解三角形的學(xué)問

許志鋒

解三角形就是在一個三角形的邊、角及面積中，已知其中若干量去求解其他的量;解三角形的學(xué)問，就是合理運(yùn)用正、余弦定理并與三角恒等變換相結(jié)合的學(xué)問.在各地的高考試題中，解三角形的題目往往作為第一道解答題，用以檢測同學(xué)們的運(yùn)算能力以及分析問題、解決問題的能力.

解三角形的原理與公式

●正弦定理：===2R（R為三角形外接圓半徑）.這組公式表明同一個三角形的各邊長與其對角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.這組公式精確量化了兩邊夾角是如何決定第三邊的.

●其他三角公式：各組三角變換公式以及三角形三個內(nèi)角和A+B+C=π、三邊關(guān)系a+b>c等.

解三角形的注意事項

●合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理

例1 為了測量敵方兩個陣地A，B之間的距離，在我方一側(cè)選取C，D兩點（A，B，C，D四點位于同一平面內(nèi)），測得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四邊形問題可通過化為幾個三角形中的問題來求解.含有AB邊的三角形可選擇△ADB，在該三角形中目前只知道∠ADB為45°，無法直接求出AB，但是可以先分別在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如圖1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

a.

點評：一般來說，已知條件中，“角多”則優(yōu)先選擇用正弦定理，“邊多”則用余弦定理.當(dāng)然，具體進(jìn)行哪種選擇還是應(yīng)根據(jù)題目的情況先“預(yù)算”一下，許多題目需二者兼用.

●將正、余弦定理與三角變換相結(jié)合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入題中第一個等式，再通過用兩角和與差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再運(yùn)用正弦定理將b2=ac轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展開整理得sinAsinC=. 依據(jù)正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，則cosB<0，與cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

點評：正、余弦定理反映的是同一三角形的三邊與三角之間的“最純粹”關(guān)系，其中不涉及角的和、差及倍數(shù)，一旦題目中出現(xiàn)角的和、差及倍數(shù)這類情形，就應(yīng)考慮通過三角公式加以轉(zhuǎn)化.

●將解三角形方法與代數(shù)、幾何、向量方法等相結(jié)合

例3 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由幾何知識可得B+D=π;但是，單獨解△ABC，△ADC，則條件似乎既不足又過剩，“不足”是因為在每個三角形中，已知兩邊卻不知夾角;“過?！笔且驗闂l件B+D=π未能使用.要解決這種幾個所求的量相互依存的題目，可考慮運(yùn)用代數(shù)中的方程思想.

如圖2所示，設(shè)AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

點評： 解三角形問題是數(shù)學(xué)問題的一種，只要問題的情景適合某種數(shù)學(xué)思想方法，就應(yīng)當(dāng)突破思維的局限性，大膽運(yùn)用包括代數(shù)、幾何、向量、坐標(biāo)法等各種方法.

綜合應(yīng)用

例4 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1） 當(dāng)p=，b=1時，求a，c的值.

（2） 若角B為銳角，求p的取值范圍.

解析： （1） 由正弦定理將sinA+sinC=psinB轉(zhuǎn)化為a+c=pb，再與ac=b2結(jié)合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2） 因為a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

點評： 求解例4（2）的基本思路就是通過余弦值的范圍來確定角的范圍.運(yùn)用余弦定理需要知道邊與邊的關(guān)系，而用正弦定理將sinA+sinC=psinB轉(zhuǎn)化為a+c=pb就使得所有條件均表達(dá)為邊的關(guān)系.

再則，相當(dāng)多的同學(xué)只用a2+c2>b2來確定cosB==2p2-3的范圍，進(jìn)而求出p的取值范圍，但是忽視題中參數(shù)p的任意性可能導(dǎo)致cosB=2p2-3的值大于1，從而少了p<這個范圍. 建議：時刻注意隱含條件，求解范圍應(yīng)進(jìn)行等價變形;有“小于”就再想想有沒有“大于”，必要時“前門后門都上鎖”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點，若sin∠BAM=，則sin∠BAC= .

解析： 如圖3所示，不妨設(shè)AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，則tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

點評： 求解例5運(yùn)用了代數(shù)方法，根據(jù)已知條件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用兩直角三角形的角度差（α-β）來表示∠BAM，這是如何想到的？

首先，圖形中沒有任何一個三角形單獨可解，邊角之間又相互關(guān)聯(lián)，所以可運(yùn)用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得邊與邊的比值就可以得到正弦，故想到設(shè)AC=1，BM=MC=m，如此也可以讓“M是BC的中點”這個條件“搭便車”用上.

第三，選擇正切就不必用根式表達(dá)斜邊，如果我們懂得“知弦即知切”的道理，就會自然而靈活地由條件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1） 求角C的大小.

（2） 若sinA=，求△ABC的面積.

解析：（1） 已知條件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右邊可簡化為二倍角的正弦形式，左邊可降冪加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，兩角的余弦值相等，有以下兩種情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），則A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中內(nèi)角和不大于π，所以這種情況不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），則A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-滿足要求，故C=.

（2） 現(xiàn)有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面積，可先算出sinB.因為a<c，故A是銳角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

點評： 作為高考的第一道解答題，完整解答得滿分是必須的.求解例6有兩處關(guān)鍵：首先是三角變換，其次就是分類討論.要做到解答完整無誤，除了熟練掌握必備的知識而外，細(xì)節(jié)的觀察和處理也至關(guān)重要.

解三角形就是在一個三角形的邊、角及面積中，已知其中若干量去求解其他的量;解三角形的學(xué)問，就是合理運(yùn)用正、余弦定理并與三角恒等變換相結(jié)合的學(xué)問.在各地的高考試題中，解三角形的題目往往作為第一道解答題，用以檢測同學(xué)們的運(yùn)算能力以及分析問題、解決問題的能力.

解三角形的原理與公式

●正弦定理：===2R（R為三角形外接圓半徑）.這組公式表明同一個三角形的各邊長與其對角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.這組公式精確量化了兩邊夾角是如何決定第三邊的.

●其他三角公式：各組三角變換公式以及三角形三個內(nèi)角和A+B+C=π、三邊關(guān)系a+b>c等.

解三角形的注意事項

●合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理

例1 為了測量敵方兩個陣地A，B之間的距離，在我方一側(cè)選取C，D兩點（A，B，C，D四點位于同一平面內(nèi)），測得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四邊形問題可通過化為幾個三角形中的問題來求解.含有AB邊的三角形可選擇△ADB，在該三角形中目前只知道∠ADB為45°，無法直接求出AB，但是可以先分別在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如圖1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

a.

點評：一般來說，已知條件中，“角多”則優(yōu)先選擇用正弦定理，“邊多”則用余弦定理.當(dāng)然，具體進(jìn)行哪種選擇還是應(yīng)根據(jù)題目的情況先“預(yù)算”一下，許多題目需二者兼用.

●將正、余弦定理與三角變換相結(jié)合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入題中第一個等式，再通過用兩角和與差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再運(yùn)用正弦定理將b2=ac轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展開整理得sinAsinC=. 依據(jù)正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，則cosB<0，與cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

點評：正、余弦定理反映的是同一三角形的三邊與三角之間的“最純粹”關(guān)系，其中不涉及角的和、差及倍數(shù)，一旦題目中出現(xiàn)角的和、差及倍數(shù)這類情形，就應(yīng)考慮通過三角公式加以轉(zhuǎn)化.

●將解三角形方法與代數(shù)、幾何、向量方法等相結(jié)合

例3 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由幾何知識可得B+D=π;但是，單獨解△ABC，△ADC，則條件似乎既不足又過剩，“不足”是因為在每個三角形中，已知兩邊卻不知夾角;“過?！笔且驗闂l件B+D=π未能使用.要解決這種幾個所求的量相互依存的題目，可考慮運(yùn)用代數(shù)中的方程思想.

如圖2所示，設(shè)AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

點評： 解三角形問題是數(shù)學(xué)問題的一種，只要問題的情景適合某種數(shù)學(xué)思想方法，就應(yīng)當(dāng)突破思維的局限性，大膽運(yùn)用包括代數(shù)、幾何、向量、坐標(biāo)法等各種方法.

綜合應(yīng)用

例4 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1） 當(dāng)p=，b=1時，求a，c的值.

（2） 若角B為銳角，求p的取值范圍.

解析： （1） 由正弦定理將sinA+sinC=psinB轉(zhuǎn)化為a+c=pb，再與ac=b2結(jié)合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2） 因為a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

點評： 求解例4（2）的基本思路就是通過余弦值的范圍來確定角的范圍.運(yùn)用余弦定理需要知道邊與邊的關(guān)系，而用正弦定理將sinA+sinC=psinB轉(zhuǎn)化為a+c=pb就使得所有條件均表達(dá)為邊的關(guān)系.

再則，相當(dāng)多的同學(xué)只用a2+c2>b2來確定cosB==2p2-3的范圍，進(jìn)而求出p的取值范圍，但是忽視題中參數(shù)p的任意性可能導(dǎo)致cosB=2p2-3的值大于1，從而少了p<這個范圍. 建議：時刻注意隱含條件，求解范圍應(yīng)進(jìn)行等價變形;有“小于”就再想想有沒有“大于”，必要時“前門后門都上鎖”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點，若sin∠BAM=，則sin∠BAC= .

解析： 如圖3所示，不妨設(shè)AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，則tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

點評： 求解例5運(yùn)用了代數(shù)方法，根據(jù)已知條件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用兩直角三角形的角度差（α-β）來表示∠BAM，這是如何想到的？

首先，圖形中沒有任何一個三角形單獨可解，邊角之間又相互關(guān)聯(lián)，所以可運(yùn)用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得邊與邊的比值就可以得到正弦，故想到設(shè)AC=1，BM=MC=m，如此也可以讓“M是BC的中點”這個條件“搭便車”用上.

第三，選擇正切就不必用根式表達(dá)斜邊，如果我們懂得“知弦即知切”的道理，就會自然而靈活地由條件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1） 求角C的大小.

（2） 若sinA=，求△ABC的面積.

解析：（1） 已知條件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右邊可簡化為二倍角的正弦形式，左邊可降冪加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，兩角的余弦值相等，有以下兩種情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），則A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中內(nèi)角和不大于π，所以這種情況不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），則A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-滿足要求，故C=.

（2） 現(xiàn)有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面積，可先算出sinB.因為a<c，故A是銳角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

點評： 作為高考的第一道解答題，完整解答得滿分是必須的.求解例6有兩處關(guān)鍵：首先是三角變換，其次就是分類討論.要做到解答完整無誤，除了熟練掌握必備的知識而外，細(xì)節(jié)的觀察和處理也至關(guān)重要.

解三角形就是在一個三角形的邊、角及面積中，已知其中若干量去求解其他的量;解三角形的學(xué)問，就是合理運(yùn)用正、余弦定理并與三角恒等變換相結(jié)合的學(xué)問.在各地的高考試題中，解三角形的題目往往作為第一道解答題，用以檢測同學(xué)們的運(yùn)算能力以及分析問題、解決問題的能力.

解三角形的原理與公式

●正弦定理：===2R（R為三角形外接圓半徑）.這組公式表明同一個三角形的各邊長與其對角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.這組公式精確量化了兩邊夾角是如何決定第三邊的.

●其他三角公式：各組三角變換公式以及三角形三個內(nèi)角和A+B+C=π、三邊關(guān)系a+b>c等.

解三角形的注意事項

●合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理

例1 為了測量敵方兩個陣地A，B之間的距離，在我方一側(cè)選取C，D兩點（A，B，C，D四點位于同一平面內(nèi)），測得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四邊形問題可通過化為幾個三角形中的問題來求解.含有AB邊的三角形可選擇△ADB，在該三角形中目前只知道∠ADB為45°，無法直接求出AB，但是可以先分別在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如圖1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

a.

點評：一般來說，已知條件中，“角多”則優(yōu)先選擇用正弦定理，“邊多”則用余弦定理.當(dāng)然，具體進(jìn)行哪種選擇還是應(yīng)根據(jù)題目的情況先“預(yù)算”一下，許多題目需二者兼用.

●將正、余弦定理與三角變換相結(jié)合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入題中第一個等式，再通過用兩角和與差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再運(yùn)用正弦定理將b2=ac轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展開整理得sinAsinC=. 依據(jù)正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，則cosB<0，與cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

點評：正、余弦定理反映的是同一三角形的三邊與三角之間的“最純粹”關(guān)系，其中不涉及角的和、差及倍數(shù)，一旦題目中出現(xiàn)角的和、差及倍數(shù)這類情形，就應(yīng)考慮通過三角公式加以轉(zhuǎn)化.

●將解三角形方法與代數(shù)、幾何、向量方法等相結(jié)合

例3 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由幾何知識可得B+D=π;但是，單獨解△ABC，△ADC，則條件似乎既不足又過剩，“不足”是因為在每個三角形中，已知兩邊卻不知夾角;“過?！笔且驗闂l件B+D=π未能使用.要解決這種幾個所求的量相互依存的題目，可考慮運(yùn)用代數(shù)中的方程思想.

如圖2所示，設(shè)AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

點評： 解三角形問題是數(shù)學(xué)問題的一種，只要問題的情景適合某種數(shù)學(xué)思想方法，就應(yīng)當(dāng)突破思維的局限性，大膽運(yùn)用包括代數(shù)、幾何、向量、坐標(biāo)法等各種方法.

綜合應(yīng)用

例4 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1） 當(dāng)p=，b=1時，求a，c的值.

（2） 若角B為銳角，求p的取值范圍.

解析： （1） 由正弦定理將sinA+sinC=psinB轉(zhuǎn)化為a+c=pb，再與ac=b2結(jié)合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2） 因為a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

點評： 求解例4（2）的基本思路就是通過余弦值的范圍來確定角的范圍.運(yùn)用余弦定理需要知道邊與邊的關(guān)系，而用正弦定理將sinA+sinC=psinB轉(zhuǎn)化為a+c=pb就使得所有條件均表達(dá)為邊的關(guān)系.

再則，相當(dāng)多的同學(xué)只用a2+c2>b2來確定cosB==2p2-3的范圍，進(jìn)而求出p的取值范圍，但是忽視題中參數(shù)p的任意性可能導(dǎo)致cosB=2p2-3的值大于1，從而少了p<這個范圍. 建議：時刻注意隱含條件，求解范圍應(yīng)進(jìn)行等價變形;有“小于”就再想想有沒有“大于”，必要時“前門后門都上鎖”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點，若sin∠BAM=，則sin∠BAC= .

解析： 如圖3所示，不妨設(shè)AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，則tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

點評： 求解例5運(yùn)用了代數(shù)方法，根據(jù)已知條件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用兩直角三角形的角度差（α-β）來表示∠BAM，這是如何想到的？

首先，圖形中沒有任何一個三角形單獨可解，邊角之間又相互關(guān)聯(lián)，所以可運(yùn)用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得邊與邊的比值就可以得到正弦，故想到設(shè)AC=1，BM=MC=m，如此也可以讓“M是BC的中點”這個條件“搭便車”用上.

第三，選擇正切就不必用根式表達(dá)斜邊，如果我們懂得“知弦即知切”的道理，就會自然而靈活地由條件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1） 求角C的大小.

（2） 若sinA=，求△ABC的面積.

解析：（1） 已知條件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右邊可簡化為二倍角的正弦形式，左邊可降冪加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，兩角的余弦值相等，有以下兩種情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），則A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中內(nèi)角和不大于π，所以這種情況不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），則A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-滿足要求，故C=.

（2） 現(xiàn)有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面積，可先算出sinB.因為a<c，故A是銳角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

點評： 作為高考的第一道解答題，完整解答得滿分是必須的.求解例6有兩處關(guān)鍵：首先是三角變換，其次就是分類討論.要做到解答完整無誤，除了熟練掌握必備的知識而外，細(xì)節(jié)的觀察和處理也至關(guān)重要.