單脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍研究

武健，劉新學，舒健生，李亞雄，閆建崢

(1.第二炮兵工程大學906教研室，陜西西安710025;2.中國人民解放軍96251部隊，河南洛陽471003)

0 引言

軌道機動是動能型在軌攔截器對目標航天器實施攔截作戰(zhàn)的前提，脈沖軌道機動在工程上易于實現(xiàn)，是各種軌道機動設(shè)計的基礎(chǔ)［1-2］。為保證機動軌道設(shè)計和優(yōu)化的可行性，在脈沖軌道機動設(shè)計與優(yōu)化前，應(yīng)該考慮目標航天器是否在在軌攔截器覆蓋范圍內(nèi)。

文獻［2］研究了在衛(wèi)星軌道上任意一點施加大小固定、方向任意的脈沖后生成軌道的可達區(qū)域。文獻［3］考慮脈沖幅值較小、生成軌道為橢圓軌道的情況，對初始軌道上任意點施加平面內(nèi)幅值固定、方向任意的脈沖后衛(wèi)星的機動范圍進行了研究，所得結(jié)論適用于初始軌道為圓軌道和小偏心率橢圓軌道的情況。文獻［4］推導了施加脈沖后生成軌道的運行規(guī)律，提出了利用優(yōu)化理論確定衛(wèi)星可達范圍邊界的方法，可用于初始偏心率較大的橢圓軌道。文獻［5］利用包絡(luò)線的方法確定了衛(wèi)星在軌道平面內(nèi)的可達范圍。目前，這些理論研究大都集中于平面脈沖作用下衛(wèi)星可達范圍的確定［6-7］，但對任意方向單脈沖作用下衛(wèi)星的可達范圍研究較少。

本文圍繞單脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍展開研究，將初始軌道分為圓軌道和橢圓軌道，研究了單脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍及描述形式。

1 模型假設(shè)與坐標系定義

本文研究中作如下假設(shè):

(1)地球為均勻圓球，半徑Rc=6 371 km;

(2)只考慮地球引力，忽略其他攝動力的影響;

(3)脈沖施加過程瞬間完成，忽略脈沖施加過程中在軌攔截器位置的變化;

(4)在軌攔截器提供的脈沖幅值較小，可提供大小不超過Δvmax、方向任意的脈沖。

本文研究主要在近焦點坐標系下，同時為了數(shù)學描述簡捷，設(shè)計了一種近焦點坐標系球面坐標表示形式。

(1)近焦點坐標系

以軌道焦點為坐標原點，xy平面為軌道平面且x軸從焦點指向近地點，z軸與角動量方向一致，y軸與x軸和z軸構(gòu)成右手正交坐標系［8］。

(2)近焦點坐標系的球面坐標描述形式

如圖1所示，定義近焦點坐標的球面坐標形式為(ρ，φ，θ)，ρ為某矢量 T 的模;φ 為矢量 T 與其在xOy投影T'夾角;θ為T'與Ox軸夾角。

圖1 近焦點坐標系的球面坐標形式Fig.1 Spherical coordinate of near focus coordinate system

球面坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化關(guān)系為:

2 圓軌道在軌攔截器覆蓋能力

脈沖Δv可分解為在軌道面內(nèi)的脈沖ΔvR及垂直軌道面方向的脈沖ΔvW，且滿足:

式中，α為脈沖矢量與其在軌道面的投影夾角。

2.1 平面脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍

平面脈沖ΔvR作用下，利用活力公式推導出脈沖施加前后在軌攔截器的半長軸 a0和 af，具體為［9］:

式中，μ為地球引力常數(shù)，r為脈沖施加時刻在軌攔截器的地心距;v0，vf為脈沖施加前后在軌攔截器的速度大小。vf計算如下:

式中，β為脈沖矢量ΔvR與速度矢量v0的夾角。

脈沖施加前后在軌攔截器半長軸改變量為:

分析可知，Δa為vf的單調(diào)遞增函數(shù)，當β=0且ΔvR=Δvmax時，半長軸增加最大;當β=π且ΔvR=Δvmax時，半長軸減少最大。由于圓軌道的特性(軌道上各點的地心距、速度大小都相等)，則在軌道上每一點施加大小相同、方向與該點速度方向一致(相反)的速度脈沖后，在軌攔截器生成軌道的地心距最大值(最小值)相等。初始軌道為圓形軌道時，平面單脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍為一圓環(huán)，用球面坐標描述為:

2.2 垂直軌道面脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍

在垂直軌道面脈沖ΔvW作用下，軌道半長軸的變化Δa及軌道傾角變化Δi計算公式為:

式中，h為角動量;Δh=r×ΔvW，為角動量改變量。

由于圓軌道的特征，在任意點施加方向、大小相同的垂直軌道面脈沖，在軌攔截器生成軌道地心距最大值(最小值)相等，垂直軌道面脈沖引起軌道傾角變化且大小相同。因此，垂直軌道面脈沖作用時，在軌攔截器覆蓋范圍為一曲面繞z軸旋轉(zhuǎn)形成的區(qū)域，用球面坐標描述如下:

2.3 單脈沖作用下圓軌道在軌攔截器覆蓋范圍

任意方向、大小單脈沖作用時，可看成兩個過程的疊加，平面脈沖改變軌道半長軸，垂直軌道面脈沖改變軌道傾角和軌道半長軸。綜合2.1節(jié)和2.2節(jié)模型可得在軌攔截器覆蓋范圍為一曲面繞z軸旋轉(zhuǎn)形成的包絡(luò)區(qū)域，數(shù)學描述為:

3 橢圓軌道在軌攔截器覆蓋能力

3.1 平面脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍

平面脈沖ΔvR作用下，在軌攔截器生成軌道的動量矩 h1和偏心率e，計算如下［10-11］:

式中，i，j為近焦點坐標系 x，y軸的單位矢量;ei，ej為偏心率e在x，y軸的分量值，計算如下:

式中，θ為脈沖施加點的真近點角;γ為脈沖施加點在軌攔截器速度矢量與矢徑垂線方向夾角。

θ，β 在［0，2π)變化時生成軌道曲線族［5］，生成的軌道半徑統(tǒng)一描述為:

式中，f1為生成軌道上某點矢量與x軸夾角。

根據(jù)包絡(luò)線的定義，曲線族的包絡(luò)線即為在軌攔截器覆蓋范圍的邊界。在軌攔截器覆蓋范圍的內(nèi)外邊界計算［5］如下:

對上式進行求解，得到平面脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍，具體求解過程參見文獻［5］。

3.2 垂直軌道面脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍

初始軌道為橢圓軌道，在垂直軌道面的脈沖作用下，用位置矢量描述在軌攔截器的覆蓋范圍較為復雜，本節(jié)用軌道根數(shù)描述垂直軌道面脈沖作用下在軌攔截器的覆蓋范圍。

在垂直軌道面脈沖作用下，根據(jù)高斯攝動方程得到在軌攔截器的軌道根數(shù)變化如下:

式中，Δa，Δe，Δi，ΔΩ，Δω，ΔM 為軌道根數(shù)變化量;n為平均運動常數(shù)。暫不考慮高斯攝動方程極值點情況，從式(14)可以得出，Δi，ΔΩ，Δω中兩個變量獨立。選Δi，ΔΩ作為描述在軌攔截器覆蓋范圍的參數(shù)，它們滿足:

3.3 單脈沖作用下橢圓軌道在軌攔截器覆蓋范圍

在軌攔截器初始軌道為橢圓軌道，當有任意方向、大小的單脈沖作用時，可把該沖量看成平面脈沖和垂直軌道面脈沖的疊加。綜合3.1節(jié)和3.2節(jié)模型，將(Δi，ΔΩ，r)作為描述在軌攔截器覆蓋范圍的參數(shù)。Δi和ΔΩ確定時，施加脈沖真近點角θ的位置確定，則式(13)退化為:

對上式求解，得到真近點角θ與β的關(guān)系［5］，聯(lián)立式(15)得到單脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍的數(shù)學描述如下:

4 仿真計算及結(jié)果分析

4.1 初始軌道為圓軌道的情況

仿真條件取為:r=8 000 km，v=7.059 km/s，Δvmax=0.3 km/s。圖2給出了平面脈沖作用下在軌攔截器的覆蓋范圍。

圖2 在軌攔截器覆蓋范圍(平面脈沖)Fig.2 Coverage area of orbit-interception(coplanar impulse)

垂直軌道面脈沖作用下為繞近焦點坐標系z軸的旋轉(zhuǎn)體，沿z軸且x＞0切面如圖3所示。

圖3 覆蓋范圍切面圖(垂直軌道面脈沖)Fig.3 Section diagram of coverage area(vertical impulse)

任意方向、大小單脈沖作用下，在軌攔截器的覆蓋范圍也是繞近焦點坐標系z軸的旋轉(zhuǎn)體，沿z軸且x＞0切面如圖4所示。

圖4 覆蓋范圍切面圖(任意方向)Fig.4 Section diagram of coverage area(any direction)

4.2 初始軌道為橢圓軌道的情況

仿真條件設(shè)置為:(a，e，i，Ω，ω，M)=(20 000 km，0.5，30°，45°，60°，0°)，Δvmax=0.3 km/s。圖 5給出了平面脈沖作用下在軌攔截器覆蓋范圍。垂直脈沖作用下Δi，ΔΩ的變化范圍如圖6所示。任意方向、大小作用下，ΔΩ=0時在軌攔截器覆蓋范圍如圖7所示。圖8給出了ΔΩ=0時在軌攔截器覆蓋范圍。

從仿真結(jié)果可以看出，當最大變軌能力給定時，利用文中方法可以快速確定單脈沖作用下在軌攔截器的覆蓋范圍。

圖5 在軌攔截器覆蓋范圍(平面脈沖)Fig.5 Coverage area of orbit-interception(coplanar impulse)

圖6 在軌攔截器覆蓋范圍(垂直軌道面脈沖)Fig.6 Coverage area of orbit-interception(vertical impulse)

圖7 在軌攔截器覆蓋范圍(Δi=0，ΔΩ=0)Fig.7 Coverage area of orbit-interception(Δi=0，ΔΩ =0)

圖8 在軌攔截器覆蓋范圍(ΔΩ=0)Fig.8 Coverage area of orbit-interception(ΔΩ =0)

5 結(jié)束語

作為動能型在軌攔截器實施機動及優(yōu)化的前提，在給定最大變軌能力下的覆蓋范圍研究具有重要意義［12］。本文利用運動方程及高斯方程，分別研究了初始軌道為圓軌道及橢圓軌道在共面、垂直軌道面脈沖、任意方向脈沖作用等三種情況下在軌攔截器的覆蓋范圍。仿真表明，文中模型能夠簡捷有效地確定在軌攔截器的覆蓋范圍，為機動軌道設(shè)計與優(yōu)化前提判斷以及在軌攔截器的軌道設(shè)計提供技術(shù)支持。

［1］ Kamel O M，Soliman A S.On the optimization of the generalized coplanar Hohmann impulsive transfer adopting energy change concept［J］.Acta Astronautica，2005，56(4):431-438.

［2］ 李雪華，和興鎖，仲勤芳.單脈沖作用下衛(wèi)星軌道的可達區(qū)域研究［J］.西北工業(yè)大學學報，2011，29(1):114-117.

［3］ 雪丹，李俊峰，寶音賀西.平面脈沖作用下衛(wèi)星軌道的可達范圍研究［J］.宇航學報，2009，30(1):88-92.

［4］ 雪丹，李俊峰.確定衛(wèi)星可達范圍的優(yōu)化方法［J］.清華大學學報(自然科學版)，2009，49(11):1825-1855.

［5］ 雪丹，李俊峰，蔣方華.衛(wèi)星在軌道平面內(nèi)的可達范圍研究［J］.力學學報，2010，42(2):337-342.

［6］ 常燕，周軍.空間飛行器追蹤區(qū)設(shè)計［J］.宇航學報，2006，27(6):1228-1232.

［7］ 陳茂良，周軍，常燕.空間攔截攻擊區(qū)和威脅區(qū)仿真研究［J］.航天控制，2009，27(1):41-48.

［8］ 周建華，徐波，馮全勝.軌道力學［M］.北京:科學出版社，2009:59-61.

［9］ 楊嘉墀，范劍峰，范秦鴻.航天器軌道動力學與控制［M］.北京:宇航出版社，1995:54-56.

［10］ Vinh N X，Gilbert E G，Howe R M，et al.Reachable domain for interception at hyperbolic speeds［J］.Acta Astronautica，1995，35(1):1-8.

［11］ Ranieri C L.Path-constrained trajectory optimization for proximity operations［R］.AIAA-2008-6275，2008.

［12］曹裕華，馮書興，管清波.航天器軍事應(yīng)用建模與仿真［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2010:1-8.