貝葉斯認證理論與證據支持關系探析

黎紅勤

(中山大學哲學系，廣州 510275)

一、引言

科學認證理論主要是關于科學推理以及科學假說的接受與評價問題，試圖回答證據如何支持假說，實驗結果對假說產生何種程度的支持。貝葉斯認證理論作為一種定量的認證方法，引入了測度相關性(relevance measure)函數Cpr，通常貝葉斯認證是關于證據、假說、背景知識的三元關系，因此有:當 Cpr(h，e，K)＞0時，即 P(h|e，K)＞P(h|K)，e認證 h;當 Cpr(h，e，K)=0時，即 P(h|e，K)=P(h|K)，e無關于 h;當 Cpr(h，e，K)＜0時，即 P(h|e，K)＜P(h|K)，e否證h。我們知道貝葉斯認證理論的理論基礎是概率的主觀主義解釋，即將概率解釋為主觀置信度。因此，在上面的式子中，P(h|K)是驗前概率，即沒有獲得證據e時認知主體對假說h的置信度，P(h|e，K)是驗后概率，即認知主體得知證據e后的概率，驗前概率和驗后概率只是針對e而言的。正相關認證函數是一種比較常用的測度相關性函數，在貝葉斯認證理論中得到比較普遍的應用，即d(h，e)=P(h|e，K)－P(h|K)。①測度相關性函數有很多種表達方式，除了正相關測度函數之外還有對數比例測度r(h/e)=log［P(h/e)/P(h)］以及似然比對數測度l(h，e)=log［P(e/h)/P(e/～h)］。不過在使用哪個測度相關性函數的問題上，貝葉斯陣營內是有分歧的。不僅如此，測度函數的多樣性產生了貝葉斯的“測度敏感性”問題，即不同的測度函數測出證據對假說的認證度是不一樣的，這也是貝葉斯認證理論面臨的一個重大挑戰(zhàn)之一。

貝葉斯認證理論簡單卻有力，由于它能通過測度相關性函數測度認證的程度，因此比常規(guī)的定性的認證理論要優(yōu)越。它的頗富解釋力的描述分析和相應的規(guī)范功能成為當代科學推理和科學假說檢驗與評估的主流方法論，但是它也面臨著一些挑戰(zhàn)，比如胡貝爾問題與舊證據問題。

胡貝爾(F.Huber)認為根據貝葉斯定理可推出證據的可靠性與認證度的反比關系，他進一步認為這種有違直覺的關系構成了對貝葉斯認證理論的主要責難，而格利莫(C.Glymour)提出的舊證據問題則是這種不統(tǒng)一的反比關系更深刻的描述。筆者將表明證據的可靠性與認證度的反比關系并不是貝葉斯認證理論和科學家實踐的分歧，恰恰相反，貝葉斯認證理論如實地反映了科學家的實際行為。

要正確認識證據對假說的認證效力，我們就需要重新審視證據對假說的支持關系。常規(guī)的認證理論將證據對假說的支持關系看作是一種單一的靜態(tài)關系，然而通過貝葉斯認證理論對證據支持關系的分析，我們不難看出假說與和證據之間的支持或認證關系是復合多元的，并且呈現(xiàn)出一種動態(tài)發(fā)展關系。所以有時就會呈現(xiàn)出如胡貝爾所說的證據的可靠性與認證度之間的反比關系。我們先來看看胡貝爾的證據可靠性與認證度之間的反比關系問題如何對貝葉斯認證理論造成了“沖擊”。

二、證據的可靠性與認證度的反比關系

根據胡貝爾的論述，假設在時間t1背景知識為K1，而在時間t2背景知識為K2，認知主體知道K和h可邏輯推出e。隨著時間不同證據對假說的認證度會發(fā)生變化，根據正相關認證測度函數有:

根據貝葉斯定理分別得到:

假定從t1到t2背景知識并未變化，則有K1=K2，根據杰弗里條件化規(guī)則，有 P1(h|e，K1)=P2(h|e，K1)=P2(h|e，K2)。e是 h與 K 的邏輯后承，故有 P1(e|h，K1)=P2(e|h，K2)=1，綜上有:

(1)d1(h，e，K1)＞ d2(h，e，K2)，當且僅當P2(e|K2)＞ P1(e|K1)［1］。

上式表明，如果P2(e|K2)＞P1(e|K1)，即:比起t1時刻，在t2時刻證據e的可靠程度更高，但是我們卻得到 d1(h，e，K1)＞ d2(h，e，K2)，即在 t2時刻證據e對假說h的認證度比起t1卻更小。更一般地，如果e的概率很小，即極不可能的事情竟然發(fā)生了，它對假說h的認證度反而會很大，而如果e極其可信，那么它對假說的認證度反而會很小。似乎貝葉斯認證理論得出的結論和我們的直覺不符，即證據e越可靠，那么對假說的認證程度就會越高。

筆者認為并不像胡貝爾所說的，式(1)構成了對貝葉斯認證理論的責難，筆者將要表明式(1)并沒有造成貝葉斯認證和科學家實踐的分歧，恰恰相反，貝葉斯認證理論如實地反映了科學家的實際行為，我們的直覺只是出于對科學行為的誤解。

科學家在檢驗一個假說時一般的操作是，先構建一個理論模型，然后在這個模型基礎上做出預測，隨后設計實驗并獲得數據或結論，接下來比對實驗結論與預測之間是否一致。一個檢驗通常包括一些實驗設置及其實驗初始條件，當然實驗的設計并不能完全達到理想的環(huán)境，因此就需要一些輔助性的條件，這些輔助性條件控制的好壞會影響實驗獲得的證據的可靠性。

我們以貝爾不等式的判決性實驗來說明。1965年貝爾(John Stewart Bell)在《論EPR佯謬》一文中根據“可分離原則”導出了一個雙粒子自旋系統(tǒng)的不等式，叫“貝爾不等式”。這一不等式顯示了相對論所要求的“定域性”與量子力學之間的深刻矛盾，并提供了利用實驗來進行判決的可能性。如果“貝爾不等式不成立”則愛因斯坦的“可分離性原則”就成立，否則玻爾的“不可分離性原則”就成立。

在1972年后的30年里，伯克利、哈佛和得克薩斯等地陸續(xù)公布了不少驗證貝爾不等式的典型實驗，其中大多數是用原子的級聯(lián)放射產生的關聯(lián)光子對做的，并且大多數的實驗結果都同量子力學的預期一致，但由于實驗設計方案離理想實驗較遠，因而有的實驗結果可靠性不高。1982年阿萊恩·阿斯派克特、達利巴德與羅哲等人對EPR作出檢驗，他們用非線性激光激勵原子級聯(lián)放射產生孿生光子對來做實驗，該實驗采用了雙波導的起偏器，實驗方案也如同EPR理想實驗一樣，實驗結果和量子論的預言完全符合。而后許多物理學家都重復阿斯派克特的實驗，并且運用更新的手段，使實驗模型越來越靠近愛因斯坦當年那個最原始的EPR設想。馬里蘭(Maryland)和羅切斯特(Rochester)則采取非線性地分出紫外光子的辦法來產生EPR關聯(lián)光子對，使驗證實驗更為精確和客觀。1998年，奧地利因斯布魯克大學(Innsbruck)的實驗團隊的實驗表明了孿生量子實體的不可分離性即非定域性，他們最后作出的結論是:實驗結果極為優(yōu)勢地同量子力學的預期一致，無可置疑地違反了貝爾不等式。2003年，皮特曼(Pittman)和法蘭森(Franson)則報道了產生于兩個獨立源的光子對于貝爾不等式的違反［2］。

我們看到關于“貝爾不等式”的整個動態(tài)的檢驗過程，正是顯示了前文所闡述的思想，即證據的可靠性與認證力度是呈反比關系的。由于貝爾不等式驗證條件要求頗高不易實現(xiàn)，因此1982年阿萊恩·阿斯派克特的實驗雖然比起之前的實驗精確度是一個很大的提升，但在很多科學家看來實驗的可靠性并不是很高，然而毫無疑問它對量子力學卻是極大的認證，整個學界會為它的檢驗結果而熱血沸騰。后續(xù)的實驗提高了證據的可靠性，而其認證度遠無法和阿斯派克特的實驗相比，也就是說隨著證據的可靠性提高其支持力度卻逐漸削弱。而此時要想獲得更高的認證就必須采用新的實驗方法或者改變實驗設置，比如馬里蘭(Maryland)和羅切斯特(Rochester)采取非線性地分出紫外光子的辦法，而皮特曼(Pittman)和弗蘭森(Franson)則訴諸于兩個獨立源的光子對。

因此，重復實驗的目的就是為了消除證據的不確定性，而一旦科學家認為產生證據的實驗控制足夠精確即證據足夠可靠，科學家就認為沒有什么可質疑的，這時科學家賦予該證據為1的概率，即將它歸入背景知識。馬斯格雷夫(A.Musgrave)提到，經過多次重復實驗后，科學家會發(fā)現(xiàn)同樣的實驗設置只會得出類似的結果。他提議將這些普遍規(guī)律加入背景知識，并且基于這些背景知識我們可以預測下一次的實驗會得出類似的結果。因此他認為，可以用P(e|h＆K)－P(e|K)來測度e是否可以認證h。顯而易見，如果e被歸入背景知識，則有 P(h|e ＆K)=P(h|K)［3］。這個時候證據e對被檢驗的假說的認證度就為0，因此很多科學家也就不再展開類似的實驗來提高對假說的認證，因為證據不能無限度地認證假說，也就是證據對假說存在有限認證，科學家的直覺和貝葉斯方法的結論并無不同。通常在這之后科學家有兩種做法:第一種就是充分肯定假說的可靠性，并將其視為成功的理論體系;第二種就是尋求其他不同的證據的認證，即尋求多樣化的證據來實現(xiàn)對假說的進一步認證。

假設e是已發(fā)現(xiàn)過的證據也就是舊證據，則有P(e)=1，假說 h能夠推出e，則P(e|h)=1，根據貝葉斯定理得到P(h|e)=P(e|h)P(h)/P(e)=P(h)，因此e不能認證假說。這就是通常意義上的舊證據問題。反貝葉斯主義普遍認為，舊證據問題造成了對貝葉斯方法的主要責難。這里的舊證據存在概念的混淆，筆者在另一文中嘗試對舊證據問題進行了澄清［4］。不過值得補充的是，陳曉平提出了一個消解舊證據問題的方案，可以說為貝葉斯的發(fā)展掃清了障礙［5］。

而要進一步闡明貝葉斯認證理論，我們有必要重新審視假說與證據支持之間的關系。常規(guī)的認證理論將證據對假說的支持關系看作是一種單一的靜態(tài)關系，甚至在邏輯實證主義那里，認證完全是一種純粹的邏輯關系，這恰恰是庫恩的理論要致力批判的。從下文貝葉斯認證理論對證據支持關系的分析中，不難看出證據和認證度之間的關系是復合多元的，并且呈現(xiàn)出一種動態(tài)發(fā)展關系。根據貝葉斯定理，即P(h|e)=P(h)P(e|h)/P(e)，我們得到e對h的認證度決定于證據e的概率以及證據e對假說的似然性(有時也稱為預測度)。也就是說證據對假說的支持度和證據的概率，以及證據的似然性息息相關，而證據的數量，證據的精確性、多樣性、新穎性和證據增加的速度等等都會影響認證度。不僅如此，假說對證據的解釋能力、證據對假說的預測程度也影響了證據對假說的支持度。下面我們將從證據的意外程度、證據的有限認證兩方面展開。

三、假說與證據支持

常規(guī)認證理論認為在缺乏不利證據的情況下，一個假說的認證通常是隨著有利檢驗結果的增多而增加的。我們知道假說的某個邏輯后承e可以認證假說。豪森深入探討了這種認證關系［6］120。對于假說 h，e1、e2、…、en是他的一系列邏輯后承，并且對于所有i有P(ei|h)=1;令en=e1＆e2＆…＆en，對于所有 n 有 P(en|h)=1，結果有P(h|en)=P(h)/P(en)，由此得到:

P(h|en)=P(h)/P(e1)P(e2|e1)P(e3|e1＆e2)…P(en|en－1);

上式表明，由于ei是h的邏輯后承，此時h的驗后概率決定于驗前概率與全證據的概率。如果P(h)＞0，隨著 n趨近于無窮，P(en|en－1)必定會趨近于1，即此時 P(h|en)趨近于 P(h|en－1)，即en－1和en對h的認證并無實質上的區(qū)別。這個論證來自杰弗里斯，我們簡要地闡述一下:

在具體的科學事件中，針對假說h，我們做出不同預測，比如基于牛頓經典物理體系下，我們可以有很多不同的模型，包括自由落體，拋物線運動，單擺的擺動等等。這些模型都是牛頓萬有引力模型的邏輯后承，我們將牛頓引力模型記為h，而自由落體為hr，hr為h的邏輯后承。hr有一系列的邏輯后承即e1、e2…en，由于hr是h的邏輯后承，e1、e2…en也者是h的邏輯后承。根據貝葉斯定理:

P(h|en)=P(h)/(P(e1)P(e2|e1)…P(en|en－1));

且有P(hr|en)=P(hr)/P(e1)P(e2|e1)…P(en|en－1))。

將上面的兩個公式合在一起，消去P(e1)P(e2|e1)… P(en|en－1)就得到:

P(h|en)/P(hr|en)=(P(h)/P(hr));

等式兩側分別乘以P(hr|en)得到:

P(h|en)=(P(h)/P(hr))P(hr|en)。

由于P(hr|en)必定小于或等于1，于是我們從上式得到:

P(h|en)≤P(h)/P(hr)［6］120－122;

這意味著，同一種類型的證據即hr的邏輯后承e1、e2…en對假說h的驗后概率有一個上限，即:P(h)/P(hr)，進而使這些證據對h認證度也有一個上限。正因為此，科學家們設計了某項實驗并通過認證以后，一般會停止此類實驗，轉向其他模型其他的實驗來認證假說。比如，對于牛頓體系，科學們不會一直重復地進行和審查有關自由落體運動的證據，而是轉向研究單擺運動、雙星纏繞定律、月球引力引起的潮汐現(xiàn)象，或者是哈雷彗星的周期，進而對理論展開新的檢驗，并從中取得不同類型的證據。這就是說，證據的多樣性對于提高假說的認證度是必不可少的。亨普爾曾仔細分析斯奈爾定律檢驗并考察了多姆山實驗，闡明了多樣性的證據的重要意義［8］。

讓我們繼續(xù)探討證據支持這種關系。舉個例子，愛因斯坦的“不可能環(huán)”的發(fā)現(xiàn)對廣義相對論是個極大的認證。根據愛因斯坦廣義相對論，來自遙遠星球或類星體的光線或放射波繞過巨大的前景物體到達地球的路程中會發(fā)生引力收縮，物體的引力將使射線發(fā)生彎曲，因此將產生一個或多個變形的光源成像。根據愛因斯坦理論預測的這種不同尋常的天文現(xiàn)象“不可能環(huán)”竟然實現(xiàn)了，天文學家用射電望遠鏡矩陣，意外地發(fā)現(xiàn)在獅子星座中的物體由于重力透視效應的影響已經呈現(xiàn)出了一個完整的環(huán)狀。

證據越是意外則認證度越高，這是貝葉斯理論的自然效應。因為貝葉斯定理P(h|e)=P(h)P(e|h)/P(e)右邊的分母P(e)表示預測證據的置信度，其值越低越不可信，因而越令人感到意外。在上例中，愛因斯坦指出，只有當光源和收縮物體與地球精確地處于同一直線時，成像才有可能形成一個完整的光環(huán)——這似乎是不太可能的事情，對于我們而言，由于這種及其苛刻的條件意味著證據的概率即P(e)幾乎趨近于零，證據e即發(fā)現(xiàn)“不可能環(huán)”意外程度很高。在這種情況下根本不可能發(fā)生的意外事情e竟然發(fā)生了，導致P(h|e)＞＞P(h)。這表明，貝葉斯理論很好地刻畫了證據的意外度與它對假說的認證度之間的正相關性。

豪森舉了一個生活的例子［6］123，假如一個所謂的通靈師預測你晚上會遇到一個陌生黑人，你可能會不屑一顧，即便是真正發(fā)生了，你只會認為他只是碰巧猜對了。但如果通靈師不單預測到了這個陌生人還預測到這個人頭上有多少頭發(fā)，那么當這個預測成真時，你之前的疑慮大概就會消失，進而很大程度上確信他可能真的掌握通靈術。否則，他怎么會預測的那么準確呢?對此，我們還可根據貝葉斯理論作如下說明:

根據貝葉斯定理有:

P(h|e)=P(h)P(e|h)/P(e);

上述等式右側分式的分子分母同時除以P(e|h)便得到;

上式表明，當P(h)和P(～h)沒有多大變化時，那么e對h的認證度將正相關于P(e|h)/P(e|～h)。如果那個所謂的通靈師不是真正會通靈術，那么他能夠預測你將遇到的那個黑人的頭發(fā)的數目是極不可能的，即通靈師不會通靈術(～h)對預測頭發(fā)根數(e)的似然性(P(e|～h))基本上可以認為是0，因此P(e|h)/P(e|～h)就非常大，進而P(h|e)/P(h)也就很大，這樣意外的證據對于他是通靈師的認證是非常大的。

類似地，我們會發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象。假如證據e1被證明為真，那么比起類似于e1的證據e2，與e1不同的證據e3對假說的認證度更大，即便是P(h|e2)和P(h|e3)沒有區(qū)別。那么貝葉斯理論怎么解釋這個現(xiàn)象呢?原因是Pi(e2|e1)＞＞Pi(e3|e1)，根據貝葉斯定理我們得到:Pi(h|e2，e1)=Pi(h)/Pi(e1)P(e2|e1)，且有 Pi(h|e3，e1)=Pi(h)/Pi(e1)Pi(e3|e1);于是得到 Pi(h|e2，e1)＜＜ Pi(h|e3，e1)，即 e3對 e2的認證更大［9］。

貝葉斯認證理論成功地表明，科學家的確會更喜歡驚奇、意外并且是多樣化的證據。證據的種類越多，對理論的支持就更大;而證據的意外程度越大，越是不可能，而其對假說的認證也就更大。可見，貝葉斯認證理論與科學實踐在這個方面是高度符合的。

四、主觀概率與認證度

貝葉斯認證理論之所以優(yōu)于常規(guī)的認證理論在于它不但可以對科學評價做定性的分析，還能導入主觀概率并對認證作定量的分析。顯然，貝葉斯認證理論的定量研究和概率的主觀主義解釋是密不可分的。這就回到一個根本的問題，即如何確定主觀概率?

按照概率的主觀主義解釋，概率是主觀置信度，那么依托于主觀置信度的認證理論也就具有主觀性和私人性。如此一來，科學檢驗和科學認證的客觀性如何體現(xiàn)?這正是概率解釋的客觀主義對貝葉斯主義的最根本的置疑或挑戰(zhàn)。這一追問使得貝葉斯認證理論對科學假說所作出的的評價讓人生疑，即因人而異的定量的認證理論其量化測度是否是空洞的、蒼白的?如果要讓這種測度具有客觀性和公共性，是否就必須具備概率指派的一般性標準，而一旦提出這種標準是否又同主觀概率解釋的主旨是相違背?如果貝葉斯理論不能回答這些置疑，那么貝葉斯認證理論作為一種量化的認證理論，在其哲學根基上就失去了重心，讓人難以依賴和接受。下面，我們考察貝葉斯認證理論面對這種困境的若干可能出路:

其一，承認主觀解釋這一基礎不可動搖的地位，并且將貝葉斯認證理論置于一種理性的情景下。這里貝葉斯理論是對一個全知全能的理性人的描述，因此概率的指派問題自然就不是問題，一個符合理性的主觀置信度必定是融貫且精確的概率。這樣認證理論就不需要標準，因為貝葉斯理論只是負責說明這種方法的合理性，而不必太執(zhí)意于其是否在現(xiàn)實生活中可操作，更不是對困在各種“非理性”思想中的一般人做出描述。

其二，將主觀概率進一步擴展為主體間的主觀概率。即要深入到具體的知識背景中，對于一個科學事件，決定這個事件的概率的是科學共同體的主觀置信度，而科學家之間的主體間性正是能夠促成這種達成一致的主觀置信度的要素。比如在普勞特事件中，①1815年普勞特提出了一個關于元素原子量的假說，他認為氫原子是基本元素，而所有元素的原子質量都是氫原子質量的整數倍。當時化學家測得的氫的質量是0.125，然而也測得不少元素的原子量不滿足普勞特的假說，比如當時測得氯的質量是35.83而不是氫的整數倍，與普勞特的預測不符。不過這些反常當時并沒有推翻普勞特的假說，其他科學家比如著名的化學家托馬斯(Thomas Thomason)同樣也并沒有因為反駁證據的出現(xiàn)而懷疑普勞特假說的真實性。參見C.Howson and P.Urbach.Scientific Reasoning.Chicago:Open Court Publishing Company，1993.當時的科學界普遍認為普勞特的假說正確的概率很高，因此該假說的概率可被認定為0.9，這個概率是不以個別科學家為轉移的，它體現(xiàn)了整個科學共同體的主觀概率，這樣我們就能擺脫由于主觀概率松散的限制所引發(fā)的苛責。而對普勞特假說構成威脅的否證性證據，在當時的背景下實際被賦予的概率是很低的。這也很符合科學家的直覺，即遇到反常時通常懷疑的不是理論本身而是證據的可靠性。

其三，在客觀解釋的影響下，主觀解釋向客觀解釋靠攏退回到一種折中的主觀解釋，即不再將概率解釋為主觀置信度，而是將主觀概率看做是對客觀概率的主觀估計。這樣既可以減少主觀概率的主觀性、私人性，從而又可以引入客觀概率的客觀性。但是這種進路是否能解決主觀解釋的根本問題而不會引入更多新的問題，是值得進一步思考的。

其四，通過貝葉斯理論的“意見收斂定理”，讓初始概率的主觀性和私人性淹沒在驗后概率的客觀性和公共性之中，從而達到主觀性和客觀性的統(tǒng)一。不過，意見收斂定理對“獨立重復實驗”的要求在科學實踐中往往不能完全滿足，從而使該定理的有效性受到限制［10］。

限于篇幅，以上的討論只是初略的，我們這里旨在表明，雖然概率指派的問題對認證理論造成一定的挑戰(zhàn)，但這個困難不是根本性的，也并非不可克服的，貝葉斯理論的前景還是頗為樂觀的。

五、結束語

從前面的討論中，我們看到貝葉斯認證理論不僅能夠定性地說明證據與假說之間的認證關系，還能通過測度相關性函數定量地描述這種認證關系。這種認證關系并不是單一靜態(tài)的，而是復合多元的，隨著人類認識水平的提高呈現(xiàn)出一幅動態(tài)的發(fā)展圖景。證據的可靠性越低、證據的意外程度越大、證據的多樣性程度越高，則證據對假說的支持會越大。隨著證據的可靠性不斷提升、可重復證據或相似證據逐步積累，證據對假說的認證度會逐漸達到飽和，甚至于到最后完全失去對假說的認證，而此時這些足夠豐富、足夠準確的證據就會納入背景知識，或者也被稱之為舊證據，從而喪失對假說的認證效應。要想尋求更高程度的認證，科學家就必須訴諸全新的、有著不同經驗內容的預測證據來認證假說，這樣一種動態(tài)的圖景如實反映了科學推理的一般特征，也進一步揭示貝葉斯方法的實踐意義。然而，貝葉斯認證理論的理論基礎是概率的主觀主義解釋，這里存在一個不容忽視的困境，即如果概率的解釋是主觀的，這樣得來的認證度是否是相對的、因人而異的，如此一來，測得的認證度將會喪失其合理性基礎。有顯著跡象表明，貝葉斯理論能夠在很大程度上克服這一理論困境。

致謝:本文能夠順利完成受益于陳曉平教授的悉心指導與珍貴的修改意見，在這里表示誠摯地感謝。

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