對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定條件

田素霞

（商丘師范學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，河南 商丘476000）

對(duì)角占優(yōu)矩陣及M-矩陣是計(jì)算數(shù)學(xué)和矩陣?yán)碚撗芯康闹匾n題之一。本文利用α-對(duì)角占優(yōu)矩陣給出了廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣和分塊對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定條件，改進(jìn)和推廣了文1-3的結(jié)果。

定義1 設(shè)A=（aij）∈Cn×n，若則稱A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣；若存在正對(duì)角矩陣X使得AX為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則稱A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

定義2 設(shè)A=（aij）∈Cn×n，若存在α∈（0,1]使則稱A為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣；若存在正對(duì)角矩陣X使得AX為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，則稱A為廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.

設(shè)A=（aij）∈Cn×n，把A分塊為：

這里Aii（1≤i≤k）為ni階方陣

定義4 設(shè)A=（aij）∈Cn×n，分塊如（1），若Aii（1≤i≤k）均非奇異，且：

則稱A為塊對(duì)角占優(yōu)矩陣；如果（2）的所有不等號(hào)為嚴(yán)格不等式，則稱A為塊嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣；若存在正對(duì)角矩陣X使得AX為塊嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則稱A為廣義塊對(duì)角占優(yōu)矩陣.

設(shè)A=（aij）∈Cn×n，分塊如（1），且Aii（1≤i≤k）均非奇異，構(gòu)造B如下：

引理1[1]設(shè)A=（aij）∈Cn×n,若A為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣,則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理2[1]設(shè)A=（aij）∈Cn×n，分塊如（1），且Aii（1≤i≤k）均非奇異，構(gòu)造B如（3），則A為廣義塊對(duì)角占優(yōu)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B是非奇異M-矩陣.

定理1 設(shè)A=（aij）∈Cn×n，若N1∪N2=N，N1∩N2=?及α∈（0,1]存在使得滿足：

則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

證明：令：

當(dāng)i∈N1時(shí)，

所以B為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣，由引理1知B為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,又因?yàn)閄為正對(duì)角矩陣，所以A也是廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。

定理2 設(shè)A=（aij）∈Cn×n，分塊如式（1），且Aii（1≤i≤k均非奇異，構(gòu)造B如式（3），若若存在M1∪M2={1，2，…∈，k}，M1∩M2=?及α∈（0,1]使得滿足：則A為塊廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣.

證明：由定理1知，如果滿足定理2的條件，則B是非奇異M-矩陣，由引理2知，A為塊廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣.

［1］孫玉祥.廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的充分條件[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997(3):216-223.

［2］高益明.矩陣廣義對(duì)角占優(yōu)和非奇的判定（Ⅱ）[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998（1）：12-17.

［3］陳神燦.奇異M矩陣和廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的實(shí)用判定準(zhǔn)則[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000（1）：36-40.

［4］蔣正新，施國(guó)梁.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用[M].北京：北京航空學(xué)院出版社，1998.