例談分類法在等腰三角形中的應(yīng)用

摘 要：分類討論是將要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分若干不同的情形，然后再逐類進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)解題方法。分類思想方法實(shí)質(zhì)上是按照數(shù)學(xué)對象的共同性和差異性，將其區(qū)分為不同的種類從而化整為零，各個(gè)擊破，然后對討論的結(jié)果進(jìn)行歸納、合并、綜合得出結(jié)論。其作用是克服思維的片面性，防止漏解。

關(guān)鍵詞：分類討論；等腰三角形；直角三角形

分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)方法，同時(shí)也是一種重要的解題策略。這類試題不僅考查我們的數(shù)學(xué)基本知識與方法，而且考查了我們思維的深刻性。下面我以特殊三角形為例，淺顯地談?wù)劮诸惙ǖ膽?yīng)用。

一、等腰三角形的腰或底邊不定時(shí)需要分類討論

在等腰三角形中求邊長時(shí)，要看給出的邊長是否確定為腰長或底邊，若已確定，則直接利用等腰三角形的性質(zhì)定理求解；若沒有指出所給的邊是腰還是底邊，要分兩種情況討論，并三角形內(nèi)角和三邊的關(guān)系檢驗(yàn)其是否能構(gòu)成三角形。

例1.已知在等腰三角形中，（1）若一邊長等于4 cm，另一邊等于5 cm，求它的周長；（2）若周長為20 cm，一邊長為5 cm，求它的三邊長。

分析：不能確定已知邊是腰還是底邊，因此分兩種情況討論：

（1）若底邊長為4 cm，則腰長為5 cm，這時(shí)它的周長為4+5+5=14 cm；若腰長為4 cm，則底邊長為5 cm，這時(shí)它的周長為4+4+5=13 cm，所以這個(gè)三角形的周長等于14 cm或13 cm.

（2）若底邊長為5 cm，則腰長為7.5 cm.

（3）若長為5 cm的邊是腰，則底邊長為10 cm，因?yàn)?+5=10 cm，即兩邊之和等于第三邊，不符合三角形三邊關(guān)系，因此三角形不存在，所以它的邊長為5 cm，7.5 cm，7.5 cm.

例2.若等腰三角形一腰上的中線分周長為9 cm和12 cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長。

分析：已知條件并沒有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12 cm，因此，應(yīng)有兩種情形。

若設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長是x cm，底邊長為y cm，可得x+ x=9 x+y=12或x+ x=12 x+y=9解得x=6y=9或x=8y=5即當(dāng)腰長是6 cm時(shí)，底邊長是9 cm；當(dāng)腰長是8 cm時(shí)，底邊長是5 cm。

二、等腰三角形的頂角或底角不定時(shí)需要分類討論

在等腰三角形中求邊角時(shí)，要看給出的角是否確定為頂角或底角，若已確定，則直接利用三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)定理1（等邊對等角）求解；若沒有指出所給的角是頂角還是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形內(nèi)角和定理。

例3.已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)，計(jì)算三角形的另外兩個(gè)角的讀數(shù)。

（1）已知一個(gè)角是30°；（2）已知一個(gè)角是160°。

分析：如果已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是銳角，可分兩種情況，頂角是已知銳角或者底角是已知銳角；如果已知一角是鈍角或者直角，那么它一定是等腰三角形的頂角。

（1）若已知角是頂角，則另外兩個(gè)角是底角，度數(shù)為 ×（180°-30°）=75°；若已知角是底角，則頂角度數(shù)為180°-2×30°=120°，另一個(gè)底角為30°。

（2）由于已知等腰三角形的一個(gè)角是160°，又由于兩個(gè)底角相等，因此這個(gè)角只能是頂角，因此這個(gè)角只能是頂角，因此兩個(gè)底角度數(shù)都是 ×（180°-160°）=10°

三、等腰三角形的形狀不定時(shí)需要分類討論

由于等腰三角形類型的不同，高線所處的位置也不同。如果是銳角三角形則高線在三角形內(nèi)部；如果是直角三角形，高線就是一條直角邊；如果是鈍角三角形，高線在三角形外部。所以在等腰三角形中求高線時(shí)，要看給出的三角形是否確定，若已確定，則直接利用三角形高線的位置進(jìn)行求解；若沒有指出則要分三種情況討論。

例4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為a，求底邊上的高線長。

解析：題目沒有確定三角形的類型，所以這個(gè)等腰三角形需分三種情況進(jìn)行討論。

（1）如圖1，若△ABC是銳角三角形時(shí)，已知AB=AC，BE⊥AC，∠ABE=30°，AD⊥BC，求AD的長。

因?yàn)檠L為a，∠ABE=30°，故腰上的高為 a，且頂角為60°，從而△ABC是等邊三角形，所以底邊上的高為 a。

（2）如圖2，若是鈍角三角形，已知AB=AC，BE⊥AC，∠ABE=30°，AD⊥BC，求AD的長。

因?yàn)椤螦BE=30°，所以∠BAC=90°+30°=120°.又因?yàn)锳B=AC，所以∠BAC=30°。因?yàn)锳D⊥BC，所以AD= AC= a。

（3）若頂角為直角，顯然是不成立的。

綜上所述，底邊上的高為 a或 a。

由以上的幾個(gè)例子我們可以看出分類討論往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。

利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握分類的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時(shí)間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會使學(xué)生在認(rèn)識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。

參考文獻(xiàn)：

方志平.例談避免分類討論的解題策略.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2013（01）.

個(gè)人簡介：周晶晶，女，1984年11月出生，本科，就職于浙江省浦江縣第四中學(xué)，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。