RMI原理在微積分中的應(yīng)用

趙世瑜

摘 要：RMI原理是一種重要的數(shù)學(xué)方法，被稱為關(guān)系映射反演方法，是數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛的方法原理。本文主要介紹了其思想與含義，并通過該原理在微積分中的應(yīng)用，從而可提高我們抽象分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)工具的能力，因此在數(shù)學(xué)研究中有著非常重要的意義和作用。

關(guān)鍵詞：RMI原理 映射 反演

中圖分類號：O29 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（a）-0126-01

任何學(xué)科都有一個(gè)方法問題。當(dāng)今科學(xué)日新月異的發(fā)展使方法問題日顯重要。科學(xué)活動的重大特點(diǎn)之一，是以方法論問題作為形成科學(xué)本身各種嶄新思想的必要條件，一門科學(xué)的發(fā)展，不僅表現(xiàn)在理論上的意義，而且表現(xiàn)在方法上的意義。這種特點(diǎn)刺激了科學(xué)方法論以及各種專門的學(xué)科方法論的興起，數(shù)學(xué)方法就是其中之一。早在近代科學(xué)的黎明期，著名的德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茲就指出：數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它的對象，而在于它的方法。從古代的亞里士多德到近代的培根、笛卡兒、牛頓、萊布尼茲、龐加萊、希爾伯特等著名學(xué)者都曾經(jīng)對數(shù)學(xué)方法的發(fā)展做出過突出的貢獻(xiàn)。在我國，對數(shù)學(xué)方法論做出突出貢獻(xiàn)的是數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家徐利治教授，他主要研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則。并首次提出了著名的論斷“關(guān)系映射反演方法”。曾經(jīng)出版近10部著作論述數(shù)學(xué)方法，如《數(shù)學(xué)方法論選講》《關(guān)系映射反演方法》等，從中他強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)方法在數(shù)學(xué)中的重要性。如能用RMI原理這條主線把各種方法知識連接貫穿起來，想必定能起到事半功倍之效，下面我們就看看用關(guān)系映射反演方法如何解決微積分問題。

1 計(jì)算積分

在研究某些復(fù)雜的問題時(shí)，通過引入一個(gè)或幾個(gè)新變量來代替原式中的某些量，從而把原式用新變量表示，并求得相應(yīng)的結(jié)果，這種解決問題的方法叫作換元法。換元法其實(shí)是關(guān)系映射反演方法的方法之一。

例1：

理論上，可以利用二項(xiàng)式定理將被積函數(shù)X（2X-1）100展開成多項(xiàng)式，其不定積分總是可以算出來的，但因工作量極其大，實(shí)際上是不可能這么去做的。

從以上的計(jì)算過程可得到圖1。

換元法又稱變量代換或輔助代換法，通過引入輔助元素或構(gòu)想輔助問題，能化未知為已知、化新問題為已經(jīng)解決了的問題。波利亞說：“構(gòu)想一個(gè)輔助問題是一項(xiàng)重要的思路。舉出一個(gè)有助于另一問題的清晰的新問題，能夠清楚地把達(dá)到另一目的的手段設(shè)想成一個(gè)新目標(biāo)。這就是運(yùn)用智慧的卓越成就。學(xué)會怎樣聰明地處理輔助問題是一項(xiàng)重大的任務(wù)。”換元法就是靠通過引入變量代換原變量進(jìn)行映射，從而把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易解的輔助問題的方法。

2 不規(guī)則圖形的面積

對于圖形面積的計(jì)算，能夠考慮運(yùn)用公式的，往往是那些比較規(guī)則的圖形，而對于那些不規(guī)則的圖形，其面積的計(jì)算總是無從下手，需要根據(jù)圖形特征和已知的條件合理地選擇計(jì)算方法，下面用RMI原理來求不規(guī)則圖形的面積。

例2：我們來求由連續(xù)曲線（假設(shè)），直線，和軸圍成的曲邊梯形的面積。

，

：

并在每一小區(qū)間上任意取一點(diǎn)，用底為，高為的矩面，積近似的代替小的曲邊體系的面積，那么這些小矩形的面積之和，，這是整個(gè)大的曲邊梯形的面積的近似，令，當(dāng)時(shí)，若極限存在，那么這個(gè)極限顯然就是所要求的曲邊梯形的精確面積。

這種解決問題的方法是“化大為小，化繁為簡”轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，其思想過程可表示為：要求曲邊梯形的面積，先把它分割成n個(gè)小曲邊梯形，再求這n個(gè)小矩形的面積和，用它近似代替n個(gè)小曲邊梯形的面積和，再求此和的極限，就是曲邊梯形的面積。分割法是通過把待處理問題分割，從而能清楚地了解問題內(nèi)部的各種制約關(guān)系，從而找到一個(gè)解決問題的辦法；通過分解，能弄清問題的外延，從而知道我們應(yīng)該從哪些方面入手去解決問題，因此，分割對于“問題解決”是至關(guān)重要的。

最后，我們還要指出，在應(yīng)用RMI原理求解各種或大或小的問題時(shí)，或者去處理一類問題時(shí)，對關(guān)系映射反演方法的具體的選擇，最好使之符合三個(gè)條件：一是在將原象系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成映象系統(tǒng)時(shí)，要能顯示出化繁為簡、化難為易或化生為熟的作用；二是能導(dǎo)致映射和反演過程的存在性及能行性；三是映射方法本身的構(gòu)造要符合美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，即既是自然的和簡單的，而且形式又是比較優(yōu)美的，只有這樣選擇映射，才能更好地解決問題。數(shù)學(xué)家利用關(guān)系映射反演方法曾經(jīng)解決了歷史上許多難題和“不可能”的問題。例如：證明是無理數(shù)、證明“幾何三大難題”的不可能性等等。

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