以道求簡，大道至簡

李平香

摘 ?要：本文將恒成立、能成立的“混搭”問題追溯到最基礎的“？坌”、“？堝”兩個量詞的解讀.事物的發(fā)展往往是由簡單到復雜，而復雜之后人們又在不斷追求著簡單，從復雜背景中把握簡單的本質，從復雜問題中發(fā)現(xiàn)簡單的方法，即在追簡的過程中悟“道”，以道求簡，達到大道至簡的境界.

關鍵詞：恒成立能成立;溯根追源;以道求簡;大道至簡

《利用搭橋法處理不等式中恒成立與能成立的“混搭”問題》（作者：徐加華，簡稱文【1】）一文發(fā)表在《數(shù)學通訊》2013年第12期（下半月），文中探討了如何用“搭橋法”處理不等式中恒成立與能成立的“混搭”問題，并且為了行文方便，對文中的y=f（x），y=g（x）進行約定均存在最大值和最小值. 文首先介紹了不等式中恒成立與能成立的基本題型，即（1）a≥f（x）恒成立？圳a≥f（x）max;（2）a≤f（x）恒成立？圳a≤f（x）min;（3）a≥f（x）能成立？圳a≥f（x）min;（4）a≤f（x）能成立a≤f（x）max. 接著，文詳細探討了能成立與恒成立“混搭”的4種基本類型：（1）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立;（2）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立;（3）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立;（4）x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立（以上A、B為非空數(shù)集，這里僅考慮f（x）>g（x），其他情況類似處理）. 然后用“搭橋法”分別將以上4種類型轉化為基本題型來解決，如對于恒成立與能成立“混搭”問題的（1）“x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立” “x∈A，x∈B，f（x）>M>g（x）成立”，而“對x∈A，f（x）>M成立”“f（x）min>M”（恒成立），“對x∈B，M>g（x）”（恒成立）M>g（x）max. 這樣，“x∈A，x∈B，f（x）>M>g（x）成立”“f（x）min>M>g（x）max”. 于是“x∈A，x∈B，f（x）>g（x）成立”？圳f（x）min>M>g（x）max.

雖然“搭橋法”即用“中介值”也是數(shù)學解題中常用的策略，但這樣分析恒成立與能成立問題會不會太繁雜，會不會把學生弄得更暈呢？本人覺得解題宜自然、簡捷.下面談談本人對此類問題的看法.

溯根追源——“恒成立”、“能成立”問題由來

追溯命題產(chǎn)生的過程，就是尋求命題生長的根，從邏輯關系看，也就是溯源命題的邏輯起點. 短語“所有的”、“任意一個”、“每一個”在陳述語句中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ?”表示，含有全稱量詞的命題叫全稱命題;短語“存在一個”、“至少一個”、“有”在陳述語句中表示事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“？堝”表示，含有存在量詞的命題叫特稱命題.全稱命題的形式：P：“x∈M，p（x）”x∈M，p（x）成立”“x∈M，p（x）恒成立”. 可見，“恒成立”其實就是為了與全稱量詞“ ?”進行首尾呼應，由此，產(chǎn)生了“恒成立”問題（或稱“任意性”問題）. 特稱命題的形式：q：“x∈M，q（x）”？圳“x∈M，q（x）成立”“x∈M，q（x）能成立”. 可見，“能成立”其實也是為了與存在量詞“ ”進行首尾呼應. 由此，產(chǎn)生了題型“能成立”問題. 同時，還需注意，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，即命題P：x∈M，p（x），則p：x∈M，p（x）;命題q：x∈M，q（x），則q：x∈M，q（x），這就意味著“恒成立”與“能成立”需要時可以互相轉化.

命題解讀——“恒成立”、“能成立”問題分析

通過命題的溯根追源，對“恒成立”、“能成立”問題解讀關鍵是回歸到最基礎的“？坌”、“？堝”兩個量詞的解讀，即回歸到兩個詞語“所有”還是“有”的正確理解，為了幫助學生準確理解“所有”、“有”，可以打比方. 如：“我們班所有人都比我小”，“我們班有人比我小”，要求同學們，只能選出一人來與我比，應選誰出來呢？這時，學生很容易找到前者應找“最大”，后者應找“最小”與“我”比較;又如“（1）班所有人都比（2）班所有人小”，“（1）班有人比（2）班所有人小”，要求每班也只能選一人出來比，應怎么選呢？顯然，前者應選“（1）班最大的與（2）班最小的比”后者應選“（1）班最小與（2）班最小的比”. 現(xiàn)在，換成比函數(shù)值，如“？坌x∈A，f（x）≤a恒成立”，即“f（x）所有值≤a”，即f（x）max≤a;“？堝x∈A，f（x）<a能成立”，即“f（x）有值

反思感悟——以道求簡，大道至簡

事物的發(fā)展往往是由簡單到復雜，所謂“一生二，二生三，三生萬物”便是如此;而復雜之后人們又在不斷追求著簡單，所謂“大道至簡”便是體現(xiàn). 簡單蘊涵了事物的簡練性、樸素性，復雜蘊涵了事物的發(fā)展性、整合性. “恒成立”與“能成立”正是由簡單的兩個量詞“？坌”、“？堝”衍生出來，對兩個量詞再進行組合就衍生出了更復雜的“多元恒成立、能成立”問題，問題復雜之后，如何化繁為簡呢？筆者認為應該“以道求簡”，數(shù)學中的“道”指的是數(shù)學中的核心概念、問題實質、本質屬性、統(tǒng)一模式、貫通線索、不變規(guī)律、思想方法、通性通法等等. 數(shù)學的特性之一簡潔性，數(shù)學的本質在于求簡，數(shù)學中的“簡”就是要用簡明的視角、簡要的設計，內(nèi)容上刪繁就簡，形式上去繁就簡，思路上化繁為簡，解題上自然簡捷，情境上簡單明了，語言上精煉簡要，表達上簡明扼要. 數(shù)學教學中要滲透由簡單到復雜的思想，讓學生能夠循序漸進地認識事物，理清知識之間的關系，從復雜背景中把握簡單的本質，從復雜問題中發(fā)現(xiàn)簡單的方法，即在追簡的過程中悟“道”，以道求簡，達到大道至簡的境界.