基于信賴域技巧的共軛梯度方法的圖像重建算法研究

李曉杰

摘 ?要： 圖像重建算法是電容層析成像系統(tǒng)研究的關(guān)鍵技術(shù)，尋找一種重建圖像速度和重建圖像質(zhì)量都能滿足工業(yè)應(yīng)用要求的圖像重建算法是十分必要的?；谛刨囉蚍椒ǖ墓曹椞荻人惴ㄊ窃谄胀ü曹椞荻人惴ǖ幕A(chǔ)上提出的一種新的圖像重建算法，提高了圖像重建的質(zhì)量與速度。

關(guān)鍵字： 電容層析成像; 圖像重建; 共軛梯度法; 信賴域

中圖分類號： TN919?34; TP301.6 ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號： 1004?373X（2014）24?0045?02

Study on image reconstruction algorithm of conjugate gradient algorithm based on

trust region technique

LI Xiao?jie

（Network Information Center， Heilongjiang University of Science & Technology， Harbin 150022， China）

Abstract： Image reconstruction algorithm is the key technology of electrical capacitance tomography system research. It is necessary to look for a kind of image reconstruction algorithm which can meet the requirements of industrial application in image reconstruction speed and quality. The conjugate gradient algorithm based on trust region method is a new image reconstruction algorithm proposed on the basis of the general conjugate gradient algorithm. It improved the speed and quality of image reconstruction.

Keywords： electrical capacitance tomography; image reconstruction; conjugate gradient algorithm; trust region

0 ?引 ?言

電容層析成像（Electrical Capacitance Tomography，ECT）技術(shù)是基于電容敏感場特性的一種過程層析成像技術(shù)。其基本原理是：根據(jù)不同多相介質(zhì)具有不同的介電常數(shù)這一物理特性，通過電容傳感器陣列形成一個旋轉(zhuǎn)的空間敏感場，然后從不同方向的觀測視角對包含多相介質(zhì)的管道進行快速掃描，獲得被測管道的各相介質(zhì)的介電常數(shù)分布情況。在此基礎(chǔ)上，運用一種合適的圖像重建算法，顯示出被測管道的二維或三維介質(zhì)分布圖像。

電容層析成像技術(shù)不僅在實驗室研究，而且在工業(yè)生產(chǎn)應(yīng)用中，都展示出良好的應(yīng)用前景。目前，電容層析成像技術(shù)被廣泛應(yīng)用于國內(nèi)外各類行業(yè)的工業(yè)生產(chǎn)中，如：不同流型下的空隙率測量及其流型辨識、礦石，水泥，谷物，煤粉等的氣力輸送過程、火焰成像、凍土樣品中的物質(zhì)分布及動態(tài)變化過程可視化等 。

1 ?研究原因分析

電容層析成像技術(shù)的研究，關(guān)鍵在于以下2點：

（1） 獲得更多、更準確的被測物場介質(zhì)分布信息;

（2） 尋求一種速度與精度更高的圖像重建算法。

介質(zhì)分布信息的獲取受硬件條件的限制較多，因此，對圖像重建算法的研究，尋找一種重建圖像速度和重建圖像質(zhì)量都能滿足工業(yè)應(yīng)用要求的圖像重建算法是十分必要的。在圖像重建領(lǐng)域，信賴域方法是一類新穎的研究方向[1]，本文在共軛梯度算法基礎(chǔ)上，提出一種基于信賴域技巧的共軛梯度算法，提高了成像速度與質(zhì)量。

2 ?算法的提出

2.1 ?共軛梯度算法

共軛梯度（CG）法介于最速下降法與牛頓法之間的一個方法，最初由Hesteness和Stiefel在求解線性方程組過程中提出的。由于其具有較好的收斂性和穩(wěn)定性，F(xiàn)letcher和Reevesd等人后來把該算法用于求解一般目標函數(shù)的極小值。

共軛梯度算法求解圖像恢復(fù)問題，即求下面的離散化問題：

[Kf+n=h] （1）

式中：[K∈Rm2×n2]為一對稱正定矩陣，[f∈Rn2]為待求的輸入，[h∈Rm2]為測量或觀測到的輸出。

這里的目的是使：

[n→min] ?（2）

即，極小化目標函數(shù)：

[J[f]：=12Kf-h2] （3）

顯然目標函數(shù)是二次型，可表達為：

[J[f]=12fTKTKf-hTKf+12hTh] （4）

其梯度和Hessianz陣可以顯式地計算為：

[grad（J[f]）=KTKf-KTh，Hess（J[f]）=KTK] （5）

共軛梯度法本身是一種迭代法，同時也是一種Krylov子空間方法，該算法的優(yōu)點在于，它可以將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為階段性的易于計算的子問題。但是其迭代終止條件是要求梯度足夠小，這樣需要很多次迭代才能夠完成，使得算的解遠遠偏離于原問題的真實解。

2.2 ?基于信賴域法的共軛梯度方法

信賴域方法是這樣的一類方法，它在確保問題全局收斂的情況下還要求問題在局部具有快速收斂性。信賴域方法求解式（3），首先需要求解以下的信賴域子問題（TRS）：

[min?（s）=（grad（J[f]），s）+12（Hess（J[f]）s，s），s.t.s≤Δ] （6）

在信賴域算法的每一次迭代過程中，都需要精確和非精確地求解子問題式（6）來獲得下一次迭代點的一試探步。取目標函數(shù)的下降量和對逼近模型的預(yù)估下降量的比值r作為檢測試探步是否值得依賴的標準。

令[sk]為式（6）的一預(yù)估解，記為：

[Predk=Φk（0）-Φk（sk）=-Φk（sk）] （7）

為逼近模型的預(yù)估下降量;記：

[Aredk=J[fk]-J[fk+sk]] ? （8）

為目標函數(shù)的預(yù)估下降量。

則：

[rk=AredkPredk] （9）

用[rk]的大小來判定是否接受信賴域試探步以及是否調(diào)整信賴半徑。對于二次模型問題，發(fā)現(xiàn)比值[rk≡1]。根據(jù)目標泛函的極小化過程，泛函值[J[fk+sk]]至少不會比[J[fk]]更差。因此，不管目標泛函下降量多少，總是接受試探步[sk]，這樣可以不放棄求得的任何一個好點。

3 ?數(shù)值測試

仿真電容層析成像系統(tǒng)設(shè)計為半徑200 mm管道型結(jié)構(gòu)，激勵和檢測功能由8電極電容傳感器完成，因此可獲得28個測量值，利用有限元法將被測場剖分成512個單元。設(shè)置4種典型流型分布用于仿真試驗：二氣泡、中心流、單氣泡、環(huán)狀流采用共軛梯度法和帶有信賴域技巧的共軛梯度算法進行圖像重建，并在同一條件下，比較兩種算法在成像質(zhì)量和成像速度上效果，得出表1，表2中的測試數(shù)據(jù)。

表1 圖像誤差 ? ? ?%

表2 成像速度 ? ? ? s

4 ?結(jié) ?語

本文針對共軛梯度算法提出了一種基于信賴域技巧的共軛梯度算法，并應(yīng)用Matlab軟件進行了算法實現(xiàn)。實驗結(jié)果表明，基于信賴域的共軛梯度算法相比共軛梯度算法在成像速度上與成像質(zhì)量上都有了很大的提高，為圖像重建提供了一種有效的更精確的算法。

參考文獻

[1] 劉海林.一個新的無約束最優(yōu)化的共軛梯度算法[J].廣東民族學院學報：自然科學版，1998（4）：13?16.

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[4] 陳智瑩.電容層析成像算法的研究和在工程中的最新應(yīng)用[D].北京：華北電力大學，2012.

[5] ZHANG Cao， XU Li?jun， FAN Wen?ru， et al. Electrical capacitance tomography with a non?circular sensor using the dbar method [J]. ?Measurement Science and Technology， 2010， 21 （1）： 015502.

[6] ZHOU J B， XING G L， YANG D C. Study on the improved image reconstruction algorithm of electrical capacitance tomography to detecting conveyer belt joint [J]. ?Electronic Measurement Technology， 2011， 34（5）： 45?48.

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[8] GAY D M. Computing optimal local constrained step [J]. SIAM J. Sci. Stat. Comp， 1981（2）：186?197.

[9] HESTENES M R. Iterative method for solving linear equations [J]. JOVA， 1973（1）： 322?330.

[10] 王化祥，朱學明，張立峰.用于電容層析成像技術(shù)的共軛梯度算法[J].天津大學學報，2005，38（1）：1?4.

[11] MARASHDEH Q， WARSITO W. Dual imaging modality of granular flow based on ECT sensors [J]. Granular Matter， 2010， 15（10）： 75?80.

[12] 張菊亮.非線性最優(yōu)化的信賴域方法[D].北京：中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院，2001.

[13] POWELL M J D. Convergence properties of class of minimization algorithms [J]. Nonlinear Programming， ?1975（2）： 1?27.

[14] 王超，錢相臣，徐明，等.基于LU分解的共軛梯度法單步成像算法[J].儀器儀表學報，2007，28（11）：1972?1976.

2.2 ?基于信賴域法的共軛梯度方法

信賴域方法是這樣的一類方法，它在確保問題全局收斂的情況下還要求問題在局部具有快速收斂性。信賴域方法求解式（3），首先需要求解以下的信賴域子問題（TRS）：

[min?（s）=（grad（J[f]），s）+12（Hess（J[f]）s，s），s.t.s≤Δ] （6）

在信賴域算法的每一次迭代過程中，都需要精確和非精確地求解子問題式（6）來獲得下一次迭代點的一試探步。取目標函數(shù)的下降量和對逼近模型的預(yù)估下降量的比值r作為檢測試探步是否值得依賴的標準。

令[sk]為式（6）的一預(yù)估解，記為：

[Predk=Φk（0）-Φk（sk）=-Φk（sk）] （7）

為逼近模型的預(yù)估下降量;記：

[Aredk=J[fk]-J[fk+sk]] ? （8）

為目標函數(shù)的預(yù)估下降量。

則：

[rk=AredkPredk] （9）

用[rk]的大小來判定是否接受信賴域試探步以及是否調(diào)整信賴半徑。對于二次模型問題，發(fā)現(xiàn)比值[rk≡1]。根據(jù)目標泛函的極小化過程，泛函值[J[fk+sk]]至少不會比[J[fk]]更差。因此，不管目標泛函下降量多少，總是接受試探步[sk]，這樣可以不放棄求得的任何一個好點。

3 ?數(shù)值測試

仿真電容層析成像系統(tǒng)設(shè)計為半徑200 mm管道型結(jié)構(gòu)，激勵和檢測功能由8電極電容傳感器完成，因此可獲得28個測量值，利用有限元法將被測場剖分成512個單元。設(shè)置4種典型流型分布用于仿真試驗：二氣泡、中心流、單氣泡、環(huán)狀流采用共軛梯度法和帶有信賴域技巧的共軛梯度算法進行圖像重建，并在同一條件下，比較兩種算法在成像質(zhì)量和成像速度上效果，得出表1，表2中的測試數(shù)據(jù)。

表1 圖像誤差 ? ? ?%

表2 成像速度 ? ? ? s

4 ?結(jié) ?語

本文針對共軛梯度算法提出了一種基于信賴域技巧的共軛梯度算法，并應(yīng)用Matlab軟件進行了算法實現(xiàn)。實驗結(jié)果表明，基于信賴域的共軛梯度算法相比共軛梯度算法在成像速度上與成像質(zhì)量上都有了很大的提高，為圖像重建提供了一種有效的更精確的算法。

參考文獻

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2.2 ?基于信賴域法的共軛梯度方法

信賴域方法是這樣的一類方法，它在確保問題全局收斂的情況下還要求問題在局部具有快速收斂性。信賴域方法求解式（3），首先需要求解以下的信賴域子問題（TRS）：

[min?（s）=（grad（J[f]），s）+12（Hess（J[f]）s，s），s.t.s≤Δ] （6）

在信賴域算法的每一次迭代過程中，都需要精確和非精確地求解子問題式（6）來獲得下一次迭代點的一試探步。取目標函數(shù)的下降量和對逼近模型的預(yù)估下降量的比值r作為檢測試探步是否值得依賴的標準。

令[sk]為式（6）的一預(yù)估解，記為：

[Predk=Φk（0）-Φk（sk）=-Φk（sk）] （7）

為逼近模型的預(yù)估下降量;記：

[Aredk=J[fk]-J[fk+sk]] ? （8）

為目標函數(shù)的預(yù)估下降量。

則：

[rk=AredkPredk] （9）

用[rk]的大小來判定是否接受信賴域試探步以及是否調(diào)整信賴半徑。對于二次模型問題，發(fā)現(xiàn)比值[rk≡1]。根據(jù)目標泛函的極小化過程，泛函值[J[fk+sk]]至少不會比[J[fk]]更差。因此，不管目標泛函下降量多少，總是接受試探步[sk]，這樣可以不放棄求得的任何一個好點。

3 ?數(shù)值測試

仿真電容層析成像系統(tǒng)設(shè)計為半徑200 mm管道型結(jié)構(gòu)，激勵和檢測功能由8電極電容傳感器完成，因此可獲得28個測量值，利用有限元法將被測場剖分成512個單元。設(shè)置4種典型流型分布用于仿真試驗：二氣泡、中心流、單氣泡、環(huán)狀流采用共軛梯度法和帶有信賴域技巧的共軛梯度算法進行圖像重建，并在同一條件下，比較兩種算法在成像質(zhì)量和成像速度上效果，得出表1，表2中的測試數(shù)據(jù)。

表1 圖像誤差 ? ? ?%

表2 成像速度 ? ? ? s

4 ?結(jié) ?語

本文針對共軛梯度算法提出了一種基于信賴域技巧的共軛梯度算法，并應(yīng)用Matlab軟件進行了算法實現(xiàn)。實驗結(jié)果表明，基于信賴域的共軛梯度算法相比共軛梯度算法在成像速度上與成像質(zhì)量上都有了很大的提高，為圖像重建提供了一種有效的更精確的算法。

參考文獻

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[14] 王超，錢相臣，徐明，等.基于LU分解的共軛梯度法單步成像算法[J].儀器儀表學報，2007，28（11）：1972?1976.