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    密頻結(jié)構(gòu)實模態(tài)參數(shù)的特征曲線法

    2014-12-29 05:26:46
    長春師范大學(xué)學(xué)報 2014年4期
    關(guān)鍵詞:變化率特征向量特征值

    張 淼

    在結(jié)構(gòu)振動分析中,經(jīng)常需要求解廣義特征問題Kφ=λMφ,其中K和M是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度矩陣,λ為特征值,φ為特征向量。求解特征值問題,即為求解結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型,在工程實際應(yīng)用及求解結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)方面都具有重要的意義[1-2]。特征值即為結(jié)構(gòu)的無阻尼固有頻率(實頻率),特征向量即為結(jié)構(gòu)的無阻尼固有振型(實模態(tài)),再加上阻尼比,在工程中統(tǒng)稱為實模態(tài)參數(shù)。一個結(jié)構(gòu)的動力特性可以用它的實模態(tài)參數(shù)進行完整的描述,因此對它們的研究伴隨著工程應(yīng)用的設(shè)計、分析、修正、損傷識別等各個環(huán)節(jié)。若特征值和特征向量在設(shè)計參數(shù)的某可行域內(nèi)或局部發(fā)生了轉(zhuǎn)向和彎曲,表明結(jié)構(gòu)對該設(shè)計參數(shù)是敏感的,尤需關(guān)注的是,結(jié)構(gòu)很可能產(chǎn)生密頻或重頻現(xiàn)象[3],從而為結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性帶來隱患。特征對發(fā)生變化的測量方式之一是其導(dǎo)數(shù),工程中稱為靈敏度[4],它們可在數(shù)值上反映變化的位置及彎曲發(fā)生的程度等。因此,特征曲線法的應(yīng)用可以在很大程度上使設(shè)計工作遠離可能產(chǎn)生危險的假定模型,在工程上具有良好的應(yīng)用價值。

    1 特征值分析

    對N自由度的線性離散振動系統(tǒng)的運動方程為

    式中M,C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。作拉普拉斯變換x(t)=uewt=ueiwt(w=iω)代入(1)式可得(w2Mu+wCu+Ku)ewt=0。令C=0,則無阻尼固有頻率與規(guī)范化實模態(tài)為(ω2,φi)(i=1,2,…,N,w2=-ω2=λ),滿足特征方程

    實際上特征方程(2)是關(guān)于矩陣M和K的廣義特征問題。λi為固有頻率(也可稱為特征值),φi為無阻尼正則實模態(tài)(也可稱為特征向量)。

    考慮如下弱耦合系統(tǒng)[5],這是一個由兩個彈性元件k1和k2及兩個質(zhì)量塊m1和m2構(gòu)成,并用一個弱彈性元件k聯(lián)接的兩自由度系統(tǒng),假定只在x軸方向上發(fā)生振動,見圖1。

    圖1 弱耦合系統(tǒng)示意圖

    特征方程

    其中 p=m1m2,h=-(k1+k)m2-(k2+k)m1,c=k1k+k1k2+k2k.

    令m1=m2=1,k2=1,而取設(shè)計參數(shù)為k1,其變化區(qū)間取為0.6至1.4,分別在k=0.05及k=0.01兩種情況下用MATLAB繪制λ1和λ2關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的關(guān)系圖(圖2)。

    圖2 特征值函數(shù)的關(guān)系圖

    由圖2分析可知,首先對不同的k值,系統(tǒng)均在k1=1處發(fā)生兩個特征值接近(密頻)的現(xiàn)象,即在k1=1的鄰域內(nèi)出現(xiàn)了密頻現(xiàn)象,而對k=0.01時更加接近一些,這說明更小的值會加重密頻現(xiàn)象的發(fā)生。其次,兩個特征值曲線均在k1=1處發(fā)生了彎曲與轉(zhuǎn)向,k的取值越小,彎曲發(fā)生得越劇烈。

    對公式(4)直接求導(dǎo)得兩個特征值的一階靈敏度為

    用MATLAB繪制λ1和λ2關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的一階靈敏度關(guān)系圖(圖3)。

    圖3 特征值一階靈敏度的關(guān)系圖

    由λ1的一階靈敏度分析可知,在k1∈[0.6,0.9]內(nèi),λ1以幾乎恒定的變化率增加;到k1=1附近時,變化率發(fā)生了較大變動,從1迅速地減少到0左右,其后不再發(fā)生大的變化,說明特征值λ1由與設(shè)計參數(shù)同步增加迅速地轉(zhuǎn)變?yōu)榕c設(shè)計參數(shù)無關(guān),只穩(wěn)定在固定值。由λ2的一階靈敏度分析可知,在k1∈[0.6,0.9]內(nèi),λ2變化率幾乎為0,反映了λ2在此范圍內(nèi)不發(fā)生大的變化;到k1=1附近時變化率也發(fā)生了較大變動,從0迅速地增加到1左右,其后不再發(fā)生大的變動,說明λ2由穩(wěn)定值迅速地轉(zhuǎn)變?yōu)榕c設(shè)計參數(shù)的增加而同步增加。以上說明,兩條特征值曲線均在k1∈[0.9,1.1]范圍附近發(fā)生了劇烈的轉(zhuǎn)向和彎曲,而且k的取值越小,彎曲發(fā)生得越劇烈。這一分析與圖2的分析結(jié)果一致,可見靈敏度分析確實能反映系統(tǒng)的原始動特性。

    2 特征向量分析

    相應(yīng)地,規(guī)范化特征向量為

    用MATLAB繪制φ1和φ2關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的關(guān)系,見圖4和圖5。

    圖4 φ1關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的關(guān)系圖

    圖5 φ2關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的關(guān)系圖

    對不同的k值,模態(tài)1的第1維分量與第2維分量均在k1=1附近發(fā)生了轉(zhuǎn)向,且變化劇烈。在k1=1的小幅變化范圍內(nèi),k的取值越小,模態(tài)1所發(fā)生的變化越劇烈。這說明模態(tài)1的不穩(wěn)定性發(fā)生在密頻點k1=1處。同樣地,對不同的k值,模態(tài)2的第1維分量與第2維分量均在k1=1附近發(fā)生了轉(zhuǎn)向,且變化劇烈。模態(tài)的不穩(wěn)定性也發(fā)生在密頻點k1=1處。從前文的分析可知,由于k取值越小,顯示結(jié)構(gòu)密頻的程度越高,因此圖4和圖5反映的是密頻的程度越高,模態(tài)的跳躍性越強。

    用公式(6)式直接求導(dǎo)得兩個特征向量的一階靈敏度為

    用MATLAB繪制φ1和φ2的第1維分量關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的一階靈敏度關(guān)系見圖6。

    圖6 不同k值時φ1和φ2的第1維分量關(guān)于設(shè)計參數(shù)k1的一階靈敏度對比圖

    圖6僅以模態(tài)1和模態(tài)2的第1維分量為研究對象,圖形顯示,這兩個模態(tài)的第1維分量均在k1∈[0.6,0.9]范圍左右變化率幾乎為0,說明模態(tài)此時隨設(shè)計參數(shù)的變化不大,較為穩(wěn)定;但在k1∈[0.9,1.1]范圍附近,變化率發(fā)生了較大的變動,其中k值越小,變化率變化的幅度越大,顯示出模態(tài)在這個范圍內(nèi)發(fā)生了一定程度的跳躍;然后變化率又幾乎為0,模態(tài)又呈現(xiàn)出穩(wěn)定狀態(tài)。這一分析結(jié)果與圖4和圖5的分析結(jié)果一致。

    3 結(jié)語

    本文針對一個弱耦合系統(tǒng),首先利用特征值及特征向量與設(shè)計參數(shù)的關(guān)系圖,來分析設(shè)計參數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)的影響,尤其是發(fā)生密頻現(xiàn)象時,密頻現(xiàn)象對結(jié)構(gòu)可能產(chǎn)生的破壞作用進行了分析;再利用特征值與特征向量關(guān)于設(shè)計參數(shù)的靈敏度曲線圖,來分析和驗證上述結(jié)果,表明特征對靈敏度分析確實能在很大程度上反映結(jié)構(gòu)性態(tài)。同時說明在工程實踐中若沒有條件獲得足夠的結(jié)構(gòu)原始實模態(tài)參數(shù)信息,卻僅憑其導(dǎo)數(shù)信息,也可判斷和預(yù)知那些隱藏的信息,在一定程度上能夠節(jié)省研究和設(shè)計的成本。

    [1]張淼,鞠偉.計算各種振系模態(tài)靈敏度的統(tǒng)一算法[J].長春工程學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,13(4):119-122.

    [2]于瀾.模態(tài)參數(shù)的靈敏度分析在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域中的應(yīng)用[J].長春工程學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,13(3):1-3.

    [3]張淼.基于松馳技術(shù)的重頻密頻結(jié)構(gòu)模態(tài)靈敏度分析[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,35(12):1605-1609.

    [4]于瀾,張淼,鞠偉,等.非保守系統(tǒng)復(fù)模態(tài)的規(guī)范正交性及其應(yīng)用[J].華南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,45(4):21-24.

    [5]于瀾,張文丹,付向南.非對稱重頻阻尼系統(tǒng)狀態(tài)向量的攝動分析[J].長春理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,34(3):170-172.

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