泡沫金屬的微慣性效應(yīng)和動(dòng)態(tài)塑性泊松比＊

王長(zhǎng)峰，鄭志軍，虞吉林

（中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國(guó)科學(xué)院材料力學(xué)行為與設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥230026）

泡沫金屬具有穩(wěn)定且可持續(xù)吸收能量的平臺(tái)應(yīng)力，作為吸能材料在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。在實(shí)際應(yīng)用中，泡沫金屬大多經(jīng)受復(fù)雜加載狀態(tài)，因而了解泡沫金屬在多軸加載下的力學(xué)行為有重要的意義。

準(zhǔn)靜態(tài)條件下，許多學(xué)者給出了泡沫金屬多軸加載下的唯象屈服表面。G.Gioux等［1］給出了開孔和閉孔泡沫金屬準(zhǔn)靜態(tài)條件下唯象的屈服表面，M.Doyoyo等［2］給出了以拉伸加載狀態(tài)為主的唯象屈服表面。V.S.Deshpande等［3］給出了唯象的屈服表面及其演化規(guī)律。C.Chen等［4］在理論上提出了一個(gè)泡沫金屬本構(gòu)模型的唯象框架，能夠很好地描述泡沫金屬在壓縮主導(dǎo)的應(yīng)力狀態(tài)下的響應(yīng)。泊松比作為材料本構(gòu)模型中的重要參數(shù)，影響著屈服面的形狀，因而得到泡沫金屬泊松比的準(zhǔn)確結(jié)果有著重要的意義。由于泡沫金屬的不規(guī)則性，在實(shí)驗(yàn)中很難準(zhǔn)確測(cè)量泡沫金屬的泊松比。G.Gioux等［1］測(cè)量了相對(duì)密度7%的Duocel泡沫和相對(duì)密度8%的Alporas泡沫，認(rèn)為其塑性泊松比分別為0.052和0.024。V.S.Deshpande等［3］測(cè)量了相對(duì)密度16%的Alporas泡沫和相對(duì)密度7%的Duocel泡沫，認(rèn)為其塑性泊松比分別約為0.2和0.15。即便是相同相對(duì)密度的Duocel泡沫，其塑性泊松比的測(cè)量結(jié)果也存在較大的差異。在動(dòng)態(tài)沖擊條件下，J.L.Yu等［5］發(fā)現(xiàn)閉孔泡沫金屬在側(cè)向約束條件下動(dòng)態(tài)壓潰應(yīng)力隨著加載速率的增加有顯著下降。為了解釋這個(gè)現(xiàn)象，要對(duì)泡沫金屬動(dòng)態(tài)塑性泊松比問題有較深入的研究。但由于實(shí)驗(yàn)條件和測(cè)量手段的限制，測(cè)量泡沫金屬動(dòng)態(tài)塑性泊松比是非常困難的，P.S.Kumar等［6］和S.L.Lopatnikov等［7］認(rèn)為泡沫金屬的動(dòng)態(tài)塑性泊松比為0，但是沒有給出具體的測(cè)量結(jié)果。數(shù)值模擬方法能夠克服實(shí)驗(yàn)測(cè)量手段的限制，采用泡沫金屬的細(xì)觀有限元模型，可以定性研究泡沫金屬塑性泊松比的變化規(guī)律。

本文中采用三維Voronoi結(jié)構(gòu)的開孔和閉孔泡沫金屬模型，研究2類泡沫金屬動(dòng)靜態(tài)加載條件下塑性泊松比的變化規(guī)律，并討論相對(duì)密度和沖擊速度對(duì)其的影響，進(jìn)而分析微慣性對(duì)泡沫金屬軸向沖擊性能的影響，并對(duì)實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象給出了解釋。

1 數(shù)值模擬

1.1 三維Voronoi構(gòu)型

為了得到與真實(shí)泡沫相似的幾何構(gòu)型，采用三維隨機(jī)Voronoi技術(shù)［8］構(gòu)建了閉孔和開孔2種泡沫金屬的細(xì)觀模型。在給定的體積為V0的區(qū)域上隨機(jī)撒下N個(gè)點(diǎn)，如圖1（a）所示，滿足任意兩點(diǎn)的距離δ不小于一定的給定的距離δmin，其定義為：

式中：k為不規(guī)則度，d0和Vc分別為規(guī)則正十四面體模型中最鄰近成核點(diǎn)之間的距離和單胞的體積。

這N個(gè)成核點(diǎn)被拷貝到周圍的26個(gè)區(qū)域中，通過這27 N個(gè)成核點(diǎn)生成Voronoi構(gòu)型，最后通過切割算法獲取原先指定空間區(qū)域內(nèi)的Voronoi結(jié)構(gòu)。采用Voronoi構(gòu)型的胞元表面結(jié)構(gòu)來構(gòu)建閉孔泡沫金屬的細(xì)觀有限元模型，采用胞元棱邊來構(gòu)建開孔泡沫金屬的細(xì)觀模型，分別如圖1（b）和（c）所示。

圖1 含600個(gè)胞元的三維Voronoi構(gòu)型Fig.1 Three－dimension voronoi models with 600nucleus

1.2 有限元模型

有限元模型的幾何尺寸為20mm×20mm×30mm，長(zhǎng)軸為加載方向。整個(gè)幾何模型含有600個(gè)胞元，不規(guī)則度為0.5。并假定基體為彈性－理想塑性材料，密度ρs＝2.77g／cm3，楊氏模量Es＝69GPa，彈性泊松比νs＝0.3，屈服強(qiáng)度σys＝170MPa。泡沫模型上下表面添加剛性表面，下部的剛性表面固定，上部的剛性面以恒定的沖擊速度v壓縮泡沫樣品。泡沫模型和剛性平面，以及泡沫模型內(nèi)部的結(jié)構(gòu)施加了接觸。為了著重探討細(xì)觀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、相對(duì)密度和沖擊速度對(duì)泡沫金屬宏觀力學(xué)行為的影響，近似忽略摩擦的影響，在計(jì)算模擬過程中將摩擦系數(shù)設(shè)為0.02［9］。

對(duì)于閉孔泡沫金屬模型，假定泡沫金屬有均勻的厚度，其相對(duì)密度可以表示為：

式中：ρ0是泡沫材料的密度，ρs是基體材料的密度，V是泡沫材料的體積，Ai是第i個(gè)胞壁的表面積，h為泡沫材料的胞壁厚度。模型的有限元單元采用ABAQUS中的S3R和S4R殼單元。通過網(wǎng)格敏感性分析，殼單元的特征長(zhǎng)度設(shè)置為0.3mm，最終劃分為約170 000個(gè)殼單元，其中包括約20 000個(gè)S3R單元和150 000個(gè)S4R單元。

對(duì)于開孔泡沫金屬模型，假定所有棱邊有相同的橫截面面積A，其相對(duì)密度可以表示為：

式中：Li是第i個(gè)棱邊的長(zhǎng)度。采用ABAQUS中的B31單元模擬。通過網(wǎng)格敏感性分析，梁?jiǎn)卧奶卣鏖L(zhǎng)度為0.25mm，最終劃分成約38 000個(gè)梁?jiǎn)卧?/p>

2 計(jì)算結(jié)果與分析

2.1 變形模式

相對(duì)密度為0.1的開孔和閉孔泡沫金屬在不同沖擊速度下的變形分別如圖2（a）、（b）所示。無論是開孔泡沫金屬還是閉孔泡沫金屬，在不同沖擊速度下的變形都可以分成3種主要的模式。這與二維隨機(jī)蜂窩觀察到的變形模式是一致的［9－10］。在沖擊速度較低時(shí)（如1m／s），其變形較為均勻，表現(xiàn)為隨機(jī)分布的剪切變形帶，稱之為“均勻模式”。當(dāng)沖擊速度很高時(shí)（如110m／s），泡沫金屬表現(xiàn)為逐層壓潰變形，在沖擊端附近形成很窄的變形帶，稱為“沖擊模式”。當(dāng)沖擊速度介于這兩者之間時(shí)，泡沫金屬的變形帶比較集中于沖擊端，形成較為局部的變形帶，稱為“過渡模式”。

圖2 泡沫金屬在不同沖擊速度下的變形模式Fig.2 Deformation modes of metallic foam under different impact velocities

2.2 臨界速度

為了描述隨機(jī)蜂窩材料的變形／應(yīng)力均勻性，Y.D.Liu等［10］引入了應(yīng)力均勻性指標(biāo)：

式中：σ（s）pl和σ（i）pl分別為支撐端和沖擊端的平臺(tái)應(yīng)力。同時(shí)認(rèn)為均勻性指標(biāo)90%可作為一個(gè)臨界值，對(duì)應(yīng)于從均勻模式到過渡模式的臨界轉(zhuǎn)變速度。相對(duì)密度為0.1的閉孔和開孔泡沫金屬的均勻性參數(shù)φ隨沖擊速度的變化規(guī)律分別如圖3（a）、（b）所示。

圖3 泡沫金屬的應(yīng)力均勻性指標(biāo)隨沖擊速度變化關(guān)系Fig.3 Stress uniformity index varied with impact velocity for metallic foam

對(duì)于閉孔泡沫金屬，臨界轉(zhuǎn)變速度為56.7m／s，對(duì)于開孔泡沫金屬，臨界轉(zhuǎn)變速度為39.7m／s。當(dāng)沖擊速度很高時(shí)，泡沫金屬模型的變形處于過渡模式或沖擊模式，局部變形會(huì)使得泡沫金屬的力學(xué)行為更多地表現(xiàn)為一種結(jié)構(gòu)響應(yīng)，而非材料響應(yīng)。這時(shí)試件橫向變形的宏觀度量失去意義，定義的動(dòng)態(tài)塑性泊松比偏差較大。因而泡沫金屬動(dòng)態(tài)泊松比問題僅僅限定在泡沫金屬處于“均勻模式”下討論。

2.3 相對(duì)密度對(duì)塑性泊松比的影響

泡沫金屬塑性泊松比定義為橫向塑性應(yīng)變（εx和εy的平均值）的負(fù)值與軸向塑性應(yīng)變?chǔ)舲的比值：

在低速?zèng)_擊（1m／s）下，不同相對(duì)密度的閉孔和開孔泡沫金屬的名義塑性泊松比隨著軸向應(yīng)變的變化分別如圖4（a）、（b）所示。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)軸向應(yīng)變較小時(shí)，名義塑性泊松比的值較大，隨著相對(duì)密度的增大，2種泡沫金屬的塑性泊松比和初始的峰值均有明顯的提高。

圖4 不同相對(duì)密度的泡沫金屬的塑性泊松比隨軸向應(yīng)變的變化Fig.4 Plastic Poisson’s ratio varied with longitudinal strain for foams with different relative densities

2.4 沖擊速度對(duì)塑性泊松比的影響

在不同的沖擊速度下，相對(duì)密度為0.1的閉孔和開孔泡沫金屬的塑性泊松比隨軸向應(yīng)變的變化如圖5所示。圖6所示為塑性泊松比峰值隨沖擊速度的變化，隨著沖擊速度提高，閉孔和開孔泡沫金屬的塑性泊松比的峰值有明顯下降。

圖5 不同沖擊速度下泡沫金屬塑性泊松比隨軸向應(yīng)變的變化Fig.5 Plastic Poisson’s ratio varied with longitudinal strain at different impact velocities

塑性泊松比隨著沖擊速度的下降可以解釋為：在準(zhǔn)靜態(tài)單軸壓縮情況下，由于泊松效應(yīng)，泡沫會(huì)發(fā)生橫向膨脹。當(dāng)沖擊速度很低時(shí)，泡沫有充分的時(shí)間發(fā)生橫向變形；但當(dāng)沖擊速度提高時(shí)，由于橫向慣性的存在，泡沫金屬來不及發(fā)生橫向變形。因而，塑性泊松比隨著沖擊速度的增加，其峰值下降。

以上機(jī)制可以解釋文獻(xiàn)［5］中的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。當(dāng)施加側(cè)向約束后，在準(zhǔn)靜態(tài)加載下，較高的塑性泊松比初始峰值導(dǎo)致較大的變形阻力，泡沫金屬的初始?jí)簼?yīng)力提高。當(dāng)沖擊速度較高時(shí)，塑性泊松比的初始峰值很低，側(cè)向阻力減弱，所以側(cè)向約束條件下泡沫金屬的壓潰載荷隨著加載速率的提高而降低。

圖6 泡沫金屬塑性泊松比峰值隨沖擊速度的變化Fig.6 Peak value of plastic Poisson’s ratio varied with impact velocity

2.5 微慣性效應(yīng)

橫向慣性的存在會(huì)直接影響泡沫金屬的動(dòng)態(tài)塑性泊松比。由于泡沫金屬材料中存在大量空隙，局部的橫向變形并不會(huì)對(duì)周圍材料產(chǎn)生影響，這種橫向慣性效應(yīng)實(shí)際上是一種微慣性。對(duì)于微慣性效應(yīng)的存在是否影響泡沫金屬的軸向力學(xué)性能，文獻(xiàn)中有一些沖突的觀點(diǎn)。一些研究者認(rèn)為，細(xì)觀結(jié)構(gòu)的微慣性對(duì)金屬泡沫的動(dòng)態(tài)增強(qiáng)效應(yīng)起到了非常重要的作用［11－13］；但另外一些研究者認(rèn)為，微慣性對(duì)泡沫金屬的動(dòng)態(tài)增強(qiáng)效應(yīng)的影響很微弱［14］。為了量化微慣性效應(yīng)，即橫向慣性對(duì)軸向力學(xué)性能的影響，Y.D.Liu等［10］引入了微慣性參數(shù)μ，定義為泡沫金屬所有節(jié)點(diǎn)的側(cè)向加速度平方根（Ax和Ay）和縱向加速度平方根（Az）之比：

對(duì)于不同沖擊速度下的微慣性參數(shù)隨軸向應(yīng)變的變化，如圖7所示。

圖7 泡沫金屬微慣性參數(shù)隨軸向應(yīng)變的變化Fig.7 Micro－inertia parameter varied with longitudinal strain for metallic foam

圖8所示為泡沫金屬的微慣性參數(shù)的平均值與沖擊速度的關(guān)系，從圖8（a）中可知閉孔泡沫金屬的微慣性參數(shù)的平均值隨著沖擊速度的下降而下降；從圖8（b）中可知，開孔泡沫金屬的微慣性參數(shù)的平均值隨著沖擊速度的增加基本保持恒定。并且它們的數(shù)值與密實(shí)固體材料同量級(jí)，遠(yuǎn)小于典型的第二類結(jié)構(gòu)的微慣性參數(shù)［10］。這說明三維泡沫金屬不是典型的第二類結(jié)構(gòu)，微慣性效應(yīng)是微弱的。

圖8 泡沫金屬微慣性參數(shù)隨沖擊速度的變化Fig.8 Micro－inertia parameter varied with impact velocity

3 結(jié) 論

采用三維細(xì)觀有限元模型模擬了閉孔和開孔2種泡沫金屬的動(dòng)態(tài)壓縮響應(yīng)。結(jié)果顯示2種三維泡沫金屬均與二維隨機(jī)蜂窩有類似的變形模式分類，即隨著沖擊速度的提高出現(xiàn)均勻模式、過渡模式和沖擊模式。當(dāng)發(fā)生均勻模式的變形時(shí)，開孔和閉孔泡沫金屬的塑性泊松比均不是一個(gè)常數(shù)，塑性泊松比隨著軸向應(yīng)變的增加而下降。當(dāng)相對(duì)密度增加時(shí)，泡沫內(nèi)部孔隙減少，導(dǎo)致泡沫金屬的塑性泊松比有明顯的提高。而隨著沖擊速度的增加，泡沫金屬的動(dòng)態(tài)塑性泊松比隨著軸向應(yīng)變的增加有明顯的下降。這是由于橫向慣性的存在，隨著速度提高，泡沫金屬中以細(xì)觀結(jié)構(gòu)崩塌為主導(dǎo)的變形來不及引起宏觀的側(cè)向膨脹，從而解釋了文獻(xiàn)［5］中實(shí)驗(yàn)觀察到的現(xiàn)象。通過分析橫向慣性對(duì)平臺(tái)應(yīng)力的影響，發(fā)現(xiàn)對(duì)于閉孔和開孔泡沫金屬，微慣性效應(yīng)相比典型的第二類結(jié)構(gòu)來說要小的多。因此，泡沫金屬不是典型的第二類結(jié)構(gòu)，微慣性對(duì)平臺(tái)應(yīng)力的影響是非常微弱的。

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