數(shù)學(xué)思想方法在“圖形世界”中的滲透

汪麗萍

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有兩條線：一條是明線，即數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)；一條是暗線，即數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí). 而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是我們形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 數(shù)學(xué)思想在“走進(jìn)圖形世界”這章也有所滲透，下面讓我們一起來(lái)感受一下.

一、 分類(lèi)思想

分類(lèi)是通過(guò)比較數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，然后根據(jù)某一種屬性將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類(lèi)的思想方法.

例1 將圖1所示的幾何體進(jìn)行分類(lèi)，并說(shuō)明理由.

【分析】 幾何體的分類(lèi)不是唯一的，我們首先觀察各個(gè)幾何體，努力發(fā)現(xiàn)其共同點(diǎn)，然后可根據(jù)其共同點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸?lèi). 若按柱體、錐體、球體分：①③④⑤是柱體；②⑦⑧為錐體；⑥是球體. 若按幾何體表面有無(wú)曲面分：①②④⑤⑧都是平面圍成的幾何體；③⑥⑦都是帶曲面的幾何體；若按有沒(méi)有頂點(diǎn)分：①②④⑤⑦⑧都是有頂點(diǎn)的幾何體；③⑥是無(wú)頂點(diǎn)的幾何體.

【點(diǎn)評(píng)】 分類(lèi)的原則是“不重不漏”. “不重”也就是說(shuō)同一個(gè)幾何體不能隸屬于統(tǒng)一分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)下并列的兩個(gè)種類(lèi)，“不漏”就是說(shuō)題中所列舉的所有圖形都要能屬于某個(gè)種類(lèi).

二、 轉(zhuǎn)化思想

所謂“轉(zhuǎn)化”就是將要解決的問(wèn)題歸結(jié)為另一個(gè)較易問(wèn)題或已經(jīng)解決的問(wèn)題. 常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化有：未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，空間向平面轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).

例2 已知O為圓錐的頂點(diǎn)，M為圓錐底面上一點(diǎn)，點(diǎn)P在OM上. 一只蝸牛從P點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到點(diǎn)P時(shí)所爬過(guò)的最短路線的痕跡如圖2所示. 若沿OM將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展開(kāi)，所得側(cè)面展開(kāi)圖是（ ）.

【分析】 蝸牛繞圓錐側(cè)面爬行的最短路線應(yīng)該是一條線段，因此選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤；又因?yàn)槲伵狞c(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行后，又回到起始點(diǎn)P處，那么如果將選項(xiàng)C、D的圓錐側(cè)面展開(kāi)圖還原成圓錐后，位于母線OM上的點(diǎn)P應(yīng)該能夠與母線OM′上的點(diǎn)（P′）重合，而選項(xiàng)C還原后兩個(gè)點(diǎn)不能夠重合.

【點(diǎn)評(píng)】 解決路線最短問(wèn)題，應(yīng)轉(zhuǎn)化為“在同一平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間線段最短”，也就是將原來(lái)的曲面或多面體表面展開(kāi)成一個(gè)平面，然后連接需求最短路線的兩點(diǎn).

三、 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是一種通過(guò)數(shù)的抽象嚴(yán)謹(jǐn)、形的直觀表意之間的相互轉(zhuǎn)化來(lái)研究和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想.

例3 在一個(gè)正方形的紙板內(nèi)有若干個(gè)點(diǎn)（稱(chēng)為內(nèi)點(diǎn)），用這些內(nèi)點(diǎn)和正方形的4個(gè)頂點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，能畫(huà)出多少個(gè)不重疊的三角形？如圖3中分別畫(huà)出了正方形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)、兩個(gè)內(nèi)點(diǎn)、三個(gè)內(nèi)點(diǎn)的情形.

（1） 根據(jù)上圖，完成下表.

（2） 正方形內(nèi)有100個(gè)內(nèi)點(diǎn)，能畫(huà)出多少個(gè)不重疊的三角形？

【分析】 （1） 有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，內(nèi)部分割成4個(gè)三角形；有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，內(nèi)部分割成4+2=6（個(gè)）三角形；那么有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，內(nèi)部分割成4+2×2=8（個(gè)）三角形；有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，內(nèi)部分割成4+2×3=10（個(gè)）三角形；有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，內(nèi)部分割成4+2×（n-1）=（2n+2）（個(gè)）三角形；（2） 求出n=100時(shí)，2n+2的值即可解答問(wèn)題.

【點(diǎn)評(píng)】 解決此類(lèi)探究性問(wèn)題，一方面觀察圖形，根據(jù)圖形的形成過(guò)程探究規(guī)律，另一方面分析已知數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量特征探究規(guī)律，將數(shù)與形有效結(jié)合起來(lái)，尋找它們之間的聯(lián)系，從而解決問(wèn)題.

四、 類(lèi)比歸納思想

歸納也叫做歸納推理，是從個(gè)別或特殊的事物所作的判斷擴(kuò)大為同類(lèi)一般事物判斷的一種推理. 類(lèi)比就是相似，換言之，類(lèi)比就是類(lèi)似比較.

例4 18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱(chēng)為歐拉公式. 請(qǐng)你觀察下列幾種簡(jiǎn)單多面體模型，解答下列問(wèn)題：

（1） 根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：

（2） 你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是______.

（3） 某個(gè)玻璃飾品的外形是簡(jiǎn)單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱，設(shè)該多面體外表三角形的個(gè)數(shù)為x個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為y個(gè)，求x+y的值.

【分析】 第（1）題只要數(shù)一數(shù)即可；第（2）題利用表格中的數(shù)據(jù)類(lèi)比歸納得出E=V+F-2；第（3）題要注意每個(gè)頂點(diǎn)引出3條棱，但每條棱都計(jì)算了兩次，所以棱數(shù)實(shí)際只有36條.然后根據(jù)前面關(guān)系式求出面數(shù)即可.

【點(diǎn)評(píng)】 在“走進(jìn)圖形世界”這一章中，用類(lèi)比歸納的思想去研究圖形中的數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題有很多，希望同學(xué)們能仔細(xì)品味，領(lǐng)悟其真諦！

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）