二元函數(shù)的最值及其經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

王偉珠

摘 要：在實(shí)際生活會(huì)大量遇到求多元函數(shù)的最大值、最小值的問題。與一元函數(shù)的情形類似，多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值密切相關(guān)。舉例說明二元函數(shù)的最值及其在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用問題。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù);最值;經(jīng)濟(jì);應(yīng)用

中圖分類號(hào)：F12 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2014）31-0005-02

一、二元函數(shù)的最大值與最小值

求函數(shù)f（x，y）的最大值和最小值的一般步驟為：

（1）求函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值;（2）求f（x，y）在D的邊界上的最大值和最小值;（3）將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。

在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f（x，y）在D上的最大值（最小值）。

二、二元函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

例1 ?設(shè)q1為商品A的需求量，q2為商品B的需求量，其需求函數(shù)分別為q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，總成本函數(shù)為C=3q1+2q2，其中p1，p2為商品A和B的價(jià)格，試問價(jià)格p1，p2取何值時(shí)可使利潤最大？

解 按題意，總收益函數(shù)為：

R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）

于是總利潤函數(shù)為

L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）

=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）

為使總利潤最大，求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：

=14-4p1+8p2=0

=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）

=28+8p1-20p2=0

由此解得p1=63/2，p2=14，又因

（L"xy）2-L"xx·L"yy=82-（-4）（-20）<0

故取p1=63/2，p2=14價(jià)格時(shí)利潤可達(dá)最大，而此時(shí)得產(chǎn)量為q1=9，q2=6。

例2 ?在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有個(gè)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型f（x，y）=

cxαy1-α，式中x代表勞動(dòng)力的數(shù)量，y為資本數(shù)量（確切地說是y個(gè)單位資本），c與α（0<α<1）是常數(shù)，由各工廠的具體情形而定，函數(shù)值表示生產(chǎn)量，現(xiàn)在已知某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)是f（x，y）=100x3/4y1/4每個(gè)勞動(dòng)力與每單位資本的成本分別是150元及250元，該制造商的總預(yù)算是50 000元，問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動(dòng)力與資本，以使生產(chǎn)量最高。

解 這是個(gè)條件極值問題，求函數(shù)f（x，y）=100x3/4y1/4在條件150x+250y=5 000下的最大值。

令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程組

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0

中的第一個(gè)方程解得λ=x-1/4y1/4，將其代入第二個(gè)方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在該式兩邊同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。將此結(jié)果代入方程組的第三個(gè)方程得x=250，y=50，即該制造商應(yīng)該雇用250個(gè)勞動(dòng)力而把其余的部分作為資本投入，這時(shí)可獲得最大產(chǎn)量f（250，50）=16 719。

例3 設(shè)銷售收入R（單位：萬元）與花費(fèi)在兩種廣告宣傳的費(fèi)用x，y（單位：萬元）之間的關(guān)系為

利潤額相當(dāng)于五分之一的銷售收入，并要扣除廣告費(fèi)用.已知廣告費(fèi)用總預(yù)算金是25萬元，試問如何分配兩種廣告費(fèi)用使利潤最大？

解 ? 設(shè)利潤為z，有

限制條件為x+y=25，這是條件極值問題，令

L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）

從而

Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0

整理得

（5+x）2=（10+y）2

又y=25-x，解x=15，y=10。根據(jù)問題本身的意義及駐點(diǎn)的唯一性即知，當(dāng)投入兩種廣告的費(fèi)用分別為15萬元和10萬元時(shí)，可使利潤最大。

例4 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c，每臺(tái)電視機(jī)的銷售價(jià)格為p，銷售量為x。假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量，根據(jù)市場預(yù)測(cè)，銷售量x與銷售價(jià)格為p之間有下面的關(guān)系：

x=Me-ap （M>0，a>0） ? （1）

其中M為市場最大需求量，a是價(jià)格系數(shù)。同時(shí)，生產(chǎn)部門根據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本c有如下測(cè)算：

c=c0-klnx ? （k>0，x>1） （2）

其中c0是只生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本，k是規(guī)模系數(shù)，根據(jù)上述條件，應(yīng)如何確定電視機(jī)的售價(jià)p，才能使該廠獲得最大利潤？

解 ?設(shè)廠家獲得的利潤為u，每臺(tái)電視機(jī)售價(jià)為p，每臺(tái)生產(chǎn)成本為c，銷售量x，則u=（p-c）x。

于是問題化為利潤函數(shù)u=（p-c）x在附加條件（1）、（2） 下的極值問題。

利用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)：

L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）

令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0

將（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）

由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）

由Lc=0知x=μ，即x/μ=1

將（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得

p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0

由此得p*=

由問題本身可知最優(yōu)價(jià)格必定存在，故這個(gè)p*就是電視機(jī)的最優(yōu)價(jià)格。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一微積分[M].北京.高等教育出版社，2003.

[2] ?吳贛昌.微積分（經(jīng)管類）下冊(cè)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2007.[責(zé)任編輯 ? 吳高君]endprint

摘 要：在實(shí)際生活會(huì)大量遇到求多元函數(shù)的最大值、最小值的問題。與一元函數(shù)的情形類似，多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值密切相關(guān)。舉例說明二元函數(shù)的最值及其在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用問題。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù);最值;經(jīng)濟(jì);應(yīng)用

中圖分類號(hào)：F12 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2014）31-0005-02

一、二元函數(shù)的最大值與最小值

求函數(shù)f（x，y）的最大值和最小值的一般步驟為：

（1）求函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值;（2）求f（x，y）在D的邊界上的最大值和最小值;（3）將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。

在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f（x，y）在D上的最大值（最小值）。

二、二元函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

例1 ?設(shè)q1為商品A的需求量，q2為商品B的需求量，其需求函數(shù)分別為q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，總成本函數(shù)為C=3q1+2q2，其中p1，p2為商品A和B的價(jià)格，試問價(jià)格p1，p2取何值時(shí)可使利潤最大？

解 按題意，總收益函數(shù)為：

R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）

于是總利潤函數(shù)為

L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）

=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）

為使總利潤最大，求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：

=14-4p1+8p2=0

=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）

=28+8p1-20p2=0

由此解得p1=63/2，p2=14，又因

（L"xy）2-L"xx·L"yy=82-（-4）（-20）<0

故取p1=63/2，p2=14價(jià)格時(shí)利潤可達(dá)最大，而此時(shí)得產(chǎn)量為q1=9，q2=6。

例2 ?在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有個(gè)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型f（x，y）=

cxαy1-α，式中x代表勞動(dòng)力的數(shù)量，y為資本數(shù)量（確切地說是y個(gè)單位資本），c與α（0<α<1）是常數(shù)，由各工廠的具體情形而定，函數(shù)值表示生產(chǎn)量，現(xiàn)在已知某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)是f（x，y）=100x3/4y1/4每個(gè)勞動(dòng)力與每單位資本的成本分別是150元及250元，該制造商的總預(yù)算是50 000元，問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動(dòng)力與資本，以使生產(chǎn)量最高。

解 這是個(gè)條件極值問題，求函數(shù)f（x，y）=100x3/4y1/4在條件150x+250y=5 000下的最大值。

令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程組

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0

中的第一個(gè)方程解得λ=x-1/4y1/4，將其代入第二個(gè)方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在該式兩邊同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。將此結(jié)果代入方程組的第三個(gè)方程得x=250，y=50，即該制造商應(yīng)該雇用250個(gè)勞動(dòng)力而把其余的部分作為資本投入，這時(shí)可獲得最大產(chǎn)量f（250，50）=16 719。

例3 設(shè)銷售收入R（單位：萬元）與花費(fèi)在兩種廣告宣傳的費(fèi)用x，y（單位：萬元）之間的關(guān)系為

利潤額相當(dāng)于五分之一的銷售收入，并要扣除廣告費(fèi)用.已知廣告費(fèi)用總預(yù)算金是25萬元，試問如何分配兩種廣告費(fèi)用使利潤最大？

解 ? 設(shè)利潤為z，有

限制條件為x+y=25，這是條件極值問題，令

L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）

從而

Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0

整理得

（5+x）2=（10+y）2

又y=25-x，解x=15，y=10。根據(jù)問題本身的意義及駐點(diǎn)的唯一性即知，當(dāng)投入兩種廣告的費(fèi)用分別為15萬元和10萬元時(shí)，可使利潤最大。

例4 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c，每臺(tái)電視機(jī)的銷售價(jià)格為p，銷售量為x。假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量，根據(jù)市場預(yù)測(cè)，銷售量x與銷售價(jià)格為p之間有下面的關(guān)系：

x=Me-ap （M>0，a>0） ? （1）

其中M為市場最大需求量，a是價(jià)格系數(shù)。同時(shí)，生產(chǎn)部門根據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本c有如下測(cè)算：

c=c0-klnx ? （k>0，x>1） （2）

其中c0是只生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本，k是規(guī)模系數(shù)，根據(jù)上述條件，應(yīng)如何確定電視機(jī)的售價(jià)p，才能使該廠獲得最大利潤？

解 ?設(shè)廠家獲得的利潤為u，每臺(tái)電視機(jī)售價(jià)為p，每臺(tái)生產(chǎn)成本為c，銷售量x，則u=（p-c）x。

于是問題化為利潤函數(shù)u=（p-c）x在附加條件（1）、（2） 下的極值問題。

利用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)：

L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）

令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0

將（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）

由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）

由Lc=0知x=μ，即x/μ=1

將（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得

p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0

由此得p*=

由問題本身可知最優(yōu)價(jià)格必定存在，故這個(gè)p*就是電視機(jī)的最優(yōu)價(jià)格。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一微積分[M].北京.高等教育出版社，2003.

[2] ?吳贛昌.微積分（經(jīng)管類）下冊(cè)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2007.[責(zé)任編輯 ? 吳高君]endprint

摘 要：在實(shí)際生活會(huì)大量遇到求多元函數(shù)的最大值、最小值的問題。與一元函數(shù)的情形類似，多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值密切相關(guān)。舉例說明二元函數(shù)的最值及其在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用問題。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù);最值;經(jīng)濟(jì);應(yīng)用

中圖分類號(hào)：F12 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2014）31-0005-02

一、二元函數(shù)的最大值與最小值

求函數(shù)f（x，y）的最大值和最小值的一般步驟為：

（1）求函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值;（2）求f（x，y）在D的邊界上的最大值和最小值;（3）將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值。

在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f（x，y）在D上的最大值（最小值）。

二、二元函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

例1 ?設(shè)q1為商品A的需求量，q2為商品B的需求量，其需求函數(shù)分別為q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，總成本函數(shù)為C=3q1+2q2，其中p1，p2為商品A和B的價(jià)格，試問價(jià)格p1，p2取何值時(shí)可使利潤最大？

解 按題意，總收益函數(shù)為：

R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）

于是總利潤函數(shù)為

L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）

=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）

為使總利潤最大，求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：

=14-4p1+8p2=0

=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）

=28+8p1-20p2=0

由此解得p1=63/2，p2=14，又因

（L"xy）2-L"xx·L"yy=82-（-4）（-20）<0

故取p1=63/2，p2=14價(jià)格時(shí)利潤可達(dá)最大，而此時(shí)得產(chǎn)量為q1=9，q2=6。

例2 ?在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有個(gè)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型f（x，y）=

cxαy1-α，式中x代表勞動(dòng)力的數(shù)量，y為資本數(shù)量（確切地說是y個(gè)單位資本），c與α（0<α<1）是常數(shù)，由各工廠的具體情形而定，函數(shù)值表示生產(chǎn)量，現(xiàn)在已知某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)是f（x，y）=100x3/4y1/4每個(gè)勞動(dòng)力與每單位資本的成本分別是150元及250元，該制造商的總預(yù)算是50 000元，問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動(dòng)力與資本，以使生產(chǎn)量最高。

解 這是個(gè)條件極值問題，求函數(shù)f（x，y）=100x3/4y1/4在條件150x+250y=5 000下的最大值。

令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程組

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0

中的第一個(gè)方程解得λ=x-1/4y1/4，將其代入第二個(gè)方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在該式兩邊同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。將此結(jié)果代入方程組的第三個(gè)方程得x=250，y=50，即該制造商應(yīng)該雇用250個(gè)勞動(dòng)力而把其余的部分作為資本投入，這時(shí)可獲得最大產(chǎn)量f（250，50）=16 719。

例3 設(shè)銷售收入R（單位：萬元）與花費(fèi)在兩種廣告宣傳的費(fèi)用x，y（單位：萬元）之間的關(guān)系為

利潤額相當(dāng)于五分之一的銷售收入，并要扣除廣告費(fèi)用.已知廣告費(fèi)用總預(yù)算金是25萬元，試問如何分配兩種廣告費(fèi)用使利潤最大？

解 ? 設(shè)利潤為z，有

限制條件為x+y=25，這是條件極值問題，令

L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）

從而

Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0

整理得

（5+x）2=（10+y）2

又y=25-x，解x=15，y=10。根據(jù)問題本身的意義及駐點(diǎn)的唯一性即知，當(dāng)投入兩種廣告的費(fèi)用分別為15萬元和10萬元時(shí)，可使利潤最大。

例4 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c，每臺(tái)電視機(jī)的銷售價(jià)格為p，銷售量為x。假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量，根據(jù)市場預(yù)測(cè)，銷售量x與銷售價(jià)格為p之間有下面的關(guān)系：

x=Me-ap （M>0，a>0） ? （1）

其中M為市場最大需求量，a是價(jià)格系數(shù)。同時(shí)，生產(chǎn)部門根據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本c有如下測(cè)算：

c=c0-klnx ? （k>0，x>1） （2）

其中c0是只生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本，k是規(guī)模系數(shù)，根據(jù)上述條件，應(yīng)如何確定電視機(jī)的售價(jià)p，才能使該廠獲得最大利潤？

解 ?設(shè)廠家獲得的利潤為u，每臺(tái)電視機(jī)售價(jià)為p，每臺(tái)生產(chǎn)成本為c，銷售量x，則u=（p-c）x。

于是問題化為利潤函數(shù)u=（p-c）x在附加條件（1）、（2） 下的極值問題。

利用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)：

L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）

令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0

將（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）

由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）

由Lc=0知x=μ，即x/μ=1

將（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得

p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0

由此得p*=

由問題本身可知最優(yōu)價(jià)格必定存在，故這個(gè)p*就是電視機(jī)的最優(yōu)價(jià)格。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一微積分[M].北京.高等教育出版社，2003.

[2] ?吳贛昌.微積分（經(jīng)管類）下冊(cè)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2007.[責(zé)任編輯 ? 吳高君]endprint