無中心Virasoro 代數(shù)的一類表示

廖建玲，夏章生

( 湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施445000)

0 引言

Virasoro 代數(shù)是Witt 代數(shù)DerC［t，t－1］的中心擴(kuò)張，它有一組基滿足:

在文獻(xiàn)［1］中，Irving kaplansky 給出了無中心Virasoro 代數(shù)及其整數(shù)分次表示的一個(gè)刻畫．關(guān)于這個(gè)表示的關(guān)鍵結(jié)論是下面的定理．

定理1［1］設(shè)A是無中心的Virasoro 代數(shù)V的一個(gè)表示空間．假定A有一組基{wj|j∈Z}使得對于所有的i和j，uiwj是wi+j的倍數(shù)．更進(jìn)一步，假定u1wj和u－1wj對于任意的j都是非零的，則可以用wj的某一合適倍數(shù)來作基元替換，得到一組新的基vj，使得:

對于合適的a和b成立．

作者發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理在證明過程中的一個(gè)小錯誤并將予以更正．值得注意的是，在Irving kaplansky 的文獻(xiàn)［1］中，Virasoro 代數(shù)V的李積運(yùn)算是:

為了敘述的方便，同時(shí)與Irving kaplansky 的文章保持一致，在本文中，也采用這種李積．當(dāng)然，Virasoro 代數(shù)的表示理論現(xiàn)在研究得非常豐富了［1－5］．

1 Virasoro 代數(shù)的表示

首先，給出無中心的Virasoro 代數(shù)V的一個(gè)表示．

定理2 設(shè)C是復(fù)數(shù)域，A是復(fù)數(shù)域上的線性空間且有一組基{wj|j∈? }，則?a，b∈C，其中a±b?? ，A可通過:

來線性擴(kuò)張成一個(gè)V－模，其中:

證明 為說明A是一個(gè)V－模，需驗(yàn)證下面的等式:

因?yàn)椋踰i，uk］=(i－k)ui+k，因此僅需驗(yàn)證等式:

為此分為下面6 種情況來考慮:

①i=0 或k=0;②i，k≥1;③i，k≤－1;④i≥1，k=－i;⑤i≥1，k≤－1，i＞－k;⑥i≥1，k≤－1，i＜－k．

只對下面三種情況進(jìn)行討論，其它幾種情形可類似討論．

情形②:

情形④:

情形⑤:

證畢．

該模的表示形式可以作以下簡化:

定理3 設(shè)A是定理1 中的V－模，則通過基元替換v'j=εjvj，j∈? ，得到另一組基{v'j|j∈? }后，模運(yùn)算滿足:

證明 采用與定理2 類似的分類方式進(jìn)行驗(yàn)證，此略．

2 Irving kaplansky 的文獻(xiàn)［1］的修正

關(guān)于定理1 的補(bǔ)充證明:從Irving kaplansky 第51 頁的證明中，可得到下面的6 點(diǎn)信息:

1)等式u0w0=aw0決定a;

2)等式d0=(a－b)(a+b+1)的某一個(gè)根決定b，其中u1．(u－1．w0)=d0w0;

3)取v0=w0，然后通過u－1vj=(a－b－j)vj－1來決定其余的vj，由此可得等式u0v0=av0和u1vj=(a+b－j)vj+1;

4)令u2vj=(f(j)+a+2b－j)vj+2和u－2vj=(h(j)+a－2b－j)vj－2，則可得到:

5)作映射vj→u－2．(u2．vj)，則對于較大的偶數(shù)j來講，系數(shù)(f(j)+a+2b－j)(h(j+2)+a－2b－j－2)是j的二次多項(xiàng)式．

因而易知，f(0)=0 當(dāng)且僅當(dāng)h(0)=0，并且在這種情況下，可以得到方程(1);

6)若f(0)≠0，則可從文獻(xiàn)［1］的證明中得到下面4 個(gè)等式:

這時(shí)在文獻(xiàn)［1］第53 頁出現(xiàn)了一個(gè)小錯誤:文中說對于較大的偶數(shù)j來說，映射vj→u－3．(u3．vj)的系數(shù)不是j的二次多項(xiàng)式．事實(shí)上，它是的!

而且，在分析上述4 個(gè)等式的基礎(chǔ)上，運(yùn)用歸納法，可以得到定理2 中的方程(2)，證明如下:

當(dāng)i＞1 時(shí)，關(guān)鍵是證明:

即可，事實(shí)上:

由等式(3)，就可得到:

從而等式(5)成立．

當(dāng)i＜－1 時(shí)，證明是類似的．

再由定理3，在基元替換v'j=εjvj(j∈? )后，等式:ui．v'j=(a+(－b－1)i－j)v'i+j成立，也就是說，對于A的另一組基{v'j|j∈? }和另一對參數(shù)a和－b－1 來說，方程(1)也是成立的．證畢．

［1］ Irving Kaplansky．The Virasoro algebra［J］．Comm Math Phys，1982，86:49－54．

［2］ Kaplansky I，Santharoubane L J．Harish－chandra modulesover the Virasoro algebra［J］．MSRI Publ，1987，4:217－231．

［3］ Kenji Iohara，Yoshiyuki koga．Representation Theory of the Virasoro Algebra［M］．Springer－Verlag，2011．

［4］ Oliver Mathieu．Classification of Harish－Chandra module over the Virasoro Lie algebra［J］．Inventions Mathematicae，1992，107:225－234．

［5］ Goddard P，Kent A，olive D．Unitary representations of the Virasoro and super－Virasoro［J］．Communications in Mathematical Physics，1986，103:105－119．