對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)向量的二階泰勒展開(kāi)

張文丹

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

模態(tài)是一個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性，它可以完整地描述一個(gè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。每一個(gè)結(jié)構(gòu)都具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型，根據(jù)模態(tài)頻率及模態(tài)向量等模態(tài)參數(shù)是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù)，模態(tài)可分為實(shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)。工程應(yīng)用中針對(duì)阻尼系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和模型修正經(jīng)常會(huì)用到復(fù)模態(tài)向量［1，2］，但目前多數(shù)研究只是使用復(fù)模態(tài)向量的一階泰勒展開(kāi)式［3，4］，關(guān)于復(fù)模態(tài)向量的二階泰勒展開(kāi)式的研究很少有文獻(xiàn)提到。文獻(xiàn)［5］中提出了關(guān)于復(fù)頻率的一階導(dǎo)數(shù)，但是復(fù)頻率的二階導(dǎo)數(shù)算法的討論卻很少出現(xiàn)。顯然，在對(duì)復(fù)模態(tài)向量進(jìn)行泰勒展開(kāi)時(shí)，其一階泰勒展開(kāi)和二階泰勒展開(kāi)時(shí)的近似精度是不一樣的。文獻(xiàn)［6，7］中提出了多元向量值函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)及一、二階泰勒展開(kāi)的理論，文獻(xiàn)［8］中提出了求解實(shí)模態(tài)特征值和特征向量的一、二階導(dǎo)數(shù)的算法，雖然此算法是無(wú)阻尼求解問(wèn)題，但是對(duì)阻尼系統(tǒng)的相關(guān)研究有一定的推廣價(jià)值。關(guān)于文獻(xiàn)［9］中提出的相容性條件方程，為求解特征值的高階導(dǎo)數(shù)提供了方便，其導(dǎo)出的算法公式，簡(jiǎn)潔緊湊、易于理解且編程方便。本文在這些研究的基礎(chǔ)上提出了對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)復(fù)模態(tài)向量的二階泰勒展開(kāi)算法，算例證明此算法的正確性及有效性。

1 多元向量值函數(shù)的一階及二階泰勒展開(kāi)

u=(u1(b),…,uN(b))T每一維分量皆是向量b=(b1,…,bq)T的函數(shù)，因此u=(u1(b),…,uN(b))T是多元向量值函數(shù)，如果u=(u1(b),…,uN(b))T第i維分量 ui(b1,b2,…,bq)(?i=1,2,…,N)的梯度向量為［6］

那么，它的梯度矩陣為

那么海森矩陣還可改寫(xiě)為［7］

二階泰勒展開(kāi)形式為

2 復(fù)模態(tài)向量的一、二階泰勒展開(kāi)式

2.1 復(fù)模態(tài)參數(shù)

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程為

式中M、C和K∈RN×N分別為對(duì)稱(chēng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，即該系統(tǒng)為對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)有限元分析時(shí)，作拉普拉斯變換 x(t)=uewt=uejωt(w=jω )代入(5)式可得(w2Mu+wCu+Ku)ewt=0。考慮阻尼時(shí)的系統(tǒng)極點(diǎn)及復(fù)模態(tài)對(duì)( )

si,ui(i=1),2,…,2N 滿足方程

對(duì)于N自由度振動(dòng)系統(tǒng)，特征方程det[s2M+sC+K]=0有2N個(gè)呈復(fù)共軛對(duì)出現(xiàn)的特征 值 s1,s2,…,s2N(其 中 si+1為 si的 共 軛（i=1,3,…,2N-1）)，該特征值又稱(chēng)為復(fù)頻率。每個(gè)復(fù)頻率對(duì)應(yīng)著一組呈復(fù)共軛對(duì)出現(xiàn)的特征向量ui（ui∈CN），則ui稱(chēng)為系統(tǒng)(5)與 si相對(duì)應(yīng)的第i個(gè)模態(tài)向量，這里將u1,u2,…,u2N(其中ui+1為ui的共軛（i=1,3,…,2N-1）)又稱(chēng)為復(fù)模態(tài)。如果系統(tǒng)的特征值全不相同，那么稱(chēng)之為單特征系統(tǒng)，對(duì)單特征系統(tǒng)，則存在規(guī)范正交關(guān)系為［10］

其中狀態(tài)向量矩陣為 Φ=[φ1,φ2,…,φ2N]，狀態(tài)向量為

且

所滿足的廣義特征方程為

2.2 復(fù)模態(tài)向量的梯度矩陣的算法

值函數(shù)的有關(guān)理論。由（9）式可知，狀態(tài)向量的后N維即構(gòu)成系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)向量，更由于阻尼的影響，使系統(tǒng)（5）的復(fù)模態(tài)的特征導(dǎo)數(shù)不能像無(wú)阻尼實(shí)模態(tài)的特征導(dǎo)數(shù)分析那樣，在實(shí)模態(tài)空間中進(jìn)行［6］，為此考慮引入狀態(tài)空間來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。定義狀態(tài)向量φi關(guān)于對(duì)第 j個(gè)參數(shù)bj的一階導(dǎo)數(shù)為

對(duì)于對(duì)稱(chēng)的單特征系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，根據(jù)文獻(xiàn)［11］中提供的方法，將狀態(tài)向量的一階導(dǎo)數(shù)φi,j(j=1,…,q)在狀態(tài)空間內(nèi)表示為基底的某一線性組合，即

其中 φk(?k=1,2,…,2N)是廣義特征問(wèn)題（10）式的狀態(tài)空間的基底，是（11）式中的一階線性組合系數(shù)。由（11）式可知

利用（11）式所具有某些數(shù)學(xué)性質(zhì)來(lái)求解一階線性組合系數(shù)，并代入（12）式，即可確定復(fù)模態(tài)向量的一階導(dǎo)數(shù)，并由（1）式獲得其梯度矩陣。

將(10)式兩邊對(duì)第 j個(gè)參數(shù)bj求導(dǎo)得

其中

整理(13)式得一階導(dǎo)數(shù)φi,j的支配方程為

將(11)式代入支配方程，并左乘ΦH得

用狀態(tài)向量之間的規(guī)范正交化關(guān)系（7）和(8)式解耦支配方程，即可析出一階線性組合系數(shù)的控制方程如下

由第i個(gè)以外的方程可解得2N-1個(gè)一階線性組合系數(shù)為

根據(jù)正交化條件 φkTAφi=0(k≠i)，（14）式可簡(jiǎn)化為

同時(shí)由于一階線性組合系數(shù)的控制方程的相容性［9］，根據(jù)其相容性條件方程可得

因此解得復(fù)頻率的一階導(dǎo)數(shù)為

將（15）和（17）式的一階線性組合系數(shù)化為N維空間形式為

代入（12）式就可求得復(fù)模態(tài)的一階導(dǎo)數(shù)，再代入（1）式即可獲得梯度矩陣。

2.3 復(fù)模態(tài)向量的海森矩陣的算法

將特征方程(10）對(duì)設(shè)計(jì)參靈敏bj求導(dǎo)得

再對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)bl求導(dǎo)得

整理上式得φi,jl的支配方程為

將(19)式代入支配方程，并左乘ΦH，用狀態(tài)向量之間的規(guī)范正交化關(guān)系（7）和(8)式解耦支配方程，即可析出二階線性組合系數(shù)的控制方程如下

由第i個(gè)以外的方程可解得2N-1個(gè)二階線性組合系數(shù)為

其中，

同時(shí)由于二階線性組合系數(shù)的控制方程的相容性［9］，根據(jù)其相容性條件方程可得

可解得復(fù)頻率的二階導(dǎo)數(shù)為

其中si,l和?i,l可用與si,j和?i,j同樣的算法求得。

關(guān)于bl求二階導(dǎo)數(shù)得

將（19）式代入上式即有

將（21）和（24）式代入（20）式就可求得復(fù)模態(tài)的二階導(dǎo)數(shù)，再代入（2）式即可獲得海森陣。

2.4 復(fù)模態(tài)向量的一、二階泰勒展開(kāi)式

由（18）式計(jì)算得到一階線性組合系數(shù)代入（12）式，再代入（1）式即可構(gòu)成第i階復(fù)模態(tài)的梯度矩陣[?ui]，再代入（3）式，獲得系統(tǒng)（5）的第i階復(fù)模態(tài)在處受到設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生擾動(dòng)量為的擾動(dòng)后用一階泰勒展開(kāi)式得到的近似值。

將由（21）和（24）式計(jì)算得到的二階線性組合系數(shù)代入（20）式，再代入（2）式即可構(gòu)成第i階復(fù)模態(tài)的海森矩陣[?2ui]，再代入（4）式，獲得系統(tǒng)（5）的第i階復(fù)模態(tài)在處設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生擾動(dòng)量為的擾動(dòng)后的用二階泰勒展開(kāi)式得到的新值。

3 數(shù)值算例

3.1 算法步驟

（1）輸入系統(tǒng)參數(shù)b；

（2）構(gòu)造對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的質(zhì)量M、阻尼C和剛度矩陣K，此時(shí)b取初值b0；

（3）構(gòu)造矩陣A、B；

（4）計(jì)算復(fù)模態(tài)參數(shù)si和ui；

（5）利用公式（15）和公式（17）求2N 個(gè)一階靈敏度系數(shù)；

（7）利用公式（21）和公式（24）求2N 個(gè)二階靈敏度系數(shù)；代入得到復(fù)模態(tài)的二階靈敏度，即二階導(dǎo)數(shù)，構(gòu)成海森矩陣；

表1 計(jì)算所得結(jié)果

（8）將步驟（6）和（7）得到的梯度及海森陣代入公式（4），得到ui(b0+Δb)的二階泰勒近似值；

（9）在系數(shù)參數(shù)取為b0+Δb時(shí)重新計(jì)算步驟（2）、（3）、（4），得到 ui(b0+Δb)，與公式（4）得到的近似值相比較。

3.2 數(shù)值算例

如圖1所示，有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，如果m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k，

圖1 彈簧質(zhì)量系統(tǒng)

則該對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)的質(zhì)量M、阻尼C和剛度矩陣K分別表示為

本文取k2作為設(shè)計(jì)參數(shù)，為了更好地展示算法的可行性，在求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，仍取為k2為設(shè)計(jì)參數(shù)，初始系統(tǒng)參數(shù)m1=m2=m3=1.0kg；c1=10.0N/(m?s-1),c2=10.0N/(m?s-1),c3=10.0N/(m?s-1) ；k1=k2=k3=100N/m及設(shè)計(jì)參數(shù)的初始值b0=(k2,k2)T，及設(shè)計(jì)參數(shù)第一次的擾動(dòng)量及第二次擾動(dòng)量 Δb=(Δk2,Δk2)T，取 Δk2=-5。計(jì)算所得的結(jié)果見(jiàn)表1。

由表1的第3列與第5列可知，復(fù)頻率的二階導(dǎo)數(shù)及復(fù)模態(tài)的二階導(dǎo)數(shù)由本文算法計(jì)算與差分算法的計(jì)算結(jié)果差距不大，說(shuō)明了本文算法的正確及有效性。再由表1的第6列可知，本文算法的計(jì)算結(jié)果可用于替代設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生擾動(dòng)后的復(fù)模態(tài)新值，精度與差分在該步長(zhǎng)下的精度基本一致。

4 結(jié)論

本文首先根據(jù)相容性條件方程理論，給出了系統(tǒng)復(fù)頻率的二階導(dǎo)數(shù)的算法，然后給出了系統(tǒng)復(fù)模態(tài)的二階導(dǎo)數(shù)算法，特別是利用了單特征系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性解決了其線性組合系統(tǒng)控制方程組降秩的問(wèn)題。再利用多元向量值函數(shù)的泰勒展開(kāi)式理論，建立了系統(tǒng)復(fù)模態(tài)向量在某點(diǎn)處作泰勒近似的方法。為復(fù)模態(tài)向量應(yīng)用于模型修正及結(jié)構(gòu)優(yōu)化等領(lǐng)域來(lái)提高模型精度提供了新的算法基礎(chǔ)。數(shù)值算例說(shuō)明了本文算法的有效性和正確性。

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