線性代數(shù)課程教學(xué)的實踐與思考

譚高山，汪忠志

（安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山234002）

線性代數(shù)課程內(nèi)容主要涉及行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型等六大板塊。目前大部分教材把線性方程組與其他內(nèi)容割裂開來，作為單獨的一部分內(nèi)容進行教學(xué)。雖然學(xué)生反映線性代數(shù)比高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計等其它課程容易學(xué)，但對知識的掌握停留在記概念、性質(zhì)、公式及其相關(guān)計算的層面上，仍以做練習(xí)題為主要手段。這就導(dǎo)致知識枯燥抽象，學(xué)生不能理解相關(guān)概念和理論之間的內(nèi)在聯(lián)系，更無法應(yīng)用相關(guān)知識解決問題，因此很難激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。線性方程組是整個代數(shù)理論重要的研究對象和研究工具，與其它知識板塊緊密聯(lián)系。其它知識為方程組理論及其求解提供有力的支持，線性方程組也為它們提供應(yīng)用背景，降低抽象性，并為相關(guān)問題提供方程求解策略。另外，作為科學(xué)研究和工程實際中廣泛存在的模型，方程組的求解至關(guān)重要，在教學(xué)中要對方程組AX＝b的求解進行完備。

一、線性代數(shù)課程與教材分析

長期以來我國主流的線性代數(shù)教材絕大多數(shù)屬于傳統(tǒng)的“塊狀”體系，課程的內(nèi)容基本包括以下部分：

行列式－矩陣－線性方程組－相似矩陣與矩陣對角化－二次型。這似乎已經(jīng)成為眾多教材體系的一個標準模式。自然，不同教材前三章的安排次序也有互異，例如：有的教材矩陣在前，有的則方程組在前，等等。在這種塊狀結(jié)構(gòu)下線性代數(shù)教學(xué)的情形并不像微積分那樣有一條清晰的主線－極限。擺在學(xué)生面前的每一個“塊”行列式、矩陣、線性方程組、特征值、二次型等等，仿佛都是一個孤立的“山包”，登上一個并不意味著就能順利通向另一個。學(xué)生似乎總是遇到一個個陌生的面孔，還得從頭認識、熟悉起來。由此看來，線性代數(shù)之所以難教、難學(xué)，在很大程度上正是源于它的這種塊狀結(jié)構(gòu)。在多年的教學(xué)實踐中，我們逐步摸索出一條以線性方程組為主線的教學(xué)模式，以此為核心貫穿整個教學(xué)過程，不僅脈絡(luò)分明，而且簡捷明了。

二、線性方程組在線性代數(shù)發(fā)展中的地位

線性代數(shù)起源于線性方程組的求解。早在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中對此就有比較完整的論述，其方法本質(zhì)上就是對方程組的增廣矩陣實施初等變換以消去未知量的方法，即高斯消元法。17世紀后期萊布尼茨就已開展線性方程組的研究，他曾研究具有兩個未知量的三個線性方程組成的方程組的求解問題。對線性方程組的研究無疑促成了行列式和矩陣理論的發(fā)展。行列式概念第一次在西方出現(xiàn)，是1693年在萊布尼茨給洛必達的一系列信中出現(xiàn)的，據(jù)此，萊布尼茨得到了發(fā)明行列式的榮譽。然而，1683年在日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和（被譽為“算圣”、“日本的牛頓”）的著作《解伏題元法》中就有了行列式的概念。1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們稱之為解線性方程組的克萊姆法則。行列式在18世紀已成為獨立的數(shù)學(xué)課題，但并未形成統(tǒng)一的理論，符號記法也沒有能得到很好的規(guī)范。稍后，數(shù)學(xué)家Bezout（1730～1783）將確定行列式每一項符號的方法進行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零解。

19世紀，英國數(shù)學(xué)家史密斯和道奇森在研究線性方程組理論的基礎(chǔ)上，分別引進了線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的概念，證明了線性方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等，這是現(xiàn)代方程組理論中的核心成果之一?，F(xiàn)在我們講解線性方程組求解問題正是通過對增廣矩陣施行初等行變換來進行的。

三、線性方程組與線性代數(shù)相關(guān)理論的內(nèi)在聯(lián)系

某種程度上，線性代數(shù)是研究線性方程組求解的科學(xué)。目前大部分線性代數(shù)教材以行列式、矩陣展開教學(xué)，這樣知識結(jié)構(gòu)比較“干凈”，教學(xué)也容易進行。但是學(xué)生不能掌握知識內(nèi)在的邏輯關(guān)系，在學(xué)時普遍緊張的情況下，教師只能照本宣科，學(xué)生只能死記硬背，照搬照抄應(yīng)付考試。以線性方程組為主線的線性代數(shù)教學(xué)［1］是一種有益的教學(xué)嘗試。線性代數(shù)主要內(nèi)容與線性方程組聯(lián)系緊密，相互依存，相互發(fā)展。下面我們分述之：

（一）矩陣、行列式和向量為方程組理論及其求解提供有力的支撐

1．線性方程組與矩陣。低階方程組可以直接用方程組的形式表示，但實際問題往往具有多個未知量，方程的階數(shù)很高，有時甚至成千上萬。因此有必要借助矩陣來表示和求解方程組。抽去線性方程組中的未知量與運算，即是線性方程組的矩陣表示。

2．線性方程組與初等變換、矩陣的秩。初等變換求解線性方程組就是去掉多余的方程，并得到方程組的標準等價形式。矩陣行階梯型的非零行行數(shù)即獨立方程的個數(shù)，也等于增廣矩陣的秩。增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等時，方程組才有解。

3．線性方程組與行列式、克萊姆法則。對于有n個未知量、n個方程的特殊方程組，當(dāng)系數(shù)行列式不為零時，可用克萊姆法則求解，需要計算n＋1個n階行列式。

4．線性方程組與向量組的線性表出、線性相關(guān)性以及極大無關(guān)組。方程組右端向量可由系數(shù)列向量組線性表出等價于方程組有解，且表出系數(shù)即方程組的解。向量組線性相關(guān)（無關(guān)），對應(yīng)線性方程組有（無）非零解。利用解向量組的極大無關(guān)組可以表示方程組的解空間。

（二）方程組為相關(guān)概念和理論提供實例解釋，便于抽象理論的理解和掌握

線性代數(shù)一般開設(shè)在大一下學(xué)期，這個時期的學(xué)生思維還是以具體形象思維為主，不習(xí)慣在一門課中短時間接觸這么多抽象的數(shù)學(xué)研究對象，因此教學(xué)中要能夠讓這些抽象的概念“落地”，要形象，要能夠落實到計算中去。教材中，矩陣的秩定義為矩陣的最高階非零子式的階數(shù)或者標準型的非零行數(shù)，抽象難懂，特別是前一種定義可操作性很差。教學(xué)中結(jié)合線性方程組，指出矩陣的秩就是真正的方程的個數(shù)，一些“假”的方程，可以通過方程的等價變換，也就是行初等變換消去，這樣一來矩陣秩的概念變得易于理解。這種直觀介紹概念的教學(xué)策略使抽象概念變得具體明了。再如，線性無關(guān)等價于對應(yīng)齊次線性方程組只有零解，也就是任何一個向量都沒辦法用其他向量線性表出，所以向量彼此“無關(guān)”，同樣的辦法可以解釋向量線性相關(guān)的概念。這是一種概念形象化、具體化策略。另外，矩陣逆的定義AB＝E更加抽象難懂，教學(xué)中經(jīng)常會碰到有的學(xué)生甚至不知道矩陣的逆仍然是個矩陣。從方程求解入手，對于AX＝b和XA＝b，啟發(fā)學(xué)生利用一元一次方程ax＝b（a≠0）的求解思想 （方程左右同時乘以1／a，消去等式左邊的a）在方程組兩邊同乘以一個矩陣使得方程組左邊為X，右邊即得方程解，所以有矩陣B滿足BA＝E和BA＝E，從而引入矩陣逆的概念。類比法使得抽象難懂的概念與已有知識建立關(guān)聯(lián)，可以形成知識的遷移，當(dāng)然也要注意負遷移。

綜上，線性方程組理論貫穿整個線性代數(shù)，因此在教學(xué)中要注意抓住線性方程組這條主線。這樣既可系統(tǒng)全面地研究線性方程組，又可清晰明了地學(xué)習(xí)矩陣、向量、行列式等知識。我們認為如下教學(xué)內(nèi)容的講授順序比較合理：首先引入線性方程組，然后講矩陣、初等變換、矩陣的逆、矩陣等價標準型，并由標準型定義矩陣的秩；接著介紹行列式；然后講授向量組、線性表出、線性相關(guān)性、極大無關(guān)組；繼而再完善解空間理論；最后是特征值與特征向量。如果學(xué)時較多可講授二次型。

四、以線性方程組理論貫穿線性代數(shù)教學(xué)

線性方程組不僅是線性代數(shù)的研究對象，也是線性代數(shù)處理問題的基本工具?！叭巳藶槲遥覟槿巳恕钡倪@種和諧關(guān)系在線性代數(shù)里得以完美體現(xiàn)。下面分述方程組在線性代數(shù)教學(xué)中的若干應(yīng)用。

（一）利用線性方程組理論求解特征值并通過解方程計算屬于某一特征值的特征向量

由特征值和特征向量的定義知，矩陣A的屬于特征值λ的特征向量X滿足AX＝λX，其中X≠0，即（λE－A）X＝0有非零解，由齊次線性方程組解的理論，知│λE－A│＝0，由此可得特征值，將某一特征值代入方程求非零解即得屬于該特征值的特征向量。這是方程組在線性代數(shù)中最直接、最重要的應(yīng)用。

（二）利用系數(shù)行列式（不）為零時方程組（沒）有非零解證明向量相關(guān)性問題

利用齊次方程組的解進行判定向量組的線性相關(guān)性是相關(guān)性定義的具體化，判定更容易實施。下面舉例說明之。

例1：設(shè)S是實數(shù)域上的函數(shù)空間，討論線性空間S中函數(shù)x2，x，1的線性相關(guān)性。

解：設(shè)k1x2＋k2x＋k3＝0，其中ki（i＝1，2，3）為實數(shù)，要想得到x2，x，1的線性相關(guān)性，只要研究ki（i＝1，2，3）的取值情況，對x求一階、二階導(dǎo)數(shù)，得到方程組

這是關(guān)于未知量k1，k2，k3的線性方程組，系數(shù)行列式不為0，故只有零解，x2，x，1線性無關(guān)。

在證明一組變量全為零時，可以構(gòu)造以這組變量為未知量的線性方程組，并證明方程組只有零解。

例2：已知fi（x）（i＝1，2，3，4）是實系數(shù)多項式，且滿足下列整除

x4＋x3＋x2＋x＋1│（x3f1（x5）＋x2f2（x5）＋xf3（x5）＋f4（x5））

證明：f1（1）＝f2（1）＝f3（1）＝f4（1）≡0。

證：設(shè)x滿足x5＝1，則五個不同根分別為ε1＝ε，ε2＝ε2，ε3＝ε3，ε4＝ε4，ε5＝1，由假設(shè)得

方程組系數(shù)行列式是一個范德蒙行列式，由于行列式不為零，故只有零解，結(jié)論得證。［2］

分析以上兩個例題，很容易想到利用齊次線性方程組解的理論可以證明有關(guān)未知量全零或者不全為零的問題。

（三）利用方程組解的情況證明矩陣秩的關(guān)系

由于矩陣秩的概念非常抽象，實際計算也不好操作，所以關(guān)于秩的證明題比較難。線性方程組的解與系數(shù)矩陣、增廣矩陣的秩密切相關(guān)。設(shè)系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩是r，則解空間的維數(shù)等于未知量個數(shù)減去r。

例3：證明r（ATA）＝r（A）．

證：設(shè)X（＊）是 AX＝0的解，即 AX（＊）＝0，等式兩邊左乘AT，得到ATAX（＊）＝0，故X（＊）也是方程 ATAX＝0的解；設(shè)X（＊）是 ATAX＝0的解，則 ATAX（＊）＝0，左邊乘以（X（＊））T，得（X（＊））TATAX（＊）＝0，即（AX（＊））T（AX（＊））＝0，則AX（＊）＝0，即X（＊）是 AX＝0的解。因此AX＝0和ATAX＝0同解，兩方程組的解空間維數(shù)相同，因此系數(shù)矩陣秩相同，故r（ATA）＝r（A）。［3］

例4：設(shè)A∈Rm×n，B∈Rn×S，且AB＝0，則r（A）＋r（B）≤n。

證：記B＝（β1，L，βs），則 Aβi＝0（i＝1，L，s），因此βi屬于AX＝0的解空間，故r（B）≤n－r（A），即r（A）＋r（B）≤n。

由以上兩個例題可知，線性方程組系數(shù)矩陣的秩、解空間維數(shù)和未知量個數(shù)之間的關(guān)系是證明秩的有力工具。

（四）待定系數(shù)法求解未知量

待定系數(shù)法是一種求未知量的方法，它是解決許多問題最容易想到和理解的辦法。先設(shè)未知量，然后找到未知量滿足的方程組，如果方程組又恰好是線性的，解之。對于線性方程組的這一應(yīng)用，大一的學(xué)生應(yīng)該非常熟悉，中學(xué)有三點確定一條拋物線的題目。通過低階線性方程組把線性代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)相聯(lián)系。教學(xué)中可從學(xué)生熟悉的三點確定拋物線引入線性方程組的這一應(yīng)用，讓學(xué)生歸納總結(jié)待定系數(shù)法這一重要數(shù)學(xué)思想在線性方程組輔助下的實施，從而提高學(xué)生處理線性問題的能力。

例5：在R3中按通常內(nèi)積定義求一單位向量與兩個向量（1，1，－1），（1，－1，－1）正交。

解：設(shè)所求向量為（x1，x2，x3），由正交向量內(nèi)積為零得：

方程組系數(shù)矩陣秩為2，有無窮多解（c，0，c），其中單位向量即為所求。

線性方程組的應(yīng)用十分廣泛，引導(dǎo)學(xué)生利用線性方程組求解問題，不僅豐富了線性代數(shù)解題技巧，還可以提高學(xué)生解決問題的能力，使學(xué)生體會到學(xué)以致用的樂趣，并激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

五、線性方程組的求解策略

線性方程組廣泛存在于科學(xué)研究和工程實際中，其教學(xué)要面向應(yīng)用，滿足專業(yè)需要。因此方程組求解是一個值得研究的問題。這一問題的處理可以采用探討式教學(xué)方法，調(diào)動學(xué)生參與問題解決的積極性，引導(dǎo)學(xué)生對所需要講授的課題進行探索、討論，從而培養(yǎng)學(xué)生的思考能力和協(xié)作精神。這種教學(xué)方式能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲望和創(chuàng)新潛能，燃起創(chuàng)新激情?？傊接懯浇虒W(xué)鼓勵學(xué)生親自參加探索、研究和實踐，在這個過程中學(xué)生可以提高自身發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，還可能感受到知識所賦予的快樂，從而提高學(xué)習(xí)興趣。

方程組的解的情況有三種：唯一解、無窮多解和無解，目前線性代數(shù)教材只研究了前兩者的初等變換求解方法，特別地，唯一解情形也可以用克萊姆法則求解。教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對線性方程組的求解進行全面分析和探討。

（一）有唯一解的方程組求解

這類方程可以用求逆法、初等變換法、克萊姆法則和矩陣分解法求解，也可借用Excel的函數(shù)功能求解。［4］求逆法X＝A－1b中，若 A－1用初等變換求解，則求逆法與初等變化法一致；若A－1用公式法求解，則求逆法與克萊姆法則一致。Excel法本質(zhì)上是初等變換。教學(xué)中可以利用軟件實現(xiàn)方程組的求解方法，讓學(xué)生體會方程求解的樂趣。有唯一解的大規(guī)模方程組常采用迭代法求數(shù)值解，迭代法屬于數(shù)值計算的范疇，適當(dāng)指出可以對高階線性方程組的求解給出一個出路，也是滿足工科后續(xù)課程的需要。

（二）矛盾方程求解

方程個數(shù)遠多于未知量個數(shù)的情況在工程中非常普遍，可以利用創(chuàng)設(shè)情境法讓學(xué)生求多點確定的直線。雖然按照線性代數(shù)理論，這類方程組無精確解，但可求其最小二乘解，可以利用微分法解決線性方程組的求解問題，這樣學(xué)生可以建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系。當(dāng)然也可從代數(shù)的角度推導(dǎo)ATAX＝ATb或者直接用奇異值分解法求解。

（三）有多個解的方程組求解

當(dāng)方程個數(shù)不足以唯一確定未知量時，方程有多個解，此時可用初等變換法求解。

一些線性方程組也可用優(yōu)化方法求解，如用牛頓法求解方程平方和最小等。線性方程組的求解策略的完備對于提高學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)造能力具有重要意義。使線性代數(shù)從一門由零散知識點堆積的抽象課程變成了實用的工具。

線性代數(shù)是理工科院校三大重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，是科學(xué)研究和工程實踐的重要對象，其重要性自不待言。我們在線性代數(shù)教學(xué)中要著力注重線性方程組的主導(dǎo)地位，使學(xué)生牢牢掌握線性方程組這一知識點，以線性方程組為主線來學(xué)習(xí)行列式、矩陣、秩以及二次型等相關(guān)知識，培養(yǎng)學(xué)生利用線性代數(shù)知識解決實際問題的能力。

［1］ 施武杰，戴桂生．高等代數(shù)［M］．北京：高等教育出版社，2005．

［2］ 楊成．線性方程組理論的妙用［J］．中國民航飛行學(xué)院學(xué)報，2000（1）：45－47．

［3］ 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2003．

［4］ 張戰(zhàn)軍．用Excel求解線性方程組［J］．鄭州輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報，2006，21（3）：71－73．

［5］ 線性代數(shù)發(fā)展史［EB／OL］．Http：／／baike．baidu．com／view／1347143．htm．

［6］ David C．Lay．Linear Algebra and Its Applications［M］．北京：電子工業(yè)出版社，2010．