巧用輔助未知數(shù)，解方程更簡便

梅怡文

應(yīng)用題是數(shù)學(xué)競賽中的熱門題型，涵蓋的知識點較多，且解法多樣靈活. 而方程則是最為常見的解題工具.解此類題目的關(guān)鍵是要從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，列出相應(yīng)的方程式，而列方程最重要的環(huán)節(jié)就是未知數(shù)的設(shè)立，因此，要列好方程，首先要學(xué)會合理設(shè)置未知數(shù)，設(shè)置有價值的未知數(shù).

設(shè)立直接未知數(shù)或間接未知數(shù)是同學(xué)們在解方程時常用的方法，一般的方程應(yīng)用題運用以上兩種設(shè)法基本上都可以解決，但是有些較復(fù)雜、信息量較大的題目就要學(xué)會設(shè)置輔助未知數(shù)來巧妙求解. 這些未知數(shù)不一定要求解，因為在解題過程中它們往往會相消或者是相約，只是利用它們的過渡作用達(dá)到列出方程并解出方程的目的. 下面選取幾個例題來說明輔助未知數(shù)的用法，與大家共享：

例1 一個工程隊承包了甲、乙兩項工程，甲工程的工作量是乙工程的兩倍，前半個月全體工人都在甲工程上工作，后半個月工人平均分成兩組，一組仍在甲工程工作，另一組到乙工程工作，一個月后，甲工程完工，乙工程的剩余量剛好是一個工人一個月的工作量. 請問：這個工程隊一共有多少工人？（每個工人的工作效率相同）

分析：本題在解答過程中要抓住的是甲、乙工程量的關(guān)系，因為工人的工作效率未知，故可設(shè)置其為輔助未知數(shù).

解：設(shè)總?cè)藬?shù)為x，每個工人的月工作量為a，列方程如下：

x·+·=2

·+a.

ax=ax+2a.

x=x+2.

x=8.

答：這個工程隊共有8人.

小結(jié)：解方程過程中輔助未知數(shù)被相約，從而只剩下一個未知數(shù)，可以輕松解出所求未知數(shù).

例2 在某種濃度的鹽水中加入一杯水后，得到新鹽水，它的含鹽率為20%，又在新鹽水中加入與前述“一杯水”相同質(zhì)量的純鹽后，鹽水的含鹽率變成33.33%即為

，那么原來的鹽水含鹽率為（ ）.

A. 23% B. 25%

C. 30% D. 32%

分析：本題在解答時應(yīng)抓住前后兩次改變后的含鹽率，并利用公式——鹽水×含鹽率=鹽，且明確——加入水質(zhì)量=加入鹽質(zhì)量.

解：設(shè)原鹽水質(zhì)量為a，含鹽率為x，加入的水（鹽）質(zhì)量為b.

=， ①

=. ②

由①得5ax=a+b，由②得ax+b=，ax代入后得=.

求得a=4b，代入①得=，相約后得x=，即x=25%.

答：應(yīng)選B.

小結(jié)：本題在設(shè)未知數(shù)的過程中，a，b均為輔助未知數(shù)，最后用含有b的代數(shù)式來表示a并將分子與分母中的b相約從而求得x. 同時這個題目中運用的代入消元法，也能幫助我們將復(fù)雜的方程式化成一元一次方程.

由上述兩個例子我們可以看出，對于存在等量關(guān)系的實際問題，我們都可以運用方程的思想著手解決，不用擔(dān)心未知數(shù)的個數(shù)，列出方程后再運用消元的思想去解方程.

教師點評：這兩類問題我們經(jīng)常會遇到，尤其是例2，它反映了數(shù)學(xué)學(xué)科和化學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系，學(xué)科間的融合性在這里充分體現(xiàn). 該同學(xué)能根據(jù)問題中的等量關(guān)系，大膽地列出方程，并轉(zhuǎn)化成我們所學(xué)過的一元一次方程去解決，體現(xiàn)了解決方程最本質(zhì)的消元思想.

（指導(dǎo)教師：李 慧）