基于能量檢測法的統(tǒng)計特性分析＊

王 懋，袁新波，張海黎

（1.電子工程學院，安徽 合肥230037；2.國營990廠，安徽 合肥230037；3.北京地區(qū)軍事代表室，北京100083）

0 引言

目前較為通用的信號檢測方法主要有能量檢測法、匹配濾波器法、循環(huán)平穩(wěn)特征檢測法和高階累積量法等［1-8］。其中能量檢測法是一種在沒有任何先驗知識的情況下判斷未知信號有無的最簡單、直接和有效的信號檢測方法，是利用了信號加噪聲的能量應大于噪聲的能量的原理。由于能量檢測方法對信號沒有作任何假設，因此是一種盲檢測算法，應用范圍廣泛。例如在認知無線電領域，需要對空閑頻譜資源進行檢測，能量檢測法是一種基礎的頻譜感知方法［7］；在超寬帶無線通信領域，能量檢測法被應用于超寬帶接收機，解決時間同步、TOA 估計問題等［8-10］。然而關于能量檢測法中的檢測量統(tǒng)計特性分析以及檢測門限選擇問題，目前一直缺少深入的分析及驗證，使得能量檢測器的應用及性能分析受到一定限制［9-13］。

因此，本文針對能量檢測器的檢測量統(tǒng)計特性進行了分析，包括對僅有噪聲情況和信號加噪聲情況下能量檢測結果統(tǒng)計特性的分析，為能量檢測法的應用提供理論支持。

1 能量檢測法

信號檢測問題，即根據(jù)接收到的混合波形（信號加噪聲，或噪聲），作出有無信號存在的判決。電磁信號在傳輸信息的過程中會遇到各種干擾，其中最常見的噪聲干擾是隨機過程，此外，有用信號也常呈現(xiàn)隨機性。因此，信號檢測問題可以用如圖1所示的統(tǒng)計接收原理框圖來描述。

接收機輸入端的有用信號用 （）s t 表示，噪聲干擾用 （）n t 表示。信號 （）s t 隨發(fā)射機是否發(fā)射而或有或無，而噪聲 （）n t 卻始終存在。因而接收機的輸入有兩種可能情況：1）當發(fā)射信號時，輸入為信號加噪聲，即X （t ）＝s （t ）＋n （t） ；2）當不發(fā)射信號時，輸入僅有噪聲，即 （）X t ＝ （）n t 。高頻信號 （）X t 經接收機處理后，解調成低頻信號 （）Y t ，送到檢測設備去作有無信號的判決。由于接收機的輸出 （）Y t 同樣具有上述兩種可能情況，故需判決在 （）Y t 中是否含有信號。

圖1 信號檢測統(tǒng)計接收原理框圖

能量檢測方法利用信號加噪聲的能量總是大于噪聲的能量的自然規(guī)律，首先獲取一定頻帶范圍內的接收信號，然后再對信號作能量積累，如果積累的能量高于一定門限，則說明有信號存在，如果低于一定門限，則說明僅有噪聲。假設有用信號為窄帶信號，則能量檢測器的原理框圖如圖2所示。

圖2 能量檢測器原理框圖

窄帶正態(tài)過程 （）Y t 經過平方律檢波器作包絡檢波，取得包絡過程R2（t） ，對其乘以1／σ2作歸一化，再對它作n 次獨立取樣，然后用加法器將它們相加（積累）后輸出，去作統(tǒng)計判決。脈沖雷達就常用這種檢測方法，其回波信號經檢波后為一串視頻窄脈沖，如果采用隔周期（雷達脈沖重復周期）進行取樣，在所得的獨立取樣中，可能全無信號而僅有噪聲，也可能噪聲中混有信號，因而只要把它與門限電平作比較，即可判別出有無信號存在。

2 統(tǒng)計特性分析

為了方便分析，假設經過窄帶濾波器后的窄帶噪聲 n（t）是均值為零、方差為σ2的平穩(wěn)正態(tài)過程，其表示式為：

式中，An（t） 為包絡，φ（t） 為相位，ω0為載波頻率，nc（t） 和ns（t）分別為同相和正交分量。因此，nc（t） 和ns（t） 仍為平穩(wěn)正態(tài)過程，且均值為零、方差仍為σ2，由于同一時刻的兩個正交分量nc（t） 與ns（t） 不相關，故對正態(tài)過程來說，也就統(tǒng)計獨立。

設信號為隨機初相信號：

式中，振幅A 和角頻率ω0均已知，而相位θ在上均勻分布。

通過帶通濾波器后的信號與噪聲合成過程為：

令：

則：

若無信號，則分量nc（t） 和ns（t） 都是零均值、方差為σ2的正態(tài)隨機變量，且統(tǒng)計獨立。若有信號時，只要隨機變量θ給定，則Acosθ和Asinθ也就確定，故由Ac（t） 和As（t） 的 表 達 式 可 知，分 量Ac（t） 和As（t） 仍為正態(tài)隨機變量，且仍統(tǒng)計獨立。

根據(jù)以上分析，并結合能量檢測器的原理可知，窄帶正態(tài)過程 （）Y t 經過平方律檢波器作包絡檢波，取得包絡的過程為。由于無論有無信號，Ac（t） 和As（t） 均呈正態(tài)分布，這兩個低頻（視頻）過程乘以1／σ2作歸一化，再分別作n 次獨立取樣，取得2n個統(tǒng)計獨立的標準正態(tài)隨機變量（Ac和As）之平方，然后用加法器將它們相加（積累）后輸出v，顯然隨機過程v 將服從χ2分布或非中心χ2分布。下面將按照噪聲輸入和信號加噪聲輸入兩種情況分別進行詳細分析。

2.1 只有噪聲輸入時

當只有噪聲輸入時，通過令式（4）中的A＝0，即可得：

根據(jù)前面對式（1）中nc（t） 和ns（t） 統(tǒng)計特性的分析結果可知，它們分別服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)分 布，即nc（t） ～N （0 ，σ2），ns（t） ～N （0 ，σ2），而且兩者相互統(tǒng)計獨立。

根據(jù)能量檢測器的實現(xiàn)原理，當對歸一化后的包絡平方進行n次獨立采樣并累加求和后，檢測量v 可表示為：

根據(jù)前面的分析可知：

故根據(jù)χ2分布的定義式可得，檢測量v服從自由度為2n的χ2分布，即：

進一步得，只有噪聲輸入時，檢測量v的概率密度函數(shù)為：

2.2 信號加噪聲輸入時

與前面分析相類似，利用式（4），當信號加噪聲輸入時：

即Ac（t） 和As（t） 分別服從均值為Acosθ 和Asinθ，方差均為σ2的正態(tài)分布。

此時檢測量v可表示為：

由于：

根據(jù)前面的分析結果式（8），可以看出（1／σ） Ac（i） 和 （1／σ） As（i） 分別由標準正態(tài)分布和常數(shù)相加而成，即式（12）可以改寫為：

根據(jù)非中心χ2分布的定義式可得，此時檢測量v服從自由度為2n的非中心χ2分布，即：

故可得信號加噪聲輸入時，檢測量v 的概率密度函數(shù)為：

3 仿真分析

3.1 信噪比與累積時間對檢驗量統(tǒng)計特性的影響分析

根據(jù)能量檢測法的實現(xiàn)原理，分別對H0假設（輸入僅為噪聲情況）和H1假設（輸入為信號加噪聲情況）進行仿真。從前面的分析可知，僅有噪聲輸入時的檢驗統(tǒng)計量服從χ2分布，信號加噪聲輸入的檢驗量服從非中心χ2分布，故根據(jù)式（10）和式（17）的概率密度表達式，可得相應統(tǒng)計檢測量的概率密度曲線。其中概率密度隨信噪比SNR 和累積時間n 的變化曲線分別如圖3和圖4所示。

圖3 概率密度隨信噪比SNR 的變化曲線（n＝18）

圖4 概率密度隨累積時間n的變化曲線（SNR＝10dB）

圖3給出了累積時間一定（n＝18），概率密度曲線相對于信噪比SNR 的變化曲線。從圖中可以看出，隨著信噪比的增大，H1假設的概率密度曲線中心逐漸向右平移，即逐漸遠離H0所對應的概率密度曲線，且信噪比越大，偏離越遠。該仿真結果表明，信噪比越大能量檢測法的性能越好。

圖4給出了信噪比一定（SNR＝10dB），概率密度曲線相對于累積時間n 的變化曲線。從圖中可以看出，隨著累積時間的增大，H0假設和H1假設的概率密度曲線分離越來越遠，H1假設的概率密度曲線峰值越來越大，即表示累積時間越長越有利于信號存在性的檢測。

3.2 不同檢測門限對檢測性能的影響分析

為了分析不同檢測門限對能量檢測法統(tǒng)計特性分析的正確性及其檢測性能的影響，仿真中選擇如下三種門限，即：

式中，Th1 為只有噪聲輸入時的檢測量統(tǒng)計均值，Th3為信號加噪聲輸入時的檢測量統(tǒng)計均值，而Th2為噪聲和信號加噪聲輸入時檢測量的均值。其中檢測門限隨信噪比和累積時間的變化曲線分別如圖5和圖6所示，通過比較可知，Th2是比較理想的門限取值，而Th1和Th3略次于該門限值。

圖5 檢測概率Pd 隨信噪比SNR 的變化曲線（n＝18）

圖6 虛警概率Pfa隨信噪比SNR 的變化曲線（n＝18）

為了方便，定義信噪比為SNRi＝0.5A2／σ2。檢測概率Pd和虛警概率Pfa相對于累積時間的變化分別如圖7和圖8所示。

圖7 檢測概率Pd 隨累積時間n 的變化曲線（SNR＝10dB）

圖8 虛警概率Pfa隨累積時間n 的變化曲線（SNR＝10dB）

可以看出，Th1 對應的檢測概率較高較好，虛警概率較高較差；Th3 對應的檢測概率較低較差，虛警概率較低較好；Th2 對應的檢測概率較高較好，虛警概率也比較低。通過以上仿真分析可以看出，本文推導的統(tǒng)計特性是正確的。

4 結束語

能量檢測法是一種在沒有任何先驗知識的情況下判斷未知信號有無的最簡單、直接和有效的信號檢測方法。本文通過對能量檢測法的統(tǒng)計特性進行系統(tǒng)分析和理論推導，發(fā)現(xiàn)能量檢測輸出結果在只有噪聲輸入的情況下服從卡平方分布，在信號加噪聲輸入的情況下服從非中心卡平方分布，并利用仿真驗證了本文推導的正確性，為能量檢測法的應用提供了參考和依據(jù)?！?/p>

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