒng)(5)，如果存在規(guī)范函數(shù)P，使得無限小變換(21)的生成元Fs，Gs，f 滿足條件(29)，那么系統(tǒng)存在形如式(30)的守恒律.

將式(20)，(21)，(22)代入式(9)，注意到參數(shù)ε 的任意性，得到

這是非完整約束(8)對(duì)無限小生成元的限制.

將式(31)代入式(29)，條件(29)可表為

于是有

定理2 對(duì)于非完整系統(tǒng)(1)，(3)，如果存在規(guī)范函數(shù)P，使得無限小變換(21)的生成元Fs，Gs，f 滿足關(guān)系(32)，且無限小生成元還滿足Appell－Chetaev 條件(31)，那么非完整系統(tǒng)存在形如式(30)的守恒律.

條件(31)可放寬為

于是有

定理3 對(duì)于非完整系統(tǒng)(1)，(3)，如果存在規(guī)范函數(shù)P，使得無限小變換(21)的生成元Fs，Gs，f 滿足關(guān)系(32)，且無限小生成元還滿足條件(33)，那么非完整系統(tǒng)存在形如式(30)的守恒律.

3 算 例

例1 系統(tǒng)的位置由兩個(gè)廣義坐標(biāo)q1，q2來確定，Lagrange 函數(shù)為

非完整約束方程為

研究該系統(tǒng)的守恒律［7］.

首先，研究與非完整系統(tǒng)(34)，(35)相應(yīng)完整系統(tǒng)的守恒律.

引入廣義動(dòng)量和Hamilton 函數(shù)

根據(jù)運(yùn)動(dòng)微分方程(3)以及方程(35)，可解出λ，并將其表示為t，q，p 的函數(shù)

根據(jù)方程(10)，系統(tǒng)的非勢(shì)廣義力和非完整約束力可表示為

條件式(29)可表為

方程(39)有解

對(duì)式(40)－(43)，由定理1 中守恒律式(30)分別給出

其中守恒律I1和I2等價(jià).

其次，研究非完整系統(tǒng)(34)，(35)的守恒律.

限制條件(31)給出

容易驗(yàn)證式(42)和(43)滿足條件(48)，而式(40)和(41)不滿足條件(48)，故此非完整系統(tǒng)守恒律為式(46)和(47).

例2 Appell－Hamel 例.系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為

非完整約束方程為

研究該系統(tǒng)的守恒律.

首先，研究與非完整系統(tǒng)(49)，(50)相應(yīng)的完整系統(tǒng)的守恒律.

引入廣義動(dòng)量和Hamilton 函數(shù)

由方程(3)和方程(50)，容易得到

系統(tǒng)的非勢(shì)廣義力和非完整約束力為

條件(29)給出

方程(54)有解

相應(yīng)于式(55)－(60)，由定理1，得到如下守恒律

其次，研究非完整系統(tǒng)(49)，(50)的守恒律.

限制條件(31)給出

容易驗(yàn)證式(55)－(58)滿足條件(67)，而式(59)和(60)不滿足條件(67)，故此非完整系統(tǒng)守恒律為式(61)－(64).

4 結(jié) 論

本文給出了相空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)的微分變分原理(19)，并且給出了其在無限小變換下的不變性條件式(29)，進(jìn)而導(dǎo)出了相空間中相應(yīng)完整力學(xué)系統(tǒng)的守恒律，進(jìn)一步得到了相空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)的守恒律.主要結(jié)果為相空間中非完整非保守系統(tǒng)的微分變分原理(19)，原理在無限小變換下的變形(28)，以及三個(gè)定理.本文結(jié)果表明，利用微分變分原理也可以研究相空間中力學(xué)系統(tǒng)的守恒律.

［1］梅鳳翔.經(jīng)典約束力學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱性與守恒律研究進(jìn)展［J］.力學(xué)進(jìn)展，2009，39(1):37－43.

［2］梅鳳翔.分析力學(xué)(上卷)［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2013.

［3］梅鳳翔.分析力學(xué)(下卷)［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2013.

［4］陳濱.分析動(dòng)力學(xué)(第二版)［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2012.

［5］梅鳳翔.約束力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2004.

［6］梅鳳翔，劉端，羅勇.高等分析力學(xué)［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，1991.

［7］梅鳳翔.李群李代數(shù)對(duì)約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，1999.

［8］劉端.非完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的守恒律［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，1989，21(1):75－83.

［9］梅鳳翔.利用Jourdain 原理研究二階非完整系統(tǒng)的守恒律［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，18(1):17－21.

［10］Zhang Yi，Mei Feng－Xiang.A study of conservation laws of systems with unilateral constraints by means of the differential variational principles［M］.Proceedings of the third international conference on nonlinear mechanics，Shanghai University Press，1998.759－763.

［11］李元成，梁景輝，張毅，梅鳳翔.事件空間中單面完整約束系統(tǒng)的守恒律［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，20(1):21－24.